P(A) = 0.37, P(B) = 0.42, P(A\(\cap\)B) = 0.09
P(A\(\cup\)B) = P(A) + P(B) - P(A\(\cap\)B)
P(A\(\cup\)B) = 0.37 + 0.42 - 0.09 = 0.7

ஒரு நாணயம் மூன்று முறை சுண்டப்படும்போது கிடைக்கும் முடிவுகளாவன

கூறுவெளி S \(= \{\mathrm{HHH}, \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{HTT},THH, THT, TTH, TTT \}\)
n(S) = 8
A என்பது இரு அடுத்தடுத்த பூக்கள் கிடைக்கும் நிகழ்வு என்க.
\(A =\{\mathrm{HTT}, \mathrm{TTH}, \mathrm{TTT}\} \)
n(A) = 3
\(\mathrm{P}(\mathrm{A}) =\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{3}{8}\)
இரு அடுத்தடுத்த பூக்கள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு \(=\frac{3}{8}\)

ஒரு நெட்டாண்டில் 366 நாட்கள் உள்ளன. எனவே 52 முழு வாரங்களும் மற்றும் 2 நாட்களும் உள்ளன. 
52 வாரங்களில், 52 சனிக்கிழமைகள் கிடைத்து விடும். மீதமுள்ள இரண்டு நாள்களுக்கான வாய்ப்புகள் கீழ்க்காணும் கூறுவெளியில் கிடைக்கும்.
S = (ஞாயிறு-திங்கள், திங்கள்- செவ்வாய், செவ்வாய்-புதன், புதன்-வியாழன், வியாழன்-வெள்ளி, வெள்ளி-சனி, சனி-ஞாயிறு}
n(S) = 7
A என்பது 53-ஆவது சனிக்கிழமை கிடைக்கும் நிகழ்ச்சி என்க.
எனவே A = {வெள்ளி-சனி, சனி-ஞாயிறு}; n(A) = 2
53 சனிக்கிழமைகள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவானது \(P(A)=\frac { n(A) }{ n(S) } =\frac { 2 }{ 7 } \)
\(P(A)=\frac {2}{7}\)

சராசரி \(\bar{x}\) = 15
மாறுபாட்டுக் கெழு (C.V) = 48
மாறுபாட்டுக் கெழு C.V \(=\frac{\sigma}{x} \times 100 \%\)
\(48=\frac{\sigma}{15} \times 100 \% \)
\(\sigma= \frac{48 \times 15}{100}\)
\(\sigma=\frac{36}{5}=7.2\)
\(\therefore\)  திட்ட விலக்கம் \(\sigma\)= 7.2

முதல் n இயல் எண்களின் திட்டவிலக்கம்
\(=\sqrt{\frac{n^2-1}{12}}\)
\(\therefore\) முதல் 21 இயல் எண்களின் திட்டவிலக்கம்
\(=\sqrt{\frac{21^2-1}{12}} \)
\(=\sqrt{\frac{441-1}{12}}=\sqrt{\frac{440}{12}} \)
\(=\sqrt{36.6666}=6.05\)
முதல் 21 இயல் எண்களின் திட்ட விலக்கம் = 6.05

மிகப் பெரிய மதிப்பு, L = 67; மிகச் சிறிய மதிப்பு, S = 18
வீச்சு R = L - S = 67 - 18 = 49
வீச்சுக் கெழு \(=\frac{L-S}{L+S}\)
வீச்சுக் கெழு \(=\frac{67-18}{67+18}=\frac {49}{85}=0.576\)

மொத்த பந்துகள் = நீல பந்துகள் + சிவப்பு பந்துகள் n(S) = 12 + x
(i) எடுக்கும் பந்து சிவப்பு நிற பந்தாக இருக்க நிகழ்தகவு:
சிவப்பு பந்து எடுக்கும் நிகழ்ச்சி A என்க.
\(\therefore \quad \mathrm{n}(\mathrm{A}) =\mathrm{x} \)
\(\mathrm{P}(\mathrm{A}) =\frac{n(\mathrm{~A})}{n(S)} \)
\(\mathrm{P}(\mathrm{A}) =\frac{x}{12+x}\)
(ii) 8 புதிய சிவப்பு பந்துகளை அப்பையில் வைத்த பின் பையிலுள்ள மொத்த சிவப்பு பந்துகள் = x + 8
பையிலுள்ள மொத்த பந்துகள் = 12 + x + 8
\(\therefore\) சிவப்பு பந்தை எடுக்கும் நிகழ்தகவு
\(\mathrm{P}(\mathrm{B}) =\frac{n(B)}{n(S)} \)
\(=\frac{x+8}{12+x+8}=\frac{x+8}{x+20}\)
சிவப்பு நிற பந்தை எடுக்கும் நிகழ்தகவு (i) இல் பெறப்பட்ட நிகழ்தகவைப் போல இருமடங்கு எனில்,
\(\frac{x+8}{x+20}=2 \times\left[\frac{x}{12+x}\right] \)
\((x+8)(12+x) =2 x(x+20) \)
\(12 x+96+x^2+8 x =2 x^2+40 x \)
\(2 x^2-x^2+40 x-12 x-8 x-96 =0 \)
\(x^2+20 x-96 =0 \)
\((x-4)(x+24) =0\)
x = 4 மற்றும் x = -24 (இயலாதது)
\(\therefore\) P(A) ல் x இன் மதிப்பை பிரதியிட;
\(\mathrm{P}(\mathrm{A})=\frac{4}{12+4}=\frac{4}{16} \)
\(\mathrm{P}(\mathrm{A}) =\frac{1}{4} \)

இரண்டு பகடைகள் உருட்டப்படும்பொழுது, கூறுவெளியானது 
S = { (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}. எனவே n(S) = 36 
(i) A ஆனது முக மதிப்புகளின் கூடுதல் 4-ஆக இருப்பதற்கான நிகழ்ச்சி என்க. 
A = {(1,3),(2,2),(3,1)}; n (A) = 3.
முக மதிப்புகளின் கூடுதல் 4 கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவானது \(P(A)=\frac { n(A) }{ n(S) } =\frac { 3 }{ 36 } =\frac { 1 }{ 12 } \)
ii) B ஆனது முக மதிப்புகள் கூடுதல் 10-ஐ விட பெரிய எண்ணாக இருப்பதற்கான நிகழ்ச்சி என்க.
B = {(5,6),(6,5),(6,6)}; n B ( )= 3
கூடுதல் 10ஐ விட பெரிதாக கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவானது \(P(B )=\frac { n(B) }{ n(S) } =\frac { 3 }{ 36 } =\frac { 1 }{ 12 } \)
(iii) C ஆனது முக மதிப்புகளின் கூடுதல் 13-ஐ விட குறைவாக இருப்பதற்கான நிகழ்ச்சி என்க. எனவே C = S.
ஆகவே, n(C) = n(S) = 36
ஆகையால், முக மதிப்புகளின் கூடுதல் 13-ஐ விடக் குறைவானதாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு \(P(C)=\frac { n(C) }{ n(S) } =\frac { 36 }{ 36 } =1\)

தரவுகள் ஏறுவரிசையில் : 24, 26, 29, 31, 33, 37
திட்ட விலக்கம் \(\sigma=\sqrt{\frac{\sum d_i^2}{N}-\left(\frac{\sum d_i}{N}\right)^2}\)
ஊகச் சராசரி A = 31 என்க. 

\(\therefore \quad \sigma=\sqrt{\frac{118}{6}-\left(\frac{-6}{6}\right)^2} \)
\(\sigma=\sqrt{19.67-(-1)^2}=\sqrt{19.7-1} \)
\(\sigma=\sqrt{18.67}=4.3\)
சராசரி  \(\bar{x}=\frac{\Sigma x_i}{N}\)
சராசரி \(\bar{x}=\frac{24+26+29+31+33+37}{6}\)
\(\bar{x}=\frac{180}{6}=30\)
மாறுபாட்டுக் கெழு C.V \(=\frac{\sigma}{x} \times 100 \%\)
\(\mathrm{C} V =\frac{4.3}{30} \times 100 \%=0.1433 \times 100 \% \)
= 14.4 %
தரப்பட்ட தரவுகளின் மாறுபாட்டுக் கெழு = 14.4 %

₹ 280, ₹ 280, ₹ 290, ₹ 290 ₹ 300, ₹ 310, ₹ 310, ₹ 320, ₹ 320
கூட்டுச் சராசரி
\(=\frac{280+280+290+290+300+310+310+320+320}{9}\)
\(\bar x= \cfrac { 2700 }{ 9 } =300\)

திட்ட விலக்கம்
\(\sigma =\sqrt{\frac{\sum d_i^2}{n}} \)
\(\sigma =\sqrt{\frac{2000}{9}} \)
\(\sigma=\sqrt{222.222 \ldots} =14.907=14.91 \)
மேலும் \(\sigma =\sqrt{222.222}\) எனில்
விலக்க வர்க்கச் சராசரி \(\sigma^2=222.22\)
\(\therefore\) விலக்க வர்க்கச் சராசரி = 222.22 மற்றும் திட்ட விலக்கம் = 14.91

\(=\frac { \sum { { x }_{ i } } }{ n } =\frac { 1+2+3+...+n }{ n } =\frac { n(n+1) }{ 2\times n } \)
சராசரி \(\bar { x } =\frac { n+1 }{ 2 } \)
விலக்க வர்க்கச் சராசரி \({ \sigma }^{ 2 }=\frac { \sum { { x }_{ i }^{ 2 } } }{ n } { -\left( \frac { { \sum { x } }_{ i } }{ n } \right) }^{ 2 }\left[ \begin{matrix} { \sum { x } }_{ i }^{ 2 } & = { 1 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 }+...+{ n }^{ 2 } \\ { \left( \sum { { x }_{ i } } \right) }^{ 2 }= & { \left( 1+2+3+....+n \right) }^{ 2 } \end{matrix} \right] \)
\(=\frac { n(n+1)(2n+1) }{ 6\times n } -\left[ \frac { n(n+1) }{ 2\times n } \right] ^ 2\)
\(=\frac{2 n^2+3 n+1}{6}-\frac{n^2+2 n+1}{4} \)
விலக்க வர்க்கச் சராசரி  \(\sigma^2 =\frac{4 n^2+6 n+2-3 n^2-6 n-3}{12}=\frac{n^2-1}{12} .\)

கொடுக்கப்பட்ட நேரிய சமன்பாடு \(\mathrm{y}=\frac{1}{2} x\). இது y = kx என்ற வடிவில் உள்ளது. இங்கு \(\mathrm{k}=\frac{1}{2} \) என்பது விகிதசம மாறிலி. ஆகவே இது நேர் மாறுபாடு ஆகும்.
\(y=\frac{1}{2} x\) என்பதை பயன்படுத்தி அட்டவணையை அமைக்கவும்,
(2,1),(5,2.5),(10,5),(16,8),(20,10) ஆகியவற்றை வரைபடத்தில் குறித்து புள்ளியை நேர் கோட்டால் இணைக்கவும்,

 
சரிபார்த்தல்:
வரைபடத்திலிருந்து, x = 10 எனில் y = 5.
\(\therefore \mathrm{k}=\frac{y}{x}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\) சரிபார்க்கப்பட்டது 
(i) வரைபடத்திலிருந்து, x = 9 எனில் y = 4.5
(ii) வரைபடத்திலிருந்து, y = 7.5 எனில் x = 15

வரைமுறை
படி 1: QR = 5 செ.மீ என்ற கோட்டுத்துண்டு வரைக.
படி 2: புள்ளி Q வழியே ∠RQE = 30° என இருக்கும்படி PE வரைக.
படி 3: புள்ளி Q வழியே ∠EQF = 90° என இருக்கும்படி PF வரைக.
படி 4: QR-க்கு வரையப்படும் மையக்குத்துக் கோடு XY-யானது QF-ஐ, O-விலும், QR-ஐ G-யிலும் சந்திக்கிறது.
படி 5: O-வை மையமாகவும், OQ-யை ஆரமாகவும் கொண்டு ஒரு வட்டம் வரைக.
படி 6: G-யிலிருந்து மையக்குத்துக் கோடு XY-ல், GM = 4.2 செ.மீ இருக்கும்படி ஒரு வில் வரைக.
படி 7: QR-க்கு இணையாக M வழியே AB என்ற கோடு வரைக.
படி 8: AB-யானது வட்டத்தை P மற்றும் S -யில் சந்திக்கிறது.
படி 9: QP மற்றும் RP -யை இணைக்கவும்.\(\Delta \)PQR ஆனது தேவையான முக்கோணம் ஆகும்.

ஒரு நாணயம் 3 முறை சுண்டப்படும்போது கூறுவெளி
\(\mathrm{S}=\{\mathrm{HHH}, \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{HTT}, \mathrm{THH}, \mathrm{THT},TTH, TTT \} \)
\(\mathrm{n}(\mathrm{S})=8\)
சரியாக இரண்டு தலைகள் கிடைக்கும் நிகழ்வு A என்க.
\(\mathrm{A} =\{\mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{THH}\} \)
\(\mathrm{n}(\mathrm{A}) =3 \)
\(\mathrm{P}(\mathrm{A}) =\frac{n(\mathrm{~A})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}=\frac{3}{8}\)
குறைந்தபட்சம் 1 பூ கிடைக்கும் நிகழ்வு B என்க.
B = {HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}
n(B) = 7
\(\mathrm{P}(\mathrm{B})=\frac{n(\mathrm{~B})}{n(\mathrm{~S})}=\frac{7}{8}\)
அடுத்தடுத்து இரண்டு தலைகள் கிடைக்கும் நிகழ்வு C என்க.
\({\mathrm{C}} =\{\mathrm{HHT}, \mathrm{THH}, \mathrm{HHH}\} \)
\(\mathrm{n}(\mathrm{C}) =3 \)
\(\mathrm{P}(\mathrm{C}) =\frac{n(\mathrm{C})}{n(\mathrm{~S})}=\frac{3}{8} \)
\(A \cap B=\{\mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{THH}\} \)
\(\mathrm{n}(A \cap B)=3 \)
\(\mathrm{P}(A \cap B)=\frac{n(\mathrm{~A} \cap B)}{n(\mathrm{~S}) \cdot}=\frac{3}{8} \)
\(B \cap C=\{\mathrm{HHT}, \mathrm{THH}\} \)
\(n(\mathrm{~B} \cap \mathrm{C})=2 \)
\(P(B \cap \mathrm{C})=\frac{n(\mathrm{~B} \cap \mathrm{C})}{n(\mathrm{~S})}=\frac{2}{8} \)
\(A \cap C=\{\mathrm{HHT}, \mathrm{THH}\} \)
\(n(\mathrm{~A} \cap C)=2 \)
\(P(\mathrm{~A} \cap \mathrm{C})=\frac{n(\mathrm{~A} \cap \mathrm{C})}{n(\mathrm{~S})}=\frac{2}{8} \)
\(A \cap B \cap C=\{\mathrm{HHT}, \mathrm{THH}\} \)
\(n(\mathrm{~A} \cap \mathrm{B} \cap \mathrm{C})=2 \)
\(P(A \cap B \cap C)=\frac{n(A \cap B \cap C)}{n(S)}=\frac{2}{8} \)
\(P(\mathrm{~A} \cup \mathrm{B} \cup \mathrm{C})= \) \(P(A)+P(B)+P(C)-P(A \cap B)-P(B \cap C)-P(A \cap C)+P(A \cap B \cap C) \)
\({P}(\mathrm{~A} \cup \mathrm{B} \cup \mathrm{C}) \quad =\frac{3}{8}+\frac{7}{8}+\frac{3}{8}-\frac{3}{8}-\frac{2}{8}-\frac{2}{8}+\frac{2}{8} \)
\(=\frac{3+7+3-3-2-2+2}{8} \)
\(=\frac{8}{8}=1\)
\(\therefore\) தேவையான நிகழ்தகவு = 1

குலுக்கலில் வெற்றி பெறும் நிகழ்வு A என்க
\(P(A)=\frac{1}{9} \)
\(\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{1}{9} \)
\(\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{1}{9} \Rightarrow \frac{n(A)}{135}=\frac{1}{9}\)
\(n(A)=\frac{135}{9}=15\)

திட்ட விலக்கம் \(\sigma=\mathrm{p}\)
ஒரு தரவில் உள்ள ஒவ்வொரு தரவுப் புள்ளிகளையும் 3 ஆல் பெருக்கினால் கிடைக்கும் தரவுகளின் புதிய திட்டவிலக்கம் பெற பழைய திட்டவிலக்கத்தின் 3 மடங்கு காண வேண்டும்.  புதிய \(\sigma=3\mathrm{p}\) ஒவ்வொரு புள்ளியுடனும் 5 ஐக் கூட்ட திட்ட விலக்கம் மாறாது.
\(\therefore\) புதிய திட்ட விலக்கம் \(\sigma=3 p\)

முதல் 20 இயல் எண்களின் கூடுதல்
\(=\frac{n(n+1)}{2}=\frac{20 \times 21}{2} \)
\(\sum x_i =210 \)
\(\sigma =\sqrt{\frac{\sum x_i^2}{n}-\left(\frac{\sum x_i}{n}\right)^2} \)
\(\sum x_i^2 =1^2+2^2+3^2+\ldots+20^2 \)
\(=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6} \)
\(=\frac{20 \times 21 \times 41}{6}=10 \times 7 \times 41 \)
\(=2870 \)
\(\sigma =\sqrt{\frac{2870}{20}-\left(\frac{210}{20}\right)^2}\)
விலக்க வா்க்கச் சராசரி
\(\sigma^2 =\frac{2870}{20}-\left(\frac{210}{20}\right)^2 \)
\(=143.5-\frac{441}{4} \)
\(=143.5-110.25=33.25\)

வீச்சு =  L - S
= 8 - 8
= 0