\(f(x)=\begin{cases} { x^ 2 } ,\quad x \le 2 \\ 8-{ 2x } ,\quad 2 < x < 4 \\ { 4 } ,\quad x\ge 4 \end{cases}\)

x = 4 எனில் வளைவரைக்கு தீர்வு இல்லை.
\(\therefore\) x = 4 ஐத் தவிர மற்ற மதிப்புகளுக்கு வளைவரைக்கு எல்லை மதிப்புள்ளது. 

\(\frac { { 4\sqrt { 2 } -(\cos { x } +\sin { x) } }^{ 5 } }{ 1-\sin { 2x } } =\frac { { 2 }^{ \frac { 5 }{ 2 } }-{ \left[ (\cos { x } +\sin { x) } ^{ 2 } \right] }^{ \frac { 5 }{ 2 } } }{ 1-\sin { 2x } } \)
\(=\frac { { 2 }^{ \frac { 5 }{ 2 } }-{ (1+\sin { 2x) } }^{ \frac { 5 }{ 2 } } }{ 2-(1+\sin { 2x } ) } \)
 எனவே \(\lim _{ x\rightarrow \frac { \pi }{ 4 } }{ { \frac { { 2 }^{ \frac { 5 }{ 2 } }-{ \left[ (\cos { x } +\sin { x) } ^{ 2 } \right] }^{ \frac { 5 }{ 2 } } }{ 1-\sin { 2x } } } } =\lim _{ x\rightarrow \frac { \pi }{ 4 } }{ { \frac { { 2 }^{ \frac { 5 }{ 2 } }-{ (1+\sin { 2x) } }^{ \frac { 5 }{ 2 } } }{ 2-(1+\sin { 2x } ) } } } \)
 \(y=1+\sin { 2x } \) என்க. \(x\rightarrow \frac { \pi }{ 4 } \) எனில் \(y\rightarrow 2\)
\(=\lim _{ y\rightarrow 2 }{ \frac { { 2 }^{ \frac { 5 }{ 2 } }-{ y }^{ \frac { 5 }{ 2 } } }{ 2-y } } \) 
\(=\frac { 5 }{ 2 } .{ 2 }^{ \frac { 5 }{ 2 } -1 }=\frac { 5 }{ 2 } \times { 2 }^{ \frac { 3 }{ 2 } }=5\sqrt { 2 } .\)

\(f(x)=\begin{cases} 0,\quad ;\quad x<0 \\ { x }^{ 2 },\quad ;\quad 0\le x<2 \\ 4,\quad ;\quad x\ge 2 \end{cases}\)
\(\lim _{ x\rightarrow { 2 }^{ - } }{ f(x)=\lim _{ x\rightarrow { 2 }^{ - } }{ { x }^{ 2 }=4 } } \)
\(\lim _{ x\rightarrow { 2 }^{ + } }{ f(x) } =\lim _{ x\rightarrow { 2 }^{ + } }{ 4 } =4\)
மற்றும் f(2) = 4
\(\therefore \lim _{ x\rightarrow { 2 }^{ - } }{ f(x)=\lim _{ x\rightarrow { 2 }^{ + } }{ f(x)=f(2)=4 } } \)
\(\therefore\) f(x) ஆனது \(\left( -\infty ,\infty \right) \)-ல் தொடர்ச்சியானது.

x-ஐ விட மிகைப்படாத மீப்பெரு முழு எண் மதிப்பைப் பெறும் சார்பு f (x) = Lx」 ஆகும்.
படம்1.25-ல் உள்ள இந்த சார்பின் வரைபடம் மூலம் \(\lim _{ x\rightarrow { 2^- } }\)Lx」= 1 மற்றும் \(\lim _{ x\rightarrow { 2^+ } }\)Lx」= 2 என்பது தெளிவாகிறது

\(\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { { 1 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 }+...+{ (3n) }^{ 2 } }{ (1+2+...+5n)(2n+3) } =\frac { 9 }{ 25 } } \)
L.H.S.=\(\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { { 1 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 }+....+{ (3n) }^{ 2 } }{ (1+2+...+5n)(2n+3)}}\)

எனவே நிருபிக்கப்பட்டது.