கூற்று
ஒரு நேர்கோடு முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்திற்கு இணையாகவும் மற்ற இரு பக்கங்களை வெட்டுமாறும் வரையப்பட்டால் அக்கோடு அவ்விரண்டு பக்கங்களையும் சம விகிதத்தில் பிரிக்கிறது.
நிரூபணம்
கொடுக்கப்பட்டவை : \(\Delta A B C\) -யில் AB-யின் மேலுள்ள புள்ளி D, AC-யின் மேல் உள்ள
புள்ளி E ஆகும்
நிரூபிக்க:
\(\frac{A D}{D B}=\frac{A E}{E C}\)
அமைப்பு : DE || BC வரைக.

எண்	கூற்று	காரணம்
1.	\(\quad \angle A B C=\angle A D E=\angle 1\)	ஒத்த கோணங்கள் சமம். ஏனெனில் DE || BC
2.	\(\angle A C B=\angle A E D=\angle 2\)	ஒத்த கோணங்கள் சமம். ஏனெனில் DE || BC
3.	\(\angle D A E=\angle B A C=\angle 3\)	இரு முக்கோணங்களும் ஒரு பொதுவான கோணத்தைக் கொண்டுள்ளது
4.	\(\triangle A B C \sim \triangle A D E\)  \(\frac{A B}{A D}=\frac{A C}{A E}\)  \(\frac{A D+D B}{A D}=\frac{A E+E C}{A E}\)   \( 1+\frac{D B}{A D}=1+\frac{E C}{A E}\)   \(\frac{D B}{A D}=\frac{E C}{A E}\)  \(\frac{A D}{D B}=\frac{A E}{E C}\)	AAA விதிமுறைப்படி ஒத்த பக்கங்கள் விகிதச்சமம் D மற்றும் E-ஐப் பயன்படுத்தி AB மற்றும் AC-ஐ பிரித்தல். பெருக்குதல் இரு பக்கங்களிலும் 1 -ஐ நீக்குக. தலைகீழாக மாற்றுக
தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டது

\(\Delta A B C\) யில் BC க்கு இணையான நேர்கோடு DE யானது,AB ஐ D-யிலும் AC =-ஐ E யிலும் வெட்டினால் \((i) \frac{A B}{A D}=\frac{A C}{A E} (ii) \frac{A B}{D B}=\frac{A C}{E C}\) 
நிரூபணம் 
\(\Delta A B C\) யில் DE || BC
எனவே \(\frac{A D}{D B}=\frac{A E}{E C}\) (அடிப்படை விகிதச்சம தேற்றப்படி) 
(i) தலைகீழியாக எடுத்துக்கொண்டால் நாம் பெறுவது \(\frac{D B}{A D}=\frac{E C}{A E}\) ஆகும்
 இருபுறமும் 1 ஐ கூட்ட
\(\frac{D B}{A D}+1=\frac{E C}{A E}+1\) 
\(\frac{D B+A D}{A D}=\frac{E C+A P}{A E}\) ஆகையால்  \(\frac{A B}{A D}=\frac{A C}{A E}\) 
(ii) இருபுறமும் 1ஐ கூட்ட,
\(\frac{A D}{D B}+1=\frac{A E}{E C}+1\) 
எனவே  \(\frac{A B}{D B}=\frac{A C}{E C}\) 

பாடலின் மொத்த MB அளவை பதிவிறக்கம் செய்யும் போது நேரம் = 0 என்க.
∴ x = 0
⇒ y = 1MB

\(\Delta \)AQC யில், C ஆனது, செங்கோணம் என்பதால், AQ² = AC² + QC²  ...(1)
\(\Delta \)BPC- யில் C ஆனது, செங்கோணம் என்பதால், BP² = BC² + CP² ...(2)
\(\triangle A B C\)-யில், C ஆனது, செங்கோணம் என்பதால், \(A B^2=A C^2+B C^2 \ldots3\)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து, AQ² + BP² = AC² + QC² + BC² + CP²
4(AQ² + BP²) = 4AC² + 4QC² + 4BC² + 4CP²
= 4AC² + (2QC)² + 4BC² + (2CP)²
= 4AC² + BC² + 4BC² + AC² (P மற்றும் Q என்பது நடுப்புள்ளி என்பதால்)
= 5(AC² + BC²)  (சமன்பாடு (3)-லிருந்து)
4(AQ² + BP²) = 5AB²

கொடுக்கப்பட்ட ΔPQR- இன் பக்கங்களைப் போல் \(\frac{7}{3}\) பங்கு அளவுடைய ஒத்த பக்கங்களை கொண்ட மற்றொரு முக்கோணத்தை அமைப்போம்.

வரைதலின் படிகள்:
1. ஏதேனும் ஓர் அளவைக் கொண்டு ΔPQR ஐ வரைந்தேன்.
2. QR என்ற கோட்டுத்துண்டில் குறுங்கோணத்தை ஏற்படுத்துமாறு QX என்ற கதிரை P முனைப்புள்ளிக்கு எதிர்த்திசையில் வரைந்தேன்.
3. QX-இன் மீது \(\mathrm{Q}_1, \mathrm{Q}_2, \mathrm{Q}_3, \mathrm{Q}_4, \mathrm{Q}_5, \mathrm{Q}_6\) மற்றும் Q₇ என்ற 7 புள்ளிகளை \(\mathrm{QQ}_1=\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2=\mathrm{Q}_2 \mathrm{Q}_3=\mathrm{Q}_3 \mathrm{Q}_4=\mathrm{Q}_4 \mathrm{Q}_5=\mathrm{Q}_5 \mathrm{Q}_6=\mathrm{Q}_6 \mathrm{Q}_7\)
4. Q₃-ஐ புள்ளி R-உடன் இணைத்தேன். Q₃R க்கு இணையாக Q₇ லிருந்து வரையப்படும் கோடு QR ஐ R' இல் சந்திக்கிறது.
5. R' லிருந்து RP இக்கு இணையாக வரையப்படும் கோடு QP - ஐ P' இல் சந்திக்கிறது. \(\triangle P^{\prime} Q R^{\prime}\) இன் பக்கங்கள் ΔPQR - இன் ஒத்த பக்கங்களின் அளவில் 3 இல் 7 பங்கு ஆகும். \(\triangle P^{\prime} Q R^{\prime}\) ஆனது தேவையான வடிவொத்த முக்கோணம் ஆகும்.

நாற்கரத்தின் பரப்பைக் காண்பதற்கு முன்பாகக் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளை வரைபடத்தில் குறிக்கவேண்டும்.
A(8,6), B(5,11), C(–5,12) மற்றும் D(–4,3) என்பன முனைப் புள்ளிகள் ஆகும்.
எனவே, நாற்கரம் ABCD - யின் பரப்பு
= \(\frac 12\) {(x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₄ + x₄y₁) − (x₂y₁ + x₃y₂ + x₄y₃ + x₁y₄)}
= \(\frac 12\) {(88 + 60 - 15 - 24) - (30 - 55 - 48 + 24)}
= \(\frac 12\) {109 + 49}
= \(\frac 12\) {158} = 79 ச.அலகுகள்

'O' வை மையமாக உடைய வட்டத்தில் AP என்பது தொடுகோடு என்க.
கணக்கின்படி OA = 25 செ.மீ; AP = 24 செ.மீ, OP = ஆரம்
தொடுபுள்ளியில் தொடுகோடும், ஆரமும் செங்குத்து ஆகும்.
∴ செங்கோண ΔOPA இல்
\(\mathrm{OA}^2 =\mathrm{OP}^2+\mathrm{PA}^2  \)
\(25^2 =\mathrm{OP}^2+24^2  \)
\(625 =\mathrm{OP}^2+576  \)
\(\mathrm{OP}^2 =625-576=49 \)
OP = 7 செ.மீ 
∴ ஆரம் = 7  செ.மீ 

AB = 12 செ.மீ.
AD = 8 செ.மீ
AE = 12  செ.மீ
AC = 18 செ.மீ
அடிப்படை விகிதசம தேற்றத்தின்படி
\(\frac{A D}{D B}=\frac{A E}{E C} \)
\(\frac{A D}{D B}=\frac{8}{A B-A D}=\frac{8}{12-8}  \)
\(\frac{A D}{D B}=\frac{8}{4}=2  \)
\(\frac{A E}{E C}=\frac{12}{A C-A E}  \)
\(\frac{A E}{E C}=\frac{12}{18-12}=\frac{12}{6}=2\)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து
\(=\frac{A D}{D B}=\frac{A E}{E C}\)
DE || BC

\(\Delta AOQ\) மற்றும் \(\Delta BOP\) -ல்,\(\angle OAQ=\angle OBP\)
\(\angle OAQ=\angle OBP\) (குத்தெதிர் கோணங்கள்)
எனவே, வடிவொத்தமைக்கான, AA விதிமுறைப்படி
\(\Delta AOQ\sim \Delta BOP\)
\(\cfrac { AO }{ BO } =\cfrac { OQ }{ OP } =\cfrac { AQ }{ BP } \)
எனவே,\(\cfrac { 10 }{ 6 } =\cfrac { AQ }{ 9 } \) ⇒  \(AQ=\cfrac { 10\times 9 }{ 6 } \) = 15 செ.மீ.

கொடுக்கப்பட்ட சாய்வுக் கோணம் \(\theta=30^{\circ}\)
\(\therefore\) சாய்வு \(\mathrm{m}=\tan 30^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
y -வெட்டுத்துண்டு c = -3
கோட்டின் சாய்வு-வெட்டுத்துண்டு வடிவ சமன்பாடு
\(\mathrm{y} =\mathrm{mx}+\mathrm{c} \)
\(\Rightarrow \mathrm{y} =\frac{1}{\sqrt{3}} x-3 \)
\(\sqrt{3} y =x-3 \sqrt{3} \)
\(x-\sqrt{3} y-3 \sqrt{3} =0\)

கொடுக்கப்பட்ட நேர்க்கோடு சமன்பாடு 4x − 9y + 36 = 0
எனவே 4x − 9y = -36
இருபுறமும் -36 ஆல் வகுக்க, \(\frac { x }{ -9 } +\frac { y }{ 4 } \) = 1 ......(1)
(1) ஐ வெட்டுத்துண்டு வடிவத்துடன் ஒப்பிட, x - வெட்டுத்துண்டு a = − 9 ; y - வெட்டுத்துண்டு b = 4

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் (-2, a) மற்றும் (9,3) சாய்வு \(=-\frac{1}{2}\)
கோட்டின் சாய்வு \(=-\frac{1}{2}\)
\(\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=-\frac{1}{2} \)
\(\frac{a-3}{-2-9} =-\frac{1}{2} \)
\(\frac{a-3}{-11} =-\frac{1}{2} \)
\(2(a-3) =11 \)
\(2 a=11+6 \)
\(a=\frac{17}{2}\)

கொடுக்கப்பட்டது : xy = 24. \(ie) y=\frac{24}{x}.\)
இது xy = k என்ற வடிவில் உள்ளது. இங்கு k = 24 என்பது விகிதசம மாறிலி. ஆகவே இது எதிா் மாறுபாடு ஆகும்.
\(y=\frac{24}{x}\) என்பதை பயன்படுத்தி அட்டவணை அமைக்கவும்.
(1,24), (2,12), (6,14), (12,2), (1,24) ஆகியவற்றை வரைபடத்தில் குறித்த புள்ளிகளை நேர்க்கோடற்ற இழைவான வளைவரையாக வரையவும் (செவ்வக அதிபரவளையம்)
(i) வரைபடத்திலிருந்து, x = 3 எனில் y = 8
(ii) வரைபடத்திலிருந்து, y = 6 எனில் x = 4.

x	1	2	6	12	1
\(y=\frac{24}{x}\)	24	12	4	2	24

3x + y + 2 = 0 மற்றும் x - 2y - 4 = 0 ஆகியவற்றைத் தீர்க்க.
3x + y + 2 = 0   .....(1)
x - 2y - 4 = 0   .....(2)

x = 0 என (1) ல் பிரதியிட,
3(0) + y = -2
y = -2
சமன்பாடுகள் (1), (2) ஆகியவற்றின் வெட்டும்புள்ளி (0,-2)
7x - 3y = -12 மற்றும்  2y = x + 3 ஆகியவற்றைத் தீர்க்க.
7x - 3y = -12 ......(3)
x - 2y = -3 ......(4)
7x - 14y = -21  ...(6)

\(y=\frac{9}{11}\) என (2) ல் பிரதியிட,
\(x-2\left(\frac{9}{11}\right)=-3 \)
\(x =-3+\frac{18}{11} \)
\(=\frac{-15}{11}\)
சமன்பாடுகள் (3), (4) ஆகியவற்றின், வெட்டும் புள்ளி \(\left(\frac{-15}{11}, \frac{9}{11}\right)\)
(0,-2) மற்றும் \(\left(\frac{-15}{11}, \frac{9}{11}\right)\) ஆகிய புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டின் சமன்பாடு
\(\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1} \)
\(\frac{y+2}{9} =\frac{x-0}{-\frac{15}{11}-2} \)
\(\frac{11(y+2)}{9+22} =\frac{-11 x}{15} \)
\(15(y+2) =-31 x \)
\(15 y+30 =-31 x \)
\(31 x+15 y+30 =0\)

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் A(2,2), B(-2,-3), C(1,-3) மற்றும் D(x, y)

கோட்டின் சாய்வு \(=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\)
AB-ன் சாய்வு \(=\frac{2+3}{2+2}=\frac{5}{4}\)
BC-ன் சாய்வு \(=\frac{-3+3}{-2-1}=0\)
CD-ன் சாய்வு \(=-\frac{-3-y}{1-x}\)
AD-ன் சாய்வு \(=\frac{2-y}{2-x}\)
புள்ளிகள் இணைகரத்தை அமைப்பதால் AB யும் CD யும் இணை மற்றும் BC யும் AD யும் இணை
∴ AB-ன் சாய்வு = CD-ன் சாய்வு
\(\frac{5}{4}=\frac{-3-y}{1-x} \)
\(5(1-\mathrm{x}) =4(-3-\mathrm{y})   \)
\(5-5 \mathrm{x} =-12-4 \mathrm{y}  \)
\(\Rightarrow 5 \mathrm{x}-4 \mathrm{y} =17\)    .....(1)
BC -ன் சாய்வு  = AD  ன்  சாய்வு
\(0 =\frac{2-y}{2-x}  \)
\(\Rightarrow 2-\mathrm{y} =0 \)
y = 2 
(1) ல் பிரதியிட,  5x = 17 + 8 = 25 
\(5 \mathrm{x}-4(2) =17  \)
\(\mathrm{x} =\frac{25}{5}=5  \)
\(\therefore \mathrm{x}=5, \mathrm{y}=2 =15\)

(2,1) என்பதை சமன்பாடுகள் (2) ல் பிரதியிட, x + y = 3 மற்றும் 3 x +y = 7
இரண்டு சமன்பாடுகளும் (2,1) என்ற புள்ளியால் நிறைவு செய்யப்படுகிறது.

3x - y = 4 மற்றும் x + y = 8 ஐத் தீர்க்க
                  3x - y = 4 ......(1)
                  x + y = 8 .....(2)
                ___________
\((1)+(2) \Rightarrow 4 x =12\)
x = 3
(2) -ல் பிரதியிட
3 + y = 8
y = 5
\(\therefore\) வெட்டும்புள்ளி (3,5)

புள்ளிகள் (-5, 0), (0, -5) மற்றும் (5, 0) முக்கோணத்தின் பரப்பளவு
\(=\frac{1}{2}\left[x_1\left(y_2-y_3\right)+x_2\left(y_3-y_1\right)+x_3\left(y_1-y_2\right)\right]\)
\(=\frac{1}{2}[-5(-5-0)+0(0-0)+5(0+5)] \)
\(=\frac{1}{2}[25+25]=\frac{50}{2}=25 \) சதுர அலகுகள்