4X–5Y+33 = 0      ... (1)
20X–9Y–107 = 0    ...(2) எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) ஐ தீர்க்க.
நாம் பெறுவது Y = 17
Y-ன் மதிப்பை சமன்பாடு (1)-ல் பிரதியிட,
நாம் பெறுவது X =13
எனவே \(\bar { X } \)=13 மற்றும் ​​​​​​​\(\bar { Y } \)=17
ஒட்டுறவுக் கெழுவைக் கணக்கிடுதல்
சமன்பாடு (1) என்பதனை Y ன் மீது X ன் தொடர்புப் போக்குச் சமன்பாடு என்க.
4X =5Y–33
X =\(\frac{1}{4}\)(5Y–33)
X =\(\frac{5}{4}\)Y-\(\frac{33}{4}\)
b_xy =\(\frac{5}{4}\)=1.25
சமன்பாடு (2) என்பதனை X-ன் மீது Y-ன் தொடர்புப் போக்குச் சமன்பாடு என்க.
9X =20X–107
Y=\(\frac{1}{9}\)(20X–107)
Y =\(\frac{20}{9}\)X -\(\frac{107}{9}\)
b_yx =\(\frac{20}{9}\)=2.22
ஆனால் இது சாத்தியமல்ல ஏனெனில் இரண்டு தொடர்புப் போக்குக் கெழுக்களின் மதிப்புமே, ஒன்றை விட பெரியதாக இருக்கிறது. எனவே நம்முடைய மேற்கண்ட அனுமானம் தவறு. எனவே சமன்பாடு (1) என்பதனை X -ன் மீது Y-ன் தொடர்புப் போக்குச் சமன்பாடு எனவும் மற்றும் சமன்பாடு (2) என்பதனை Y ன் மீது X ன் தொடர்புப் போக்குச் சமன்பாடு எனவும் கருதவும். ஆதலால் நாம் பெறுவது
b_yx =\(\frac{4}{5}\)=0.8
மற்றும் b_xy =\(\frac{9}{20}\)=0.45
ஒட்டுறவுக் கெழு r =\(\pm \sqrt { b_{ xy }\times { b }_{ xy } } \)
r=\(\sqrt { 0.45\times 0.8 } \)=0.6

முதலில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள கட்டுப்பாடுகளுக்கு இணங்க ஏற்புடையப் பகுதியைக் காண்க.
இரண்டு பொதுவான தீர்மான மாறிகள் x₁ மற்றும் x₂ குறை குறியற்றவையாக இருப்பதல் x₁, x₂\(\ge \) 0 ஆகும். ஏற்புடையப் பகுதி கால்பகுதியில் அமையும்.
அனைத்துக் கட்டுப்பாடுகளையும் சமன்பாடு வடிவில் எழுதுக.
x₁ + x₂ = 30
x₂ = 12
x₁ = 20
x₁ + x₂ = 30 என்ற நேர்கோடானது (0, 30) மற்றும்  (30, 0) என்ற புள்ளிகள் வழியாகச் செல்லும்.
x₂ = 12 என்ற கோடானது x₁ க்கு இணையாகச் செல்லும்,
x₁ = 20 என்ற கோடானது x₂ க்கு இணையாகச் செல்லும்.
x₁ + x₂ \(\le \) 30;
x₂ \(\le \) 12;
x₁ \(\le \) 20 மற்றும் x₁, x₂ \(\ge \) 0 என்றக் கட்டுபாடுகளுக்கு இணங்க உகந்த தீர்வுப் பகுதி கீழ்கண்ட வரைபடத்தில் குறிக்கப்பட்டுள்ளது.

கணக்கில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளக் கட்டுபாட்டிற்கிணங்க வரைபடமானது வரையப்பட்டுள்ளது. நிழலிடப்பட்ட OABCD என்ற பகுதியே தீர்வுப் பகுதி ஆகும்.
தீர்வுப் பகுதியின் முனைப்புள்ளிகள் முறையே O(0, 0); A(20, 0); B(20, 10); C(18, 12) மற்றும் D(0, 12).

முனைப்புள்ளிகள்	Z=2X1 + 3X2
O(0, 0)	0
A(20,0)	40
B(20,10)	70
C(18,12)	72
D(0, 12)	36

குறிக்கோள் சார்பின் பெரும மதிப்பானது C -என்ற புள்ளியில் x₁ = 18, x₂ = 12 எனக் கிடைக்கிறது. எனவே Z - ன் பெரும மதிப்பு =72.

b_xy=0.33; b_yx=1.33; r=0.6667

கணக்கின்படி P(A) =\(\frac{3}{4}\) P(B) =\(\frac{1}{2}\),  P(C) = \(\frac{2}{3}\)
Then \(P(\bar { A } )=1-\frac { 3 }{ 4 } =\frac { 1 }{ 4 } ;P(\bar { B } )=1-\frac { 1 }{ 2 } =\frac { 1 }{ 2 } \) மற்றும் \(P(\bar { C } )=1-\frac { 2 }{ 3 } =\frac { 1 }{ 3 } \)
(i)  \(P(\bar { A } )\) =(மூவரும் இலக்கை சரியாக சுடுவதற்கான)
=P(A\(\cap \)B\(\cap \)C)=P(A)P(B)P(C)  (A,B,C சாரா நிகழ்வுகள்)
=\(\frac { 3 }{ 4 } .\frac { 1 }{ 2 } .\frac { 2 }{ 3 } =\frac { 1 }{ 4 } \)
(ii) P(ஒருவர் மட்டுமே இலக்கை சரியாக சுடுவதற்கான)
=\(P\{ (A\cap \bar { B } \bar { C } )\cup (\bar { A } \cap B\cap \bar { C } )(\bar { A } \cap \bar { B } \cap C\} \)
=\(P\{ (A\cap \bar { B } \cap \bar { C } +P(\bar { A } \cap B\cap \bar { C } )+P(\bar { A } \cap \bar { B } \cap C)\} \)
=\(\left( \frac { 3 }{ 4 } .\frac { 1 }{ 2 } .\frac { 1 }{ 3 } \right) +\left( \frac { 1 }{ 4 } .\frac { 1 }{ 2 } .\frac { 1 }{ 3 } \right) +\left( \frac { 1 }{ 4 } .\frac { 1 }{ 2 } .\frac { 2 }{ 3 } \right) =\frac { 1 }{ 4 } \)
(iii) P (குறைந்தபட்சம் ஒருவர் இலக்கை சுடுவதற்கான)
=1-P(ஒருவரும் சுடாமல் இருப்பதற்கான)
=\(1-P(\bar { A } \cap \bar { B } \cap \bar { C } )\)
=\(1-P(\bar { A } )P(\bar { B } )P(\bar { C } )\)
=\(1-\frac { 1 }{ 24 } =\frac { 23 }{ 24 } \) .

சராசரி = 13, MD = 21.67

முகமதிப்பு  =ரூ.10000
வருமானம் = 
= ரூ.2,000     ...(1)
வகை (i)
முதலீடு =ரூ.10,000
முகமதிப்பு  =ரூ.100
சந்தை மதிப்பு = ரூ.(100+42-2)= ரூ.140
பங்குகளின் எண்ணிக்கை =
=  \(\frac { 10,000 }{ 100 } \)
= 100
விற்றுக் கிடைக்கும் தொகை = 100\(\times \)140 = ரூ.14,000
வகை (ii)
சந்தை மதிப்பு = ரூ.(100-11+2)​
= ரூ.80
​​​​​​பங்குகளின் எண்ணிக்கை =
 = \(\frac { 14000 }{ 80 } \)
= 175
வருமானம் = \(175\times \frac { 15 }{ 100 } \)
=ரூ.2625
வருமான மாற்றம் =ரூ.2625-ரூ,2000=ரூ.625

u = xy+sin(xy)
\(\frac { \partial u }{ \partial x } \)= y+ycos(xy)
\(\frac { \partial u }{ \partial y } \) = x+x cos(xy)
\(\frac { \partial ^{ 2 }u }{ \partial y\partial x } =\frac { \partial }{ \partial x } \left( \frac { \partial u }{ \partial y } \right) \)
= 1+x(−sin(xy)⋅y)+ cos(xy) 
 = 1–xy sin(xy)+cos(xy)      ......(1)
\(\frac { \partial ^{ 2 }u }{ \partial y\partial x } =\frac { \partial }{ \partial x } \left( y+y\quad cos(xy) \right) \)
= 1+ cos(xy)+y(−sin(xy)x)
= 1−xy sin(xy)+ cos(xy)       ... (2)
(1) மற்றும் (2)-லிருந்து
 \(\frac { \partial ^{ 2 }u }{ \partial x\partial y } =\frac { \partial ^{ 2 }u }{ \partial y\partial x } \)

x அலகுகள் உற்பத்திக்கான மொத்த வருவாய் ;R =p x
 = (2530 – 5x)x
= 2530 x–5x²
அலகிற்கான வரி ரூ.2 வீதம் செலுத்தப்பட்ட வரித் தொகை =2x 
∴ வரி விதிக்கப்பட்ட பின் மொத்த செலவு C(x) + 2x =\(\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } \)-5x²+28x+10+2x
இலாபம் = மொத்த வருவாய் -(மொத்த செலவு + வரி)
P =(2530–5x)x- (\(\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } \)-5x²+28x+10+2x)
= \(-\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } \)+2500x-10
\(\frac { dp }{ dx } \)= -x²+2500
\(\frac { d^{ 2 }p }{ dx^{ 2 } } \) = -2x 
\(\frac { dp }{ dx } \)= 0 ⇒ 2500- x²=0
⇒ x² = 2500
∴  x = 50 (-50 ஏற்புடையதல்ல)
x = 50 எனில்  \(\frac { d^{ 2 }p }{ dx^{ 2 } } \)= 2\(\times \)50 < 0
x = 50-ல் P ஆனது பெருமம் அடைகிறது
P = 2530 – 5(50)
 = ரூ.2280

(i) x= 1 ல் தொடர்ச்சியானது மற்றும் வகையிடத்தக்கது.
(ii) x = 2 ல் தொடர்ச்சியானது ஆனால் வகையிடத்தக்கதல்ல.

நாம் 7 கொடிகளை ஏற்பாடு செய்ய வேண்டும், அதில் 3 ஒரு வகை மற்றும் மீதமுள்ள 2 வகைகள் ஒவ்வொன்றும் 2.
சிக்னல்களின் மொத்த எண்ணிக்கை \(=\frac { 7! }{ 3!2!2! } \)
= 210

\({{{6x}^{2}-14x-27}\over{(x+2){(x-3)}^{2}}}={{A}\over{x+2}}+{{B}\over{x-3}}+{{C}\over{{(x-3)}^{2}}}\)
\(\frac{6 x^2-14 x-27}{(x+2)(x-3)^2} =\frac{A(x-3)^2+B(x-3)(x+2)+C(x+2)}{(x+2)(x-3)^2}\)
\(\Rightarrow\)   6x² - 14x - 27 = A (x - 3)² + B (x + 2) (x - 3) + C (x + 2)...(1)
x = - 2 என சமன்பாடு (1) ல் பிரதியிட
24 + 28 - 27 A (25) \(\Rightarrow\)  25=25A  \(\Rightarrow\) \({A=1}\)
x = 3 in (1) we get,
54 - 42 - 27 = C (5) \(\Rightarrow\)  -15 = 5C \(\Rightarrow\) \({C=-3}\)
x² இன் கெழுக்களை  சமன்பாடு (1) ல் இருபுறமும் சமன்படுத்த
6 = A + B
6 = 1 + B \(\Rightarrow\) B = 5
\(\therefore\) \({{6x^2-14x-27}\over{(x+2){(x-3)}^{2}}}={{1}\over{x+2}}={{5}\over{x-3}}-{{3}\over{{(x-3)}^{2}}}\)

a₁₁ = 50, a₁₂ = 75, x₁ = 200
a₂₁ = 100, a₂₂ = 50, x₂ = 200
\({b}_{11}={{{a}_{11}}\over{{x}_{1}}}={{50}\over{200}}={{1}\over{4}};{b}_{12}=\frac{{a}_{12}}{{x}_{12}}=\frac{75}{200}=\frac{3}{8}\)
\({b}_{21}=\frac{{a}_{11}}{x_1}{{100}\over{200}}={{1}\over{2}};{b}_{22}={{{a}_{22}}\over{{x}_2{}}}={{50}\over{200}}={{1}\over{4}}\)
\(\therefore\)  B \(=\begin{bmatrix} \frac{1}{4}&\frac{3}{8}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{4} \end{bmatrix}\)
\(I-B=\begin{bmatrix}1&0\\0&1 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} \frac{1}{4} &\frac{3}{8}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{4} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {{3}\over{4}}&{{-3}\over{8}}\\ -{{1}\over{2}} &{{3}\over{4}} \end{bmatrix}\)
\(|I-B| ={{9}\over{16}}-{{3}\over{16}}={{6}\over{16}}={{3}\over{8}}>0 \)
X = (I - B)^-1 D இங்கு D \(=\begin{bmatrix} 300 \\ 600 \end{bmatrix}\)
\(X=\frac{8}{3}\left(\begin{array}{ll} \frac{1}{4} & \frac{3}{8} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} 300 \\ 600 \end{array}\right)\)
\(=\frac{8}{3}\left(\begin{array}{c} 75+225 \\ 150+150 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 800 \\ 800 \end{array}\right)\)

9x + 10y + 2z = 800
15x + 5y + 4z = 900
6x + 10y + 3z = 850
 \(\begin{bmatrix}9&10&2\\15&5&4\\6&10&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 800\\900\\850 \end{bmatrix}\)
AX = B
\(X=A^{-1} B\)
 A \(=\begin{bmatrix} 9&10&2\\15&5&4\\6&10&3 \end{bmatrix},X=\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}\) and B = \(\begin{bmatrix} 800\\900\\850 \end{bmatrix}\)
= 9 (15 - 40) - 10 (45 - 24) + 2 (150 - 30)
= 9 (- 25) - 10 (21) + 2 (120)
= - 225 - 210 + 240 = - 195 \(\neq0\):
\(\therefore\) A^–1 யைக் காணஇயலும்.
\(=\begin{bmatrix} -25&-21&120\\-10& 15&-30\\30&-6&-105 \end{bmatrix}\)
\({A}^{-1}={{1}\over{|A|}}adj\ A={{-1}\over{195}}\begin{bmatrix} -25&-10 &30\\-21&15&-6\\120&-30&-105 \end{bmatrix}\)
X = A^-1 B
= \({{-1}\over{195}}\begin{bmatrix} -25&-10&30\\-21&15&-6\\120&-30&-105 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}800\\900\\850 \end{bmatrix}={{-1}\over{195}}\begin{bmatrix} -20,000&-9,000&+25,5000\\ -16,8000&+13,500&-5,1000\\96,000&-27,000&-89,250 \end{bmatrix}\)
\(={{-1}\over{195}}\begin{bmatrix} -3500\\-8400\\-20,250 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {{3500}\over{195}} \\{{8400}\over{195}}\\{{20,250}\over{195}} \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 17.95\\43.05\\103.85 \end{bmatrix}\)
\(x=17.95, y=43.08, z=103.85\)

a = 6, c =6

y= 1500x+100000 , 95 தொலைகாட்சிபெட்டிகளின் விலை ரூ 2,42,500