O-ஐ ஆதிபுள்ளியாகக் கொண்டு A,B,C என்ற புள்ளிகளின்  நிலை வெக்டர்கள்   \(2\hat { i } +4\hat { j } +3\hat { k } ,4\hat { i } +\hat { j } +9\hat { k } ,10\hat { i } -\hat { j } +6\hat { k } \quad \) என்க.
 \(\overline { OA } =2\hat { i } +4\hat { j } +3\hat { k } ,\overline { OB } =4\hat { i } +\hat { j } +9\hat { k } \ \overline { OC } =10\hat { i } -\hat { j } +6\hat { k } \)
\(\overline { AB } =\overline { OB } -\overline { OA } =(4\hat { i } +\hat { j } +9\hat { k } )-(2\hat { i } +4\hat { j } +3\hat { k } )=2\hat { i } -3\hat { j } +6\hat { k }\)
\(AB=\left| \overline { AB } \right| =\sqrt { { 2 }^{ 2 }+{ (-3) }^{ 2 }+{ 6 }^{ 2 } } =\sqrt { 4+9+36 } =7\)
\(\overline { BC } =\overline { OC } -\overline { OB } =(10\hat { i } -\hat { j } +6\hat { k } )-(4\hat { i } +\hat { j } +9\hat { k } )=6\hat { i } -2\hat { j } -3\hat { k }\)
\(BC=\left| \overline { BC } \right| =\sqrt { { 6 }^{ 2 }+{ (-2) }^{ 2 }+{ (-3) }^{ 2 } } =\sqrt { 36+4+9 } =7\)
\(\overline { CA } =\overline { OA } -\overline { OC } =(2\hat { i } +4\hat { j } +3\hat { k } )-(10\hat { i } -\hat { j } +6\hat { k } )=-8\hat { i } +5\hat { j } -3\hat { k } \)
\(CA=\left| \overline { CA } \right| =\sqrt { { (-8) }^{ 2 }+{ 5 }^{ 2 }+{ (-3) }^{ 2 } } =\sqrt { 64+24+9 } =\sqrt { 98 } \)
\({ BC }^{ 2 }=49,{ CA }^{ 2 }=98.{ AB }^{ 2 }=49\)
அதாவது \({ CA }^{ 2 }={ BC }^{ 2 }+{ AB }^{ 2 }.\)
எனவே கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தினை அமைக்கும் .

ΔABC-யின் உச்சிப்புள்ளிகள் A, B, C-யின் நிலை வெக்டர்கள் \(\vec { OA } ,\vec { OB } ,\vec { OC } \) முறையே என்க.
\(\vec { OA } =\vec { a } ,\vec { OB } =\vec { b } ,\vec { OC } =\vec { c } \)
D, E என்பன பக்கம் AB, AC-யின் நடுப்புள்ளிகள்.

\(\vec { OD } =\frac { \vec { a } +\vec { b } }{ 2 } ,\vec { OE } =\frac { \vec { a } +\vec { c } }{ 2 } \)
\(\vec { DE } =\vec { OE } -\vec { OD } =\frac { \vec { a } +\vec { c } }{ 2 } -\frac { \vec { a } +\vec { b } }{ 2 } \)

=\(\frac { 1 }{ 2 } (\vec { OC } -\vec { OB } )=\frac { 1 }{ 2 } (\vec { BC } )\)
⇒ \(\vec { DE } =\lambda (\vec { BC } ),=\frac { 1 }{ 2 } \)
∴ \(\vec { DE } ||\vec { BC } \) and \(\vec { DE } =\frac { 1 }{ 2 } (\vec { BC } )\)
எனவே \(\vec { DE } \) மூன்றாவது பக்கம் \(\vec { BC } \) க்கு இணை மற்றும் அதன் நீளத்தில் பாதி எனவும் நிறுவப்பட்டது.

நாற்கரம் ABCD-யின் முனைப்புள்ளிகள் -யின் நிலைவெக்டர்கள் \(\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } ,\vec { d } \) என்க. E, F என்பன AC, BD-யின் நடுப்புள்ளிகள்.

\(\vec { OE } =\frac { \vec { a } +\vec { c } }{ 2 } ,\vec { OF } =\frac { \vec { b } +\vec { d } }{ 2 } \)
நிருபிக்க வேண்டியது:
LHS=\(\vec { AB } +\vec { AD } +\vec { CB } +\vec { CD } \)
=\(\vec { OB } -\vec { OA } +\vec { OD } -\vec { OA } +\vec { OB } -\vec { OC } +\vec { OD } -\vec { OC } \)
=\(\vec { b } -\vec { a } +\vec { d } -\vec { a } +\vec { b } -\vec { c } +\vec { d } -\vec { c } \)
=\(-2\vec { a } +2\vec { b } -2\vec { c } +2\vec { d } \)
=2\((\vec { b } +\vec { d } )-2(\vec { a } +\vec { c } )\)
=2\([(2\vec { OF } )-(2\vec { OE } )]\)
=2 x 2.\((\vec { OF } -\vec { OE } ]=4\vec { EF } \)=RHS
எனவே நிருபிக்கப்பட்டது.

\(\vec { a } =\hat { i } -2\hat { j } +3\hat { k } \)
\(\vec { b } =-2\hat { i } +3\hat { j } -4\hat { k } \)
\(\vec { c } =-\hat { j } +2\hat { k } \)
\(\vec { a } =\vec { b } +t\vec { c } \) என எழுதலாம்.
⇒ \(\hat { i } -2\hat { j } +3\hat { k } =s(-2\hat { i } +3\hat { j } -4\hat { k } )+t(0\hat { i } -\hat { j } +2\hat { k } )\)
கூறுகளை சமப்படுத்த
1=-2s  ⇒ -2s=1    ...(1)
-2=3s-t ⇒  3s-t=-2  ....(2)
3=-4s+2t  ⇒ -4s+2t=3   ....(3)
(i) லிருந்து, s =-\(\frac{1}{2}\),
(2) லிருந்து 3 x -\(\frac{1}{2}\) -t =-2
-t=\(-2+\frac { 3 }{ 2 } =\frac { -4+3 }{ 2 } =\frac { -1 }{ 2 } \)
t=\(\frac{1}{2}\)
s=-\(\frac{1}{2}\), t=\(\frac{1}{2}\) என (3)-ல் பிரதியிட,
\(-4\left( \frac { -1 }{ 2 } \right) +2\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \)=2+1=3=RHS
∴ ஒரு வெக்டரை மற்ற இரு வெக்டர்களின் ஒருபடிச் சேர்க்கையாக எழுதலாம். எனவே கொடுக்கப்பட்ட வெக்டர்கள் ஒரு தளத்தில் அமையும் வெக்டர்களாகும்.

\(\vec { OA } =\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } \)
\(\vec { OB } =3\hat { i } -4\hat { j } +5\hat { k } \)
\(\vec { OC } =-2\hat { i } +3\hat { j } -7\hat { k } \)
\(\vec { AB } =\vec { OB } -\vec { OA } \)
=\((3\hat { i } -4\hat { j } +5\hat { k } )-(\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } )\)
=\(2\hat { i } -6\hat { j } +2\hat { k } \)
\(|\vec { AB } |=\sqrt { { 2 }^{ 2 }+(-6)^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 } } \)
=\(\sqrt { 4+36+4 } =\sqrt { 44 } \)
\(\vec { BC } =\vec { OC } -\vec { OB } \)
=\((-2\hat { i } +3\hat { j } -7\hat { k } )-(3\hat { i } -4\hat { j } +5\hat { k } )\)
=\(-5\hat { i } +7\hat { j } -12\hat { k } \)
\(|\vec { BC } |=\sqrt { { (-5) }^{ 2 }+7^{ 2 }+(-1{ 2) }^{ 2 } } \)
=\(\sqrt { 25+49+144 } =\sqrt { 218 } \)
\(\vec { CA } =\vec { OA } -\vec { OC } \)
=\(\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } -(-2\hat { i } +3\hat { j } -7\hat { k } )\)
=\(3\hat { i } -\hat { j } +10\hat { k } \)
\(|\vec { CA } |=\sqrt { { 3 }^{ 2 }+(-1)^{ 2 }+{ 10 }^{ 2 } } =\sqrt { 9+1+100 } \)
=\(\sqrt { 110 } \)
ΔABC-யின் சுற்றளவு =|AB|+|BC|+|CA|
=\((\sqrt { 44 } +\sqrt { 218 } +\sqrt { 110 } )\) அலகுகள்.