AB என்பது பாறையின் உயரம் = 50\(\sqrt 3\) மீ
C என்பது மகிழுந்து என்க.
\(\angle D A C=\angle A C B=30^{\circ}\)
செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle A B C\)-இலிருந்து
\(\tan 30^{\circ} =\frac{A B}{B C} \)
\(\frac{1}{\sqrt{3}} =\frac{50 \sqrt{3}}{B C} \)
\(B C =50 \sqrt{3} \times \sqrt{3} \)
= 50 x 3 = 150  மீ
\(\therefore\) மகிழுந்துக்கும், பாறைக்கும் இடையே உள்ள தொலைவு = 150 மீ.

\(\triangle A B C\) எண்ற செங்கோண முக்கோணத்திலிருந்து \(\tan \theta\) = எதிா்ப்பக்கம் / அடுத்துள்ள பக்கம் = \(\frac{AC}{BC}\)
\(=\frac{10 \sqrt{3} \text { மீ }}{30 \text { மீ }}=\frac{\sqrt{3}}{3} \)
\(=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}} \)
\(\tan \theta =\frac{1}{\sqrt{3}} \)
\(\theta =\tan ^{-1}\left( \frac{1}{\sqrt{3}}\right) \)
\(\theta =30^{\circ}\)
\(\therefore\) ஏற்றக்கோணம் 30^o ஆகும்.

\(\sqrt { \frac { 1+\cos\theta }{ 1-\cos\theta } } =\sqrt { \frac { 1+\cos\theta }{ 1-\cos\theta } \times \frac { 1+\cos\theta }{ 1+\cos\theta } } \) [1 - cos θ யின் இணையைக் கொண்டு தொகுதி மற்றும் பகுதியைப் பெருக்கவும்]
\(=\sqrt { \frac { { (1+\cos\theta ) }^{ 2 } }{ 1-{ \cos }^{ 2 }\theta } } =\frac { 1+\cos\theta }{ \sqrt { { \sin }^{ 2 }\theta } } \) [ஏனெனில் sin²θ + cos²θ = 1]
\(=\frac { 1+\cos\theta }{ \sin\theta } \) = cosecθ + cotθ

r மற்றும் h என்பன முறையே உருளையின் ஆரம் மற்றும் உயரம் என்க.
இங்கு, h = 20 செ.மீ ; r = 14 செ.மீ
உருளையின் வளைபரப்பு = 2πrh ச.அ
\(=2\times \frac { 22 }{ 7 } \times 14\times 20=2\times 22\times 2\times 20=1760\) செ.மீ²
உருளையின் மொத்தப் புறப்பரப்பு = 2πr(h + r) ச.அ
\(=2\times \frac { 22 }{ 7 } \times 14\times (20+14)=2\times\frac{22}{7}\times 14\times 34\)
= 2992 செ.மீ²
ஆகவே, உருளையின் வளைபரப்பு = 1760 செ.மீ², மொத்தப் புறப்பரப்பு = 2992 செ.மீ²

\(\frac{\sin ^3 A+\cos ^3 A}{\sin A+\cos A}+\frac{\sin ^3 A-\cos ^3 A}{\sin A-\cos A}=2\)
இடப்பக்கம் = \(\frac{\sin ^3 A+\cos ^3 A}{\sin A+\cos A}+\frac{\sin ^3 A-\cos ^3 A}{\sin A-\cos A} \)
\(= \frac{(\sin A+\cos A)^3-3 \sin A \cos A(\sin A+\cos A)}{\sin A+\cos A}+ \frac{(\sin A-\cos A)^3+3 \sin A \cos A(\sin A-\cos A)}{\sin A-\cos A} \)
\(= \frac{(\sin A+\cos A)\left[(\sin A+\cos A)^2-3 \sin A \cos A\right]}{(\sin A+\cos A)} +\frac{(\sin A-\cos A)\left[(\sin A-\cos A)^2+3 \sin A \cos A\right]}{\sin A-\cos A}\)
\( =\sin ^2 A+\cos ^2 A+2 \sin A \cos A-3 \sin A \cos A+\sin ^2 A+\cos ^2 A-2 \sin A \cos A+3 \sin A \cos A \)
\(= 2 \sin ^2 A+2 \cos ^2 A \)
\(= 2\left(\sin ^2 A+\cos ^2 A\right)=\)2= வலப்பக்கம்

D மற்றும் C என்பன இரு கப்பல்கள் மற்றும் AB என்பது கலங்கரை விளக்கம் என்க.
AB = 'h' மீ
\(\angle E B D =\angle B D A=30^{\circ} \)
\(\angle F B C =\angle B C A=60^{\circ}\)
செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle B A C\) லிருந்து
\(\tan 60^{\circ}=\frac{A B}{A C} \)
\(\sqrt{3} =\frac{h}{A C} \)
\(A C =\frac{h}{\sqrt{3}}\)   ....(1)
செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle B A D\) லிருந்து
\(\tan 30^{\circ} =\frac{A B}{A D} \)
\(\frac{1}{\sqrt{3}} =\frac{h}{A D} \)
\(A D=h \sqrt{3} \)    ....(2)
\((1)+(2) \Rightarrow A C+A D=\frac{h}{\sqrt{3}}+h \sqrt{3} \)
\(\mathrm{DC}=\frac{h+h \sqrt{3} \sqrt{3}}{\sqrt{3}} \)
\(\mathrm{DC}=\frac{h+3 h}{\sqrt{3}}=\frac{4 h}{\sqrt{3}} \)
\(\therefore\) இரு கப்பல்களுக்கு இடைப்பட்ட தூரம் \(=\frac{4 h}{\sqrt{3}}\) மீ

கோபுரத்தின் உயரம் AC என்க. கட்டடத்தின் உயரம் AB என்க.
மேலும் AC = h மீ, AB = 30 மீ
செங்கோண Δ CBP- ல் ㄥCPB = 60°

tan θ = \(\frac {BC}{BP}\)
tan 60° = \(\frac { AB+AC }{ BP } \) ⇒ \(\sqrt { 3 } =\frac { 30+h }{ BP } \) ...(1)
செங்கோண Δ ABP-ல், ㄥAPB = 45°
tan θ = \(\frac{AB}{BP}\) 
tan 45^o =\(\frac{30}{BP}\)⇒ BP = 30  .....(2)
(1) ஐ (1) ல் பிரதியிட்டால் கிடைப்பது \(\sqrt { 3 } =\frac { 30+h }{ 30 } \)
h = 30(\(\sqrt { 3}\) - 1) = 30(1.732 - 1) = 30(0.732) = 21.96
எனவே, கோபுரத்தின் உயரம் = 21.96 மீ.

உள்ளீடற்ற அரைக்கோளம் உட்புற விட்டம் = 6 செ.மீ
உட்புற ஆரம் 'r' = 3 செ.மீ
வெளிப்புற விட்டம் = 10 செ.மீ
வெளிப்புற ஆரம் 'R' = 5 செ.மீ
உள்ளீடற்ற அரைக்கோளத்தின் கன அளவு (அல்லது) பயன்படுத்தப்பட்ட உலோகத்தின் கன அளவு .
\(=\frac{2}{3} \pi\left(R^3-r^3\right)\) கன அலகுகள்
\(=\frac{2}{3} \pi\left(5^3-3^3\right)\)
\(=\frac{2}{3} \pi(125-27)=\frac{196 \pi}{3}\) செ.மீ³
உருளை
விட்டம் = 14 செ.மீ
ஆரம் = 7 செ.மீ
உயரம் = h
உருளையின் கன அளவு \(=\pi r^2 h\) கன அலகுகள்
\(=\pi(7)^2 h \)
\(=49 \pi h\)
கொடுக்கப்பட்டது: உள்ளீடற்ற அரைக்கோளம் உருக்கப்பட்டு உருளையாக மாற்றப்படுகிறது.
\(\therefore\) உருளையின் கன அளவு = உள்ளீடற்ற அரைக்கோளத்தின் கன அளவு
\(49 \pi h=\frac{196 \pi}{3} \)
\(\mathrm{h}=\frac{196}{3 \times 49}=\frac{4}{3}=1.33\)
\(\therefore\) உருளையின் உயரம் = 1.33 செ.மீ

\(\mathrm{r}_1, \mathrm{r}_2\) என்பன இரு கோளங்களின் ஆரங்கள் என்க.
கொ.ப: \(\frac{r_1}{r_2}=\frac{4}{7} \Rightarrow r_1=\frac{4 r_2}{7}\)
கன அளவுகளின் விகிதம் \(=\frac{V_1}{V_2}=\frac{\frac{4}{3} \pi r_1^3}{\frac{4}{3} \pi r_2^3} \)
\(=\frac{\left(\frac{4 r_2}{7}\right)^3}{r_2^3}=\frac{4^3}{7^3}\)
கன அளவுகளின் விகிதம்
\(\mathrm{V}_1: \mathrm{V}_2=64: 343\)

கண்ணாடிக் குவளையின் விட்டம் = 20 செ.மீ
\(\therefore\) ஆரம் = 10 செ.மீ
தண்ணீர் உள்ள உயரம் = 9 செ.மீ
உலோக உருளையின் ஆரம் = 5 செ.மீ
உலோக உருளையின் உயரம் = 4 செ.மீ
வெளியேற்றப்பட்ட நீரின் கனஅளவு = உலோக உருளையின் கன அளவு
\(\pi r_1^2 h_1=\pi r_2^2 h_2 \)
\((10)^2 h_1=(5)^2(4) \)
\(\mathrm{h}_1=\frac{100}{100}=1\) செ.மீ
எனவே, நீரில் ஏற்படும் உயர்வு 1 செ.மீ

இடைக்கண்டத்தின் உயரம் h எனவும் அதன் இருபுற ஆரங்கள் R மற்றும் r எனவும் கொள்க.
இங்கு, h = 45 செ.மீ, R = 28 செ.மீ, r = 7 செ.மீ 
எனவே, இடைக்கண்டத்தின் கன அளவு \(=\frac { 1 }{ 3 } \pi h\left[ { R }^{ 2 }+Rr+{ r }^{ 2 } \right] \)க.அ
\(=\frac { 1 }{ 3 } \times \frac { 22 }{ 7 } \times 45\times \left[ { 28 }^{ 2 }+(28\times 7)+{ 7 }^{ 2 } \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 3 } \times \frac { 22 }{ 7 } \times 45\times 1029=48510\)
எனவே, இடைக்கண்டத்தின் கன அளவு 48510 க.செ.மீ ஆகும்.

படத்தில் AB - கோபுரம்
BC - ஏற்றக்கோணம் 45^o ஆக இருக்கும்போது கோபுர நிழல்
\(\tan 45^{\circ}=\frac{A B}{B C} \)
\(1 =\frac{60}{B C} \)
BC = 60 மீ .....(1)
\(\tan 30^{\circ} =\frac{A B}{B D} \)
\(=\frac{60}{B C+C D}\)
\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{60}{60+x} \quad[\therefore\) (1) லிருந்து]
\(60+x=60 \sqrt{3} \)
\(x=60 \sqrt{3}-60 \)
\(=60(\sqrt{3}-1)\)
= 60(1.732 - 1)
= 60 x 0.732
= 43.92 மீ

\(\mathrm{b}\left(\mathrm{a}^2-1\right)=(\sec \theta+\operatorname{cosec} \theta)\left[(\sin \theta+\cos \theta)^2-1\right] \)
\(=(\sec \theta+\operatorname{cosec} \theta)\left[\sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta+2 \sin \theta \cos \theta-1\right] \)
\(=\left(\frac{1}{\cos \theta}+\frac{1}{\sin \theta}\right)(1+2 \sin \theta \cos \theta-1) \)
\(=\frac{\sin \theta+\cos \theta}{\sin \theta \cos \theta} \times 2 \sin \theta \cos \theta=2 \mathrm{a}\)

\((\sin \alpha+\operatorname{cosec} \alpha)^2+(\cos \alpha+\sec \alpha)^2 \)
\(= \sin ^2 \alpha+\operatorname{cosec}^2 \alpha+2 \sin \alpha \operatorname{cosec} \alpha +\cos ^2 \alpha+\sec ^2 \alpha+2 \cos \alpha \sec \alpha \)
\(=\left(\sin ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha\right)+\operatorname{cosec}^2 \alpha+\sec ^2 \alpha +2 \sin \alpha \frac{1}{\sin \alpha}+2 \cos \alpha \frac{1}{\cos \alpha} \)
\(= 1+\operatorname{cosec}^2 \alpha+\sec ^2 \alpha+2+2 \)
\(= 5+1+\cot ^2 \alpha+1+\tan ^2 \alpha \)
\(= 7+\tan ^2 \alpha+\cot ^2 \alpha \)
\(k+ \tan ^2 \alpha+\cot ^2 \alpha \) உடன் ஒப்பிட
k = 7

r₁ ஆரத்தைக் கொண்ட கோளப் பந்தின் கன அளவு \(=\frac{4}{3} \pi r_1^3\)
r₂ ஆரத்தைக் கொண்ட சம கோளப் பந்துகளின் கன அளவு
\(=8\left(\frac{4}{3} \pi r_2^3\right)\)
இப்போது, கோளத்தின் கன அளவு / புதிய 8 கோளங்களின் கன அளவு
\(=\frac{\frac{4}{3} \pi r_1^3}{8\left(\frac{4}{3} \pi r_2^3\right)}=\frac{r_1^3}{8 r_2^3}=2: 1\)

கொ.ப r = 5 செ மீ, l = 13 செ மீ
\(\therefore\)  உயரம் \(h =\sqrt{F-r}=\sqrt{13-5} \)
\(=\sqrt{163-25}=\sqrt{144}=12\) செ மீ

கொடுக்கப்பட்டது : xy = 24. \(ie) y=\frac{24}{x}.\)
இது xy = k என்ற வடிவில் உள்ளது. இங்கு k = 24 என்பது விகிதசம மாறிலி. ஆகவே இது எதிா் மாறுபாடு ஆகும்.
\(y=\frac{24}{x}\) என்பதை பயன்படுத்தி அட்டவணை அமைக்கவும்.
(1,24), (2,12), (6,14), (12,2), (1,24) ஆகியவற்றை வரைபடத்தில் குறித்த புள்ளிகளை நேர்க்கோடற்ற இழைவான வளைவரையாக வரையவும் (செவ்வக அதிபரவளையம்)
(i) வரைபடத்திலிருந்து, x = 3 எனில் y = 8
(ii) வரைபடத்திலிருந்து, y = 6 எனில் x = 4.

விட்டம் (d) = 6 செ.மீ எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஆரம் \(\left( r \right) =\frac { 6 }{ 2 } \) = 3 செ.மீ

வரைமுறை
படி 1 : O-வை மையமாகக் கொண்டு 3 செ.மீ ஆரமுள்ள வட்டம் வரைக
படி 2 : 8 செ.மீ நீளமுள்ள OP என்ற ஒரு கோடு வரைக.
படி 3 : OP-க்கு மையக்குத்துக் கோடு வரைக. அது OP-ஐ M -ல் சந்திக்கும்.
படி 4 : M-யை மையமாகவும், MO-வை ஆரமாகவும் கொண்டு வரையப்படும் வட்டமானது முந்தைய வட்டத்தை A மற்றும் B -யில் சந்திக்கிறது.
படி 5 : AP மற்றும் BP யை இணைக்கவும். AP மற்றும் BP தேவையான தொடுகோடுகள் ஆகும். தொடுகோட்டின் நீளம் PA = PB = 7.4 செ.மீ.
சரிபார்த்தல் : செங்கோண முக்கோணம் OPA-யில் PA² = OP² - OA² = 8² – 3² = 64 – 9 = 55
PA = \( \sqrt{55} = 7.4\) செ.மீ (தோராயமாக) .

\(\frac{\cos \theta}{1+\sin \theta}=\frac{1}{a} \)
\(\therefore \quad a=\frac{1+\sin \theta}{\cos \theta}\)
நிரூபிக்க வேண்டியது \(\frac{a^2-1}{a^2+1}=\sin \theta\)
இடப்பக்கம் \(=\frac{a^2-1}{a^2+1} \)
\(=\frac{\left(\frac{1+\sin \theta}{\cos \theta}\right)^2-1}{\left(\frac{1+\sin \theta}{\cos \theta}\right)^2+1} \)
\(\frac{\frac{1^2+\sin ^2 \theta+2 \sin \theta}{\cos ^2 \theta}-1}{\frac{1^2+\sin ^2 \theta+2 \sin \theta}{\cos ^2 \theta}+1} \)
\(\frac{\frac{1+\sin ^2 \theta+2 \sin \theta-\cos ^2 \theta}{\cos ^2 \theta}}{\frac{1+\sin ^2 \theta+2 \sin \theta+\cos ^2 \theta}{\cos ^2 \theta}} \)
\(=\frac{\left(1-\cos ^2 \theta\right)+\sin ^2 \dot{\theta}+2 \sin \theta}{\cos ^2 \theta} \times \frac{\cos ^2 \theta}{1+\left(\sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta\right)+2 \sin \theta} \)
\(=\frac{\sin ^2 \theta+\sin ^2 \theta+2 \sin \theta}{1+1+2 \sin \theta} \)
\(\because \sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta=1 \)
\(1-\cos ^2 \theta=\sin ^2 \theta \)
\(=\frac{2 \sin ^2 \theta+2 \sin \theta}{2+2 \sin \theta} \)
\(=\frac{2 \sin \theta(\sin \dot{\theta}+1)}{2(1+\sin \theta)} \)
\(=\sin \theta=\)வலப்பக்கம்