43.5, 13.6, 18.9, 38.4, 61.4, 29.8
மிகப் பெரிய மதிப்பு L = 61.4
மிகச் சிறிய மதிப்பு S = 13.6
வீச்சு = L - S
= 61.4 - 13.6 = 47.8
வீச்சுக் கெழு \(=\frac{61.4-13.6}{61.4+13.6}\)
\(=\frac{47.8}{75}=0.637=0.64\)
\(\therefore\) வீச்சு = 47.8; வீச்சுக் கெழு = 0.64

\(\mathrm{P}(A \cup B) =\mathrm{P}(\mathrm{A})+\mathrm{P}(\mathrm{B})-\mathrm{P}(A \cap B) \)
\(\frac{1}{3} =\frac{2}{3}+\frac{2}{5}-\mathrm{P}(A \cap B) \)
\(\mathrm{P}(A \cap B) =\frac{2}{3}+\frac{2}{5}-\frac{1}{3} \)
\(\mathrm{P}(A \cap B) =\frac{10+6-5}{15}=\frac{16-5}{15}=\frac{11}{15}\)

ஒரு நாணயம் மூன்று முறை சுண்டப்படும்போது கிடைக்கும் முடிவுகளாவன

கூறுவெளி S \(= \{\mathrm{HHH}, \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{HTT},THH, THT, TTH, TTT \}\)
n(S) = 8
A என்பது இரு அடுத்தடுத்த பூக்கள் கிடைக்கும் நிகழ்வு என்க.
\(A =\{\mathrm{HTT}, \mathrm{TTH}, \mathrm{TTT}\} \)
n(A) = 3
\(\mathrm{P}(\mathrm{A}) =\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{3}{8}\)
இரு அடுத்தடுத்த பூக்கள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு \(=\frac{3}{8}\)

மூன்று நாணயங்களை சுண்டும்போது கிடைக்கும் முடிவுகளாவன

கூறுவெளி \(= \{\mathrm{HHH}, \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{HTT}, \mathrm{THH},\mathrm{THT}, \mathrm{TTH}, \mathrm{TTT}\} \)
n(S) = 8

முதல் n இயல் எண்களின் திட்டவிலக்கம்
\(=\sqrt{\frac{n^2-1}{12}}\)
\(\therefore\) முதல் 21 இயல் எண்களின் திட்டவிலக்கம்
\(=\sqrt{\frac{21^2-1}{12}} \)
\(=\sqrt{\frac{441-1}{12}}=\sqrt{\frac{440}{12}} \)
\(=\sqrt{36.6666}=6.05\)
முதல் 21 இயல் எண்களின் திட்ட விலக்கம் = 6.05

வீச்சு, R = 13.67
மிகப் பெரிய மதிப்பு, L = 70.08
வீச்சு, R = L - S 
13.67 = 70.08 - S 
S = 70.08 - 13.67 = 56.41
எனவே, மிகச் சிறிய மதிப்பு 56.41.

மொத்த மாணவர்களின் எண்ணிக்கை n(S) = 50
A மற்றும் B ஆகியவை முறையே NCC மற்றும் NSS-யில் சேர்ந்த மாணவர்கள் என்க.
n(A) = 28, n(B) = 30,n(A\(\cap\)B) = 18
\(P(A)=\frac { n(A) }{ n(S) } =\frac { 28 }{ 50 } \)
\(P(B)=\frac { n(B) }{ n(S) } =\frac { 30 }{ 50 } \)
\(P(A\cap B)=\frac { n(A\cap B) }{ n(S) } =\frac { 18 }{ 50 } \)
i) NCC யில் சேர்ந்து NSS-யில் சேராமல் உள்ள மாணவர்களைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கான நிகழ்தகவு 
\(P(A\cap \bar { B } )=P(A)-P(A\cap B)=\frac { 28 }{ 50 } -\frac { 18 }{ 50 } =\frac { 1 }{ 5 } \)
ii) NSS யில் சேர்ந்து NCC-யில் சேராமல் உள்ள மாணவர்களைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கான நிகழ்தகவு C
\(P(\bar { A } \cap B)=P(B)-P(A\cap B)=\frac { 30 }{ 50 } -\frac { 18 }{ 50 } =\frac { 6 }{ 25 } \)
iii) ஏதாவது ஒன்றில் மட்டுமே சேர்ந்த மாணவரைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கான நிகழ்தகவு P(A மட்டும் அல்லது B மட்டும்)
\(P[(A\cap \bar { B } )\cup (\bar { A } \cap B)]\)
\(=P(A\cap \bar { B } )+(\bar { A } \cap B)=\frac { 1 }{ 5 } +\frac { 6 }{ 25 } =\frac { 11 }{ 25 } \)
(குறிப்பு : \((A \cap \bar{B}),(\bar{A} \cap B) \) ஆகியவை ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சிகள்)

இரண்டு பகடைகள் ஒன்றாக உருட்டப்படும் பொழுது அதன் கூறுவெளியில் 6 x 6 = 36 உறுப்புகள் இருக்கும். எனவே n(S) = 36
A-ஆனது இரண்டு பகடைகளிலும் ஒரே முக மதிப்புகள் மற்றும் B-ஆனது இரண்டு பகடைகளின் முக மதிப்புகளின் கூடுதல் 4-ஆக கிடைக்கப்பெறும் நிகழ்ச்சிகள் என்க.
எனவே, A = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}
B = {(1,3),(2,2),(3,1)}
A\(\cap \)B = {(2,2)}
எனவே, n(A) = 6, n(B) = 3, n(A\(\cap \)B) = 1
\(P(A)=\frac { n(A) }{ n(S) } =\frac { 6 }{ 36 } \)
\(P(B)=\frac { n(B) }{ n(S) } =\frac { 3 }{ 36 } \)
\(P(A\cap B)=\frac { n(A\cap B) }{ n(S) } =\frac { 1 }{ 36 } \)
P (ஒரே முக மதிப்புகள் அல்லது முக மதிப்புகள் கூடுதல் 4 கிடைக்க) = P(A\(\cup \)B)
P(A\(\cup \)B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
\(=\frac { 6 }{ 36 } +\frac { 3 }{ 36 } -\frac { 1 }{ 36 } =\frac { 8 }{ 36 } =\frac { 2 }{ 9 } \)
எனவே, தேவையான நிகழ்தகவு \(\frac {2}{9}\)ஆகும்.

இரு சீரான பகடைகள் முறையாக ஒரே நேரத்தில் உருட்டப்படும்போது.
கூறுவெளி
S = {(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)
(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(6,6)
(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)
(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)
(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(6,6)
(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)}
n(S) = 36
(i) இரு பகடைகளிலும் ஒரே முக மதிப்பு கிடைக்கும் நிகழ்ச்சி A என்க.
A = {(1,1)(2,2)(3,3)(4,4)(5,5)(6,6)}
n(A) = 6
\(\mathrm{P}(\mathrm{A})=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\)
(ii) முக மதிப்புகளின் பெருக்கற்பலன் பகா எண் கிடைக்கும் நிகழ்ச்சி B என்க.
B = {(1,2)(1,3)(1,5)(2,1)(3,1)(5,1)}
n(A) = 6
\(\mathrm{P}(\mathrm{B})=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\)
(iii) முக மதிப்புகளின் கூடுதல் பகா எண் கிடைக்கும் நிகழ்ச்சி C என்க.
C = {(1,1)(1,2)(1,4)(1,6)(2,1)(2,3)
(2,5)(3,2)(3,4)(4,1)(4,3)(5,2)
(5,6)(6,1)(6,5)}
n(C) = 15
\(\mathrm{P}(\mathrm{C})=\frac{n(C)}{n(S)}=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}\)
(iv) முக மதிப்புகளின் கூடுதல் 1 கிடைக்கும் நிகழ்ச்சி D என்க.
இது ஒரு இயலா நிகழ்ச்சி என்பதால் n(D) = 0 மற்றும் P(D) = 0

தரவுகள் ஏறுவரிசையில் : 24, 26, 29, 31, 33, 37
திட்ட விலக்கம் \(\sigma=\sqrt{\frac{\sum d_i^2}{N}-\left(\frac{\sum d_i}{N}\right)^2}\)
ஊகச் சராசரி A = 31 என்க. 

xi	\(d_i=x_i-A\\ d_i=x_i-31\)	di2
24	-7	49
26	-5	25
29	-2	4
31	0	0
33	2	4
37	6	36
	\(\Sigma d_i=-6\)	\(\Sigma d_i^2=118\)

\(\therefore \quad \sigma=\sqrt{\frac{118}{6}-\left(\frac{-6}{6}\right)^2} \)
\(\sigma=\sqrt{19.67-(-1)^2}=\sqrt{19.7-1} \)
\(\sigma=\sqrt{18.67}=4.3\)
சராசரி  \(\bar{x}=\frac{\Sigma x_i}{N}\)
சராசரி \(\bar{x}=\frac{24+26+29+31+33+37}{6}\)
\(\bar{x}=\frac{180}{6}=30\)
மாறுபாட்டுக் கெழு C.V \(=\frac{\sigma}{x} \times 100 \%\)
\(\mathrm{C} V =\frac{4.3}{30} \times 100 \%=0.1433 \times 100 \% \)
= 14.4 %
தரப்பட்ட தரவுகளின் மாறுபாட்டுக் கெழு = 14.4 %

மதிப்பெண்களின் சராசரி = 35.9. இந்த மதிப்பானது தரவுகளின் நடுமதிப்பாக அமையும் அதனால் நாம் ஊகச் சராசரி A = 35, என எடுத்துக் கொள்கிறோம், மேலும், n = 10

xi	di=xi-A  di=xi-35	di2
25	-10	100
29	-6	36
30	-5	25
33	-2	4
35	0	0
37	2	4
38	3	9
40	5	25
44	9	81
48	13	169
	\(\sum \)di=9	\(\sum \)di2=453

திட்ட விலக்கம் \(\sigma =\sqrt { \frac { { \sum { d } }_{ i }^{ 2 } }{ n } -{ \left( \frac { \sum { { d }_{ i } } }{ n } \right) }^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { \frac { 453 }{ 10 } -{ \left( \frac { 9 }{ 10 } \right) }^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { 45.3-0.81 } =\sqrt { 44.49 }\)
\(\sigma \simeq 6.67\)

S = {a, b ,.......,z} என்க
n(S) = 26
தேர்ந்தெடுக்கும் எழுத்து x க்கு முந்தைய எழுத்தாக இருக்கும் நிகழ்வு A என்க
A = {a, b, c, ......., w }
n(A) = 23
\(P(A) =\frac{\pi(A)}{\pi(5)}=\frac{23}{25}\)

குலுக்கலில் வெற்றி பெறும் நிகழ்வு A என்க
\(P(A)=\frac{1}{9} \)
\(\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{1}{9} \)
\(\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{1}{9} \Rightarrow \frac{n(A)}{135}=\frac{1}{9}\)
\(n(A)=\frac{135}{9}=15\)

பக்க எண்ணின் ஒன்றாம் இட மதிப்புகளின் கூறுவெளி
S = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
n(S) = 10 .
பக்க எண்ணின் ஒன்றாம் இட மதிப்பு 7 ஐ விடக் குறைவாக இருக்கும் நிகழ்வு A என்க.
A = {0,1,2,3,4,5,6}
n(A) = 7
\(P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{7}{10}\)

திட்ட விலக்கம் \(\sigma=\mathrm{p}\)
ஒரு தரவில் உள்ள ஒவ்வொரு தரவுப் புள்ளிகளையும் 3 ஆல் பெருக்கினால் கிடைக்கும் தரவுகளின் புதிய திட்டவிலக்கம் பெற பழைய திட்டவிலக்கத்தின் 3 மடங்கு காண வேண்டும்.  புதிய \(\sigma=3\mathrm{p}\) ஒவ்வொரு புள்ளியுடனும் 5 ஐக் கூட்ட திட்ட விலக்கம் மாறாது.
\(\therefore\) புதிய திட்ட விலக்கம் \(\sigma=3 p\)

முதல் 20 இயல் எண்களின் கூடுதல்
\(=\frac{n(n+1)}{2}=\frac{20 \times 21}{2} \)
\(\sum x_i =210 \)
\(\sigma =\sqrt{\frac{\sum x_i^2}{n}-\left(\frac{\sum x_i}{n}\right)^2} \)
\(\sum x_i^2 =1^2+2^2+3^2+\ldots+20^2 \)
\(=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6} \)
\(=\frac{20 \times 21 \times 41}{6}=10 \times 7 \times 41 \)
\(=2870 \)
\(\sigma =\sqrt{\frac{2870}{20}-\left(\frac{210}{20}\right)^2}\)
விலக்க வா்க்கச் சராசரி
\(\sigma^2 =\frac{2870}{20}-\left(\frac{210}{20}\right)^2 \)
\(=143.5-\frac{441}{4} \)
\(=143.5-110.25=33.25\)

வீச்சு =  L - S
= 8 - 8
= 0

கொடுக்கப்பட்டது : xy = 24. \(ie) y=\frac{24}{x}.\)
இது xy = k என்ற வடிவில் உள்ளது. இங்கு k = 24 என்பது விகிதசம மாறிலி. ஆகவே இது எதிா் மாறுபாடு ஆகும்.
\(y=\frac{24}{x}\) என்பதை பயன்படுத்தி அட்டவணை அமைக்கவும்.
(1,24), (2,12), (6,14), (12,2), (1,24) ஆகியவற்றை வரைபடத்தில் குறித்த புள்ளிகளை நேர்க்கோடற்ற இழைவான வளைவரையாக வரையவும் (செவ்வக அதிபரவளையம்)
(i) வரைபடத்திலிருந்து, x = 3 எனில் y = 8
(ii) வரைபடத்திலிருந்து, y = 6 எனில் x = 4.

x	1	2	6	12	1
\(y=\frac{24}{x}\)	24	12	4	2	24

x ஆனது நேரத்தையும் (நிமிடங்களில்), y ஆனது பயணித்த தூரத்தையும் (கி.மீ-ல்) குறிப்பதாகக் கொள்வோம்.
பயண நேரம் (x) நிமிடங்களில் 60 120 180 240 பயண தூரம் (y) கி.மீ-ல் 50 100 150 200
(i) நேரம் அதிகரிக்கும்போது பயணித்த தூரமும் அதிகரிப்பதை கவனிக்கவும். ஆகவே, இது y = kx என்ற வடிவம் கொண்ட நேர்மாறுபாட்டைக் குறிக்கிறது.
விகிதசம மாறிலி,
\(k=\frac{y}{x}=\frac{50}{60}=\frac{100}{120}=\frac{150}{180}=\frac{200}{240}=\frac{5}{6}\) 
கொடுக்கப்பட்டுள்ள விவரங்களின்படி,
ஆகவே,\(y=k x \Rightarrow y=\frac{5}{6} x\)  ஆகும்.
(ii) \(y=\frac{5 x}{6}\) என்ற வரைபடத்திலிருந்து, x = 90 எனில்,\(y=\frac{5}{6} \times 90=75\) கி.மீ. எனவே, 90 நிமிடங்களில் பயணித்த தூரமானது 75 கி.மீ ஆகும்.
(iii) \(y=\frac{5 x}{6}\) என்ற வரைபடத்திலிருந்து, y = 300 எனில், \(x=\frac{6 y}{5}=\frac{6}{5} \times 300=360\) நிமிடங்கள் (அல்லது) 6 மணி நேரம் ஆகும்.
300 கி.மீ தூரம் பயணிக்க எடுத்துக்கொண்ட நேரம் 360 நிமிடங்கள் அதாவது, 6 மணி நேரம் ஆகும்.

விட்டம் (d) = 6 செ.மீ எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஆரம் \(\left( r \right) =\frac { 6 }{ 2 } \) = 3 செ.மீ

வரைமுறை
படி 1 : O-வை மையமாகக் கொண்டு 3 செ.மீ ஆரமுள்ள வட்டம் வரைக
படி 2 : 8 செ.மீ நீளமுள்ள OP என்ற ஒரு கோடு வரைக.
படி 3 : OP-க்கு மையக்குத்துக் கோடு வரைக. அது OP-ஐ M -ல் சந்திக்கும்.
படி 4 : M-யை மையமாகவும், MO-வை ஆரமாகவும் கொண்டு வரையப்படும் வட்டமானது முந்தைய வட்டத்தை A மற்றும் B -யில் சந்திக்கிறது.
படி 5 : AP மற்றும் BP யை இணைக்கவும். AP மற்றும் BP தேவையான தொடுகோடுகள் ஆகும். தொடுகோட்டின் நீளம் PA = PB = 7.4 செ.மீ.
சரிபார்த்தல் : செங்கோண முக்கோணம் OPA-யில் PA² = OP² - OA² = 8² – 3² = 64 – 9 = 55
PA = \( \sqrt{55} = 7.4\) செ.மீ (தோராயமாக) .

படி 1: BC = 8 செ.மீ என்ற கோட்டுத்துண்டு வரைக. 
படி 2: புள்ளி B வழியே ∠CBE = 60° என இருக்கும்படி BE வரைக.
படி 3: புள்ளி B வழியே ∠EBF = 90° என இருக்கும்படி BF வரைக.
படி 4: BC-க்கு வரையப்படும் மையக்குத்துக்கோடானது BF-ஐ O-விலும், BC-ஐ G-யிலும் சந்திக்கிறது.
படி 5: O-வை மையமாகவும், OB-யை ஆரமாகவும் கொண்டு ஒரு வட்டம் வரைக.
படி 6: புள்ளி B -யிலிருந்து BC-யில் 6 செ.மீ தொலைவில் D என்ற புள்ளிக்கு ஒரு வில் வரைக
படி 7: மையக்குத்துக்கோடானது வட்டத்தை I என்ற புள்ளியில் சந்திக்கிறது. ID-யை இணைக்கவும்.
படி 8: ID-யை வட்டத்தில் A-யில் சந்திக்குமாறு நீட்டவும். AB மற்றும் AC-யை இணைக்கவும்.\(\Delta \) ABC என்பது தேவையான முக்கோணம் ஆகும்.