Tamilnadu 10th Standard Maths இயற்கணிதம் Important Questions Study Material - QB365

10ஆம் வகுப்பு Maths / கணிதம் தமிழ் மீடியம் | மாதிரி வினாத்தாள்கள் | முக்கிய வினாக்கள் | கேள்வி விடை தொகுப்பு | வினாத்தாள்கள் | பொதுத்தேர்வு மாதிரி வினாத்தாள்கள் , Maths / கணிதம் பாடத்திற்கான மாதிரி வினாத்தாள்கள், முக்கிய கேள்வி-விடைகள், ஒருமார்க் கேள்விகள், காலாண்டு & பொதுத்தேர்வு கேள்வித் தொகுப்புகள்

Questions:

5 Marks (any 4)

இரு கப்பல்கள் கலங்கரை விளக்கத்தின் இரு பக்கங்களிலும் கடலில் பயணம் செய்கின்றன. இரு கப்பல்களிலிருந்து கலங்கரை விளக்கத்தின் உச்சியின் ஏற்றக்கோணங்கள் முறையே 30° மற்றும் 45°ஆகும். கலங்கரை விளக்கத்தின் உயரம் 200 மீ எனில், இரு கப்பல்களுக்கு இடையே உள்ள தொலைவைக் காண்க.\(\left( \sqrt { 3 } =1.732 \right) \)

தரையின்மீது ஒரு புள்ளியிலிருந்து 30 மீ உயரமுள்ள கட்டடத்தின் மேலுள்ள ஒரு கோபுரத்தின் அடி மற்றும் உச்சியின் ஏற்றக்கோணங்கள் முறையே 45° மற்றும் 60° எனில், கோபுரத்தின் உயரத்தைக் காண்க. (\(\sqrt 3\) = 1.732)

இரண்டு கட்டடங்களுக்கு இடையேயுள்ள கிடைமட்டத் தொலைவு 140 மீ. இரண்டாவது கட்டடத்தின் உச்சியிலிருந்து முதல் கட்டடத்தின் உச்சிக்கு உள்ள இறக்கக்கோணம் 30ϒஆகும். முதல் கட்டடத்தின் உயரம் 60 மீ எனில் இரண்டாவது கட்டடத்தின் உயரத்தைக் காண்க. (\(\sqrt 3\) = 1.732)

\(A=\left[\begin{matrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right]\) எனில், A²- 5A + 7I₂= 0 என நிறுவுக.

2 Marks (any 5)

10\(\sqrt 3\) மீ உயரமுள்ள கோபுரத்தின் அடியிலிருந்து 30 மீ தொலைவில் தரையில் உள்ள ஒரு புள்ளியிலிருந்து கோபுரத்தின் உச்சியின் ஏற்றக்கோணத்தைக் காண்க.

20 மீ உயரமுள்ள கட்டடத்தின் உச்சியில் ஒரு விளையாட்டு வீரர் அமர்ந்துகொண்டு தரையிலுள்ள ஒரு பந்தை 60ϒ இறக்கக்கோணத்தில் காண்கிறார் எனில், கட்டட அடிப்பகுதிக்கும் பந்திற்கும் இடையேயுள்ள தொலைவைக் காண்க. (\(\sqrt 3\) = 1.732)

50\(\sqrt 3\) மீ உயரமுள்ள ஒரு பாறையின் உச்சியிலிருந்து 30° இறக்கக்கோணத்தில் தரையிலுள்ள மகிழுந்து ஒன்று பார்க்கப்படுகிறது எனில், மகிழுந்திற்கும் பாறைக்கும் இடையேயுள்ள தொலைவைக் காண்க

\(A=\left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{matrix} \right] ,B=\left[ \begin{matrix} 1 & -2 \\ -3 & 1 \end{matrix} \right] \) எனில், இவ்விரு அணிகளுக்கும் பரிமாற்றுப் பண்பு AB = BA உண்மை என நிறுவுக.

\(A=\left( \begin{matrix} 5 & -4 \\ 6 & -5 \end{matrix} \right) \)எனில், A²= I என்பதைச் சரிபார்க்க.

10.

கீழ்க்காணும் சமன்பாடுகளில் இருந்து x, y மற்றும் z –யின் மதிப்பைக் காண்க.
\(\left[\begin{matrix} x+y & 2 \\ 5+z & xy \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 6 & 2 \\ 5 & 8 \end{matrix} \right] \).

8 Marks

11.

X + Y =\(\left[\begin{matrix} 7 & 0 \\ 3 & 5 \end{matrix} \right]\) மற்றும் X-Y= \(\left[\begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix} \right]\) எனில், X மற்றும் Y ஆகிய அணிகளைக் காண்க.

Visit QB365-SLMS - https://www.qb365.in/slms/

Answers Key:

5 Marks (any 4)

கலங்கரை விளக்கம் AB என்க. C மற்றும் D என்பன இரு கப்பல்கள் இருக்கும் இடங்கள் என்க.
மேலும், AB = 200 மீ.
ㄥACB = 30°, ㄥADB = 45°
செங்கோண Δ BAC -ல்
tan 30° = \(\frac {AB}{AC }\)
\(\frac{1}{\sqrt3}\) = \(\frac{200}{AC}\) ⇒ AC = 200\(\sqrt3\) .....(1)
செங்கோண Δ BAD -ல் tan 45° = \(\frac {AB}{AD }\)
1 = \(\frac{200}{AD}\) ⇒ AD = 200 ...(2)
தற்போது, CD = AC + AD = 200\(\sqrt3\) [(1), (2) -லிருந்து]
CD = 200(\(\sqrt3\) + 1) = 200 x 2.732 = 546.4
இரு கப்பல்களுக்கு இடையே உள்ள தொலைவு 546.4 மீ ஆகும்.

கோபுரத்தின் உயரம் AC என்க. கட்டடத்தின் உயரம் AB என்க.
மேலும் AC = h மீ, AB = 30 மீ
செங்கோண Δ CBP- ல் ㄥCPB = 60°

tan θ = \(\frac {BC}{BP}\)
tan 60° = \(\frac { AB+AC }{ BP } \) ⇒ \(\sqrt { 3 } =\frac { 30+h }{ BP } \) ...(1)
செங்கோண Δ ABP-ல், ㄥAPB = 45°
tan θ = \(\frac{AB}{BP}\)
tan 45^o =\(\frac{30}{BP}\)⇒ BP = 30 .....(2)
(1) ஐ (1) ல் பிரதியிட்டால் கிடைப்பது \(\sqrt { 3 } =\frac { 30+h }{ 30 } \)
h = 30(\(\sqrt { 3}\) - 1) = 30(1.732 - 1) = 30(0.732) = 21.96
எனவே, கோபுரத்தின் உயரம் = 21.96 மீ.

முதல் கட்டடத்தின் உயரம் AB = 60 மீ, மேலும் AB = MD = 60 மீ
இரண்டாவது கட்டடத்தின் உயரம் CD = h என்க.

தொலைவு BD = 140 மீ
மேலும், AM = BD = 140 மீ
படத்திலிருந்து ㄥXCA = 30°= ㄥCAM
செங்கோண Δ AMC-ல்
tan 30° = \(\frac {CM }{AM }\)
\(\frac {1}{\sqrt 3}\) = \(\frac {CM }{140}\)
CM = \(\frac {140}{\sqrt 3}\) = \(\frac {140\sqrt 3}{3}\)
= \(\frac {140 \times 1.732}{3}\) = 80.83
மேலும் h = CD = CM + MD = 80.83 + 60 = 140.83 மீ
ஆகவே, இரண்டாவது கட்டடத்தின் உயரம் 140.83 மீ ஆகும்.

\(A=\left[\begin{matrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right]\)
A² = A.A
= \(\left[ \begin{matrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} (9-1) & (3+2) \\ (-3-2) & (-1+4) \end{matrix} \right] \)
= \(\left[ \begin{matrix} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{matrix} \right] \)
5A = 5\(\left[ \begin{matrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 15 & 5 \\ -5 & 10 \end{matrix} \right] \)
\(7 I_2=7\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{array}\right)\)
∴ A²- 5A + 7I₂ = \(\left[ \begin{matrix} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{matrix} \right] -\left[ \begin{matrix} 15 & 5 \\ -5 & 10 \end{matrix} \right] +\left[ \begin{matrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{matrix} \right] \)
\(=\left(\begin{array}{rr} 8-15+7 & 5-5+0 \\ -5+5+0 & 3-10+7 \end{array}\right)\)
=\(\left[ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right] \) = 0
நிறுவப்பட்டது

2 Marks (any 5)

\(\triangle A B C\) எண்ற செங்கோண முக்கோணத்திலிருந்து \(\tan \theta\) = எதிா்ப்பக்கம் / அடுத்துள்ள பக்கம் = \(\frac{AC}{BC}\)
\(=\frac{10 \sqrt{3} \text { மீ }}{30 \text { மீ }}=\frac{\sqrt{3}}{3} \)
\(=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}} \)
\(\tan \theta =\frac{1}{\sqrt{3}} \)
\(\theta =\tan ^{-1}\left( \frac{1}{\sqrt{3}}\right) \)
\(\theta =30^{\circ}\)
\(\therefore\) ஏற்றக்கோணம் 30^o ஆகும்.

கட்டடத்தின் உயரம் BC என்க. தரையில் பந்து இருக்கும் இடத்தை A என்க. BC = 20 மீ, மேலும் ㄥXCA = 60° = ㄥCAB

AB = x மீ என்க.
செங்கோண Δ ABC – ல்
tan 60° = \(\frac {BC}{AB}\)
\(\sqrt 3 = \frac {20}{x }\)
x = \(\frac { 20\times \sqrt { 3 } }{ \sqrt { 3 } \times \sqrt { 3 } } =\frac { 20\times 1.732 }{ 3 } \) = 11.55 மீ
எனவே, கட்டடத்தின் அடிக்கும் பந்திற்கும் இடையேயுள்ள தொலைவு = 11.55 மீ.

AB என்பது பாறையின் உயரம் = 50\(\sqrt 3\) மீ
C என்பது மகிழுந்து என்க.
\(\angle D A C=\angle A C B=30^{\circ}\)
செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle A B C\)-இலிருந்து
\(\tan 30^{\circ} =\frac{A B}{B C} \)
\(\frac{1}{\sqrt{3}} =\frac{50 \sqrt{3}}{B C} \)
\(B C =50 \sqrt{3} \times \sqrt{3} \)
= 50 x 3 = 150 மீ
\(\therefore\) மகிழுந்துக்கும், பாறைக்கும் இடையே உள்ள தொலைவு = 150 மீ.

A =\(\left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{matrix} \right] ,B=\left[ \begin{matrix} 1 & -2 \\ -3 & 1 \end{matrix} \right] \)
AB=\(\left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & -2 \\ -3 & 1 \end{matrix} \right] \)
=\(\left[ \begin{matrix} (1-6) & (-2+2) \\ (3-3) & (-6+1) \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -5 & 0 \\ 0 & -5 \end{matrix} \right] \) ....(1)
BA=\(\left[ \begin{matrix} 1 & -2 \\ -3 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{matrix} \right] \)
=\(\left[ \begin{matrix} (1-6) & (2-2) \\ (-3+3) & (-6+1) \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -5 & 0 \\ 0 & -5 \end{matrix} \right] \) ....(2)
∴ (1) = (2)
AB = BA
நிறுவப்பட்டது

A =\(\left( \begin{matrix} 5 & -4 \\ 6 & -5 \end{matrix} \right) \)
A²=A.A = \(\\ \left( \begin{matrix} 5 & -4 \\ 6 & -5 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 5 & -4 \\ 6 & -5 \end{matrix} \right) \)
= \(\left( \begin{matrix} (25-24) & (-20+20) \\ (30-30) & (-24+25) \end{matrix} \right) \)
= \(\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \) = I
∴ A² = I நிறுவப்பட்டது.

10.

\(\left[\begin{matrix} x+y & 2 \\ 5+z & xy \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 6 & 2 \\ 5 & 8 \end{matrix} \right] \)
ஒத்த உறுப்புக்களைச் சமப்படுத்த
\(x+y=6, x y=8,5+z=5 \)
\(x+8 / x=6 y=8 / x \quad z=5-5=0 \)
\(x^2-6 x+8=0 z=0 \)
(x - 4)(x - 2) = 0
x = 4,2
x = 4 எனும்போது, y = 2
x = 2 எனும்போது, y = 4
x = 4, y = 2, z = 0 (அல்லது) x = 2, y = 4, z = 0

8 Marks