\(A=\left[\begin{matrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right]\)
A² = A.A
= \(\left[ \begin{matrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} (9-1) & (3+2) \\ (-3-2) & (-1+4) \end{matrix} \right] \)
= \(\left[ \begin{matrix} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{matrix} \right] \)
5A = 5\(\left[ \begin{matrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 15 & 5 \\ -5 & 10 \end{matrix} \right] \)
\(7 I_2=7\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{array}\right)\)
∴ A² - 5A + 7I₂ = \(\left[ \begin{matrix} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{matrix} \right] -\left[ \begin{matrix} 15 & 5 \\ -5 & 10 \end{matrix} \right] +\left[ \begin{matrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{matrix} \right] \)
\(=\left(\begin{array}{rr} 8-15+7 & 5-5+0 \\ -5+5+0 & 3-10+7 \end{array}\right)\)
=\(\left[ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right] \) = 0
நிறுவப்பட்டது

முதல் கட்டடத்தின் உயரம் AB = 60 மீ, மேலும் AB = MD = 60 மீ
இரண்டாவது கட்டடத்தின் உயரம் CD = h என்க.

தொலைவு BD = 140 மீ
மேலும், AM = BD = 140 மீ
படத்திலிருந்து  ㄥXCA = 30°= ㄥCAM
செங்கோண Δ AMC-ல்
tan 30° = \(\frac {CM }{AM }\)
\(\frac {1}{\sqrt 3}\) = \(\frac {CM }{140}\)
CM = \(\frac {140}{\sqrt 3}\) = \(\frac {140\sqrt 3}{3}\)
= \(\frac {140 \times 1.732}{3}\) = 80.83
மேலும் h = CD = CM + MD = 80.83 + 60 = 140.83 மீ
ஆகவே, இரண்டாவது கட்டடத்தின் உயரம் 140.83 மீ ஆகும்.

கோபுரத்தின் உயரம் AC என்க. கட்டடத்தின் உயரம் AB என்க.
மேலும் AC = h மீ, AB = 30 மீ
செங்கோண Δ CBP- ல் ㄥCPB = 60°

tan θ = \(\frac {BC}{BP}\)
tan 60° = \(\frac { AB+AC }{ BP } \) ⇒ \(\sqrt { 3 } =\frac { 30+h }{ BP } \) ...(1)
செங்கோண Δ ABP-ல், ㄥAPB = 45°
tan θ = \(\frac{AB}{BP}\) 
tan 45^o =\(\frac{30}{BP}\)⇒ BP = 30  .....(2)
(1) ஐ (1) ல் பிரதியிட்டால் கிடைப்பது \(\sqrt { 3 } =\frac { 30+h }{ 30 } \)
h = 30(\(\sqrt { 3}\) - 1) = 30(1.732 - 1) = 30(0.732) = 21.96
எனவே, கோபுரத்தின் உயரம் = 21.96 மீ.

கலங்கரை விளக்கம் AB என்க. C மற்றும் D என்பன இரு கப்பல்கள் இருக்கும் இடங்கள் என்க.
மேலும், AB = 200 மீ.
ㄥACB = 30°, ㄥADB = 45°
செங்கோண Δ BAC -ல்
tan 30° = \(\frac {AB}{AC }\)
\(\frac{1}{\sqrt3}\) = \(\frac{200}{AC}\) ⇒ AC = 200\(\sqrt3\) .....(1)
செங்கோண Δ BAD -ல் tan 45° = \(\frac {AB}{AD }\)
1 = \(\frac{200}{AD}\) ⇒ AD = 200 ...(2)
தற்போது, CD = AC + AD = 200\(\sqrt3\)  [(1), (2) -லிருந்து]
CD = 200(\(\sqrt3\) + 1) = 200 x 2.732 = 546.4
இரு கப்பல்களுக்கு இடையே உள்ள தொலைவு 546.4 மீ ஆகும்.

\(\left[\begin{matrix} x+y & 2 \\ 5+z & xy \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 6 & 2 \\ 5 & 8 \end{matrix} \right] \)
ஒத்த உறுப்புக்களைச் சமப்படுத்த
\(x+y=6,  x y=8,5+z=5  \)
\(x+8 / x=6  y=8 / x \quad z=5-5=0  \)
\(x^2-6 x+8=0  z=0 \)
(x - 4)(x - 2) = 0 
x = 4,2 
x = 4 எனும்போது,  y = 2 
x = 2 எனும்போது,  y = 4 
x = 4, y = 2, z = 0 (அல்லது)  x = 2, y = 4, z = 0

A =\(\left( \begin{matrix} 5 & -4 \\ 6 & -5 \end{matrix} \right) \)
A² =A.A = \(\\ \left( \begin{matrix} 5 & -4 \\ 6 & -5 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 5 & -4 \\ 6 & -5 \end{matrix} \right) \)
= \(\left( \begin{matrix} (25-24) & (-20+20) \\ (30-30) & (-24+25) \end{matrix} \right) \)
= \(\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \) = I
∴ A² = I நிறுவப்பட்டது.

A =\(\left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{matrix} \right] ,B=\left[ \begin{matrix} 1 & -2 \\ -3 & 1 \end{matrix} \right] \)
AB=\(\left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & -2 \\ -3 & 1 \end{matrix} \right] \)
=\(\left[ \begin{matrix} (1-6) & (-2+2) \\ (3-3) & (-6+1) \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -5 & 0 \\ 0 & -5 \end{matrix} \right] \)      ....(1)
BA=\(\left[ \begin{matrix} 1 & -2 \\ -3 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{matrix} \right] \)
=\(\left[ \begin{matrix} (1-6) & (2-2) \\ (-3+3) & (-6+1) \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -5 & 0 \\ 0 & -5 \end{matrix} \right] \)    ....(2) 
∴ (1) = (2) 
AB = BA 
நிறுவப்பட்டது

AB என்பது பாறையின் உயரம் = 50\(\sqrt 3\) மீ
C என்பது மகிழுந்து என்க.
\(\angle D A C=\angle A C B=30^{\circ}\)
செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle A B C\)-இலிருந்து
\(\tan 30^{\circ} =\frac{A B}{B C} \)
\(\frac{1}{\sqrt{3}} =\frac{50 \sqrt{3}}{B C} \)
\(B C =50 \sqrt{3} \times \sqrt{3} \)
= 50 x 3 = 150  மீ
\(\therefore\) மகிழுந்துக்கும், பாறைக்கும் இடையே உள்ள தொலைவு = 150 மீ.

கட்டடத்தின் உயரம் BC என்க. தரையில் பந்து இருக்கும் இடத்தை A என்க. BC = 20 மீ, மேலும் ㄥXCA = 60° = ㄥCAB

AB = x மீ என்க.
செங்கோண Δ ABC – ல்
tan 60° = \(\frac {BC}{AB}\)
\(\sqrt 3 = \frac {20}{x }\)
x = \(\frac { 20\times \sqrt { 3 } }{ \sqrt { 3 } \times \sqrt { 3 } } =\frac { 20\times 1.732 }{ 3 } \) = 11.55 மீ
எனவே, கட்டடத்தின் அடிக்கும் பந்திற்கும் இடையேயுள்ள தொலைவு = 11.55 மீ.

\(\triangle A B C\) எண்ற செங்கோண முக்கோணத்திலிருந்து \(\tan \theta\) = எதிா்ப்பக்கம் / அடுத்துள்ள பக்கம் = \(\frac{AC}{BC}\)
\(=\frac{10 \sqrt{3} \text { மீ }}{30 \text { மீ }}=\frac{\sqrt{3}}{3} \)
\(=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}} \)
\(\tan \theta =\frac{1}{\sqrt{3}} \)
\(\theta =\tan ^{-1}\left( \frac{1}{\sqrt{3}}\right) \)
\(\theta =30^{\circ}\)
\(\therefore\) ஏற்றக்கோணம் 30^o ஆகும்.

\(\begin{aligned} &X+Y=\left(\begin{array}{ll} 7 & 0 \\ 3 & 5 \end{array}\right) \\ \end{aligned}\)  ....(1)
\(\begin{aligned} &X-Y=\left(\begin{array}{ll} 3 & 0 \\ 0 & 4 \end{array}\right) \end{aligned}\)  ....(2)
\(\begin{aligned} (1)+(2) \Rightarrow 2 \mathrm{X} &=\left(\begin{array}{cc} 10 & 0 \\ 3 & 9 \end{array}\right) \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \mathrm{X} &=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc} 10 & 0 \\ 3 & 9 \end{array}\right) \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &=\left(\begin{array}{cc} 5 & 0 \\ 3 / 2 & 9 / 2 \end{array}\right) \end{aligned}\)
(1) –ல் பிரதியிட,
\(\begin{aligned} Y &=\left(\begin{array}{ll} 7 & 0 \\ 3 & 5 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} 5 & 0 \\ 3 / 2 & 9 / 2 \end{array}\right) \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &=\left(\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 3 / 2 & 1 / 2 \end{array}\right) \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \therefore \mathrm{X} &=\left(\begin{array}{cc} 5 & 0 \\ 3 / 2 & 9 / 2 \end{array}\right) \\ \end{aligned}\)மற்றும் \(\begin{aligned} \mathrm{Y} &=\left(\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 3 / 2 & 1 / 2 \end{array}\right) \end{aligned}\)