இயக்க ஆற்றல் \(KE={1\over 2}mv^2_x\)
பகுதி மற்றும் தொகுதியை m ஆல் பெருக்க
\(KE={1\over 2m}m^2v^2_x={1\over 2m}(mv_x)^2={1\over2m}p^2_x\)
இங்கு p_x என்பது சீரிசை இயக்கத்தை மேற்கொள்ளும் துகளின் நேர்கோட்டு உந்தம்

அமைப்பினால் செய்யப்பட்ட வேலை (நமது உடலை அமைப்பு என்று கருதுக)
W = +500 kJ
அமைப்பிலிருந்து ( நமது உடல் ) வெளியேற்றப்பட்ட வெப்பம் Q = –230 kJ
உடலில் ஏற்படும் அக ஆற்றல் மாறுபாடு 
= \(\Delta \)U= – 230 kJ – 500 kJ = – 730 kJ
எதிர்குறியானது நமது உடலின் அக ஆற்றல் குறைந்தது என்பதைக் காட்டுகிறது.

சோப்புக் குமிழியானது இரு மேற்பரப்புகளைக் கொண்டிருப்பதால் மேற்பரப்பில் ஏற்பட்ட அதிகரிப்பு 
\(\Delta \)A = A₂−A₁
= 2(100-50) × 10^-4m² = 100 × 10^-4m²
எனவே செய்யப்பட்ட வேலை 
\(W=T\times \Delta A\Rightarrow T=\frac { W }{ \Delta A } =\frac { 2.4\times { 10 }^{ -4 } }{ 100\times { 10 }^{ -4 }{ m }^{ 2 } } =2.4\times { 10 }^{ -2 }{ Nm }^{ -1 }\)

இது தவறான கருத்தாகும். உண்மையில் புரியானது சூரியனை 23.5^o கோண சாய்வுடன் சுற்றி வருவதாலேயே பருவ காலங்கள் தோன்றுகின்றன. 23.5^o சாய்வின் காரணமாக புவியின் வடகோணப் பகுதியில் கோடை காலமாக இருக்கும்.

புவியிலிருந்து நிலவின் தொலைவைக் கணக்கிடுதல் (இடமாறு தோற்றமுறை)
படத்தில் C என்பது புவியின் மையம். A மற்றும் B என்பது புவி மேற்பரப்பில் நோ் எதிரெதிரான பகுதிகள். வானியல் தொலைநோக்கியின் உதவியால் A மற்றும் B யிலிருந்து அருகில் உள்ள விண்மீனுக்கும் சந்திரனுக்கும் (M) இடையேயான இடமாறு தோற்றக்கோணம் முறையே θ₁ மற்றும் θ₂ கண்டறியப்படுகிறது. எனவே, புவியிலிருந்து நிலவின் மொத்த இடமாறு தோற்ற கோணம்
\(\angle A M B=\theta_1+\theta_2=\theta  \)
\(\theta=\frac{A B}{A M} ; A M \approx M C  \)
\(\theta=\frac{A B}{M C} \Rightarrow M C=\frac{A B}{\theta}\)
AB மற்றும் θ மதிப்பு அறிந்திருந்தால் புவிக்கும் சந்திரனுக்கும் இடையேயான தொலைவை (MC) கணக்கிடலாம்

இம்முரண் கூற்றுக்குக் காரணம் நியூட்டனின் இரண்டாம் மற்றும் மூன்றாம் விதிகளை தவறாக பயன்படுத்துவதுதான். நியூட்டனின் விதிகளை பயன்படுத்துவதற்கு முன் அமைப்பினை (system) தீர்மானிக்க வேண்டும்.
இவ்வாறு அமைப்பினைக் கண்டறிந்த பின்னர் அவ்வமைப்பின் மீது செயல்படும் அனைத்து விசைகளையும் எளிதாகக் கண்டறியலாம். இங்கு அமைப்பு ஏற்படுத்தும் விசைகளைக் கருதக்கூடாது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். அமைப்பின் மீது ஏதேனும் சமன் செய்யப்படாத விசைகள் செயல்பட்டால், அமைப்பு தொகுபயன் விசையின் திசையில் முடுக்கமடையும். பின்வரும் கருத்துக்களை வரிசைப்படி பின்பற்றி குதிரை மற்றும் வண்டியின் இயக்கத்தைப் பகுப்பாய்வு செய்யலாம். குதிரை மற்றும் வண்டி இவை இரண்டையும் ஒன்றாக ஒரு அமைப்பு (system) என்று கருதினால் குதிரை, வண்டியின் மீது செலுத்தும் விசையையும், வண்டி குதிரையின் மீது செலுத்தும் எதிர்விசையையும் கருதக் கூடாது. மாறாக இந்த இரு விசைகளையும் அகவிசைகளாகக் கருத வேண்டும். மேலும் நியூட்டனின் மூன்றாம் விதிப்படி அகவிசைகளின் தொகுப்பயன் சுழி. அவை அமைப்பினை முடுக்கமடையச் செய்யாது. மீது ஏற்படும் முடுக்கம் புறவிசையால் மட்டுமே ஏற்படும். நாம் கருதும் இந்நிகழ்வில், சாலையானது அமைப்பின் மீது செலுத்தும் விசை புறவிசையாகும். அமைப்பின் மீது செயல்படும் அனைத்து விசைகளையும் கருதாமல் குதிரை மற்றும் வண்டியின் தொகுபயன் விசை சுழி என்று கருதுவது தவறாகும். சாலையானது, வண்டி - குதிரை அமைப்பை முன்னோக்கித் தள்ளுகிறது. வெளிப்புற விசை ஒன்று அமைப்பின் மீது செயல்படும்போது நியூட்டனின் மூன்றாம் விதியைப் பயன்படுத்தாமல் இரண்டாம் விதியைப் பயன்படுத்த வேண்டும். பின்வரும் படம் இதனை விளக்குகிறது.
குதிரையை அமைப்பு என்று கருதினால், அதன்மீது பின்வரும் மூன்று விசைகள் செயல்படுகின்றன .
(i) கீழ் நோக்கிச் செயல்படும் புவியீர்ப்பு விசை (m_ng)
(ii) சாலை, குதிரையின் மீது செலுத்தும் விசை (F_r)
(iii) வண்டி, குதிரையின் மீது செலுத்தும் பின்னோக்கிய விசை (F_c)
இவை பின்வரும் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது.
குதிரையின் மீது செயல்படும் விசைகள்


F_r - சாலை குதிரையின் மீது செலுத்தும் விசை
F_c - வண்டி குதிரையின் மீது செலுத்தும் விசை
\(F\frac { 1 }{ r } \) - விசை F_r இன் செங்குத்துக் கூறு = N
\({ F }_{ r }^{ || }\) - விசை F_r இன் கிடைத்தளக் கூறு.
(இதுவே முன்னோக்கிய இயக்கத்திற்குக் காரணம்)
சாலை, குதிரையின் மீது செலுத்தும் விசையை, கிடைத்தளக்கூறு மற்றும் செங்குத்துக் கூறு என இரண்டாகப் பிரிக்கலாம். செங்குத்துக்கூறு கீழ் நோக்கிச் செயல்படும் புவியீர்ப்பு விசையை சமன் செய்கிறது. முன்னோக்கிய திசையில் செயல்படும் கிடைத்தளக் கூறு பின்னோக்கிய விசை (F_c) ஐ விட அதிகம். எனவே முன்னோக்கியத் திசையில் ஒரு தொகுபயன் விசை செயல்பட்டு குதிரையை முன்னோக்கி இயக்குகிறது.
வண்டியை அமைப்பாகக் கருதினால், அதன்மீது பின்வரும் மூன்று விசைகள் செயல்படுகின்றன .
(i) கீழ் நோக்கிச் செயல்ப டும் புவியீர்ப்பு விசை (m_cg)
(ii) சாலை, வண்டியின் மீது செலுத்தும் விசை (F_r)
(iii) குதிரை, வண்டியின் மீது செலுத்தும் விசை (F_h)
இது பின்வரும் படத்தில் குறிப்பிட்டு காட்டப்பட்டுள்ளது.
சாலை வண்டியின் மீது செலுத்தும் விசையை (\(\overrightarrow { { F }_{ r } } \)) இரண்டு கூறுகளாகப் பிரிக்கலாம். செங்குத்துக் கூறு, கீழ் நோக்கியீர்ப்பு விசையை (m_cg) சமன் செய்யும். கிடைத்தளக்கூறு பின்னோக்கிச் செயல்படும். மேலும் குதிரை, வண்டியின் மீது செலுத்தும் விசை (\(\overrightarrow { { F }_{ h } } \)) முன்னோக்கிச் செயல்படும்.

இது பின்னோக்கிச் செயல்படும் கிடைத்தளக் கூறைவிட அதிகம். எனவே, முன்நோக்கியத் திசையில் ஒரு தொகுபயன் விசை கிடைக்கும். இதன் காரணமாக வண்டி முன்னோக்கி முடுக்கமடையும்.
குதிரை மற்றும் வண்டி இரண்டையும் ஒரு அமைப்பாகக் கருதினால், இவ்வமைப்பின் மீது இரண்டு விசைகள் செயல்படும். அவை பின்வருமாறு
(i) கீழ் நோக்கிச் செயல்படும் புவியீர்ப்பு விசை (m_h + m_c)g
(ii) சாலை, அமை ப்பின் மீது செலுத்தும் விசை (F_r)
இவை, பின்வரும் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளன.

(iii) இந்நிகழ்வில், சாலை, அமைப்பின் மீது ஏற்படுத்தும் விசையை ( F_r ) இரு கூறுகளாகப் பிரிக்கலாம்.
(iv) சாலை, அமைப்பின் மீது செலுத்தும் விசையின் சமன் செய்யப்படாத கிடைத்தளக்கூறு, குதிரை மற்றும் வண்டி அமைப்பு முன்னோக்கிச் செல்வதற்கு காரணமாக அமைகிறது.
செங்குத்துக்கூறு புவியீர்ப்பு விசை (m_h + m_c)g யை சமன் செய்யும்.

F = K_AX_A = K_BX_B
\({ x }_{ A }=\frac { F }{ { K }_{ A } } ;{ x }_{ B }=\frac { F }{ { K }_{ B } } \)
சுருள்வில்கள் மீது செய்யப்பட்ட வேலை சுருள்வில்களில் நிலை ஆற்றலாக சேமிக்கப்படுகிறது.
\({ U }_{ A }=\frac { 1 }{ 2 } { K }_{ A }{ x }_{ A }^{ 2 };{ U }_{ B }=\frac { 1 }{ 2 } { K }_{ B }{ X }_{ B }^{ 2 }\)
\(\frac { { U }_{ A } }{ { U }_{ B } } =\frac { { K }_{ A }{ x }_{ A }^{ 2 } }{ { K }_{ B }{ x }_{ B }^{ 2 } } =\frac { { K }_{ A }\left( \frac { F }{ { K }_{ A } } \right) ^{ 2 } }{ { K }_{ B }\left( \frac { F }{ { K }_{ B } } \right) ^{ 2 } } =\frac { \frac { 1 }{ { K }_{ A } } }{ \frac { 1 }{ { K }_{ B } } } \)
\(\frac { { U }_{ A } }{ { U }_{ B } } =\frac { { K }_{ A } }{ { K }_{ B } } \)
k_A > k_B குறிப்பது U_B > U_A ஆகும். எனவே A – வை விட B - இன் மீது அதிக வேலை செய்யப்பட வேண்டும்.

\(\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}=(5\hat{i}+7\hat{j}-4\hat{k})+(6\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k})=11\hat{i}+10\hat{k}-2\hat{k}\)
\(=11\hat { i } +10\hat { j } -2\hat { k } \)
\(\vec { B } +\vec { A } =\left( 6\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } \right) +\left( 5\hat { i } +7\hat { j } -4\hat { k } \right) \)
\(=\left( 6+5 \right) \hat { i } +\left( 3+7 \right) \hat { j } +\left( 2-4 \right) \hat { k } \)
\(=11\hat { i } +10\hat { j } -2\hat { k } \)
\(\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}=(5\hat{i}+7\hat{j}-4\hat{k})-(6\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k})=-\hat{i}+4\hat{j }-6\hat{k}\)
\(\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}=\hat{i}-4\hat{j}+6\hat{k}\)
\(\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}\) மற்றும் \(\overrightarrow{B}+\overrightarrow{A}\) ஒன்றுக்கொன்று சமம், ஆனால் \(\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}\) மற்றும் \(\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}\) ஆகியவை ஒன்றுக்கொன்று எதிராக உள்ளதை கவனிக்கவும்.

1. வெப்பநிலையில் உட்கருத்தை நுட்பமாக உணர்வதற்கு பின்வருமாறு மாற்றியமைக்க வேண்டும்.
\(P={1\over3}{N\over V}m\overline{v^2}\)
\(PV={1\over3}{N}m\overline{v^2}\)
2.நல்லியல்பு வாயுச் சமன்பாடு PV=Nkt யுடன் சமன்பாடு (1)ஐ ஒப்பிடும்போது பின்வரும் சமன்பாடு கிடைக்கும் 
\(Nkt={1\over3}Nm \overline{v^2}\)
\(kt={1\over3}Nm \overline{v^2}\)
மேலே உள்ள சமன்பாட்டின் இருபுறமும் ஆல் பெருக்கும்போது, பின்வரும் சமன்பாடு கிடைக்கும் 
சமன்பாடு (3) இன் வலதுப்பக்கமுள்ள பதம், மூலக்கூறு ஒன்றின் சராசரி இயக்க ஆற்றலைக் () குறிக்கிறது.
3. மூலக்கூறு ஒன்றின் சராசரி இயக்க ஆற்றல் வாயு மூலக்கூறு ஒன்றின் வெப்ப நிலையை தீர்மானிப்பது, அவ்வாயுவின் சராசரி இயக்க ஆற்றல் என்பதை சமன்பாடு (3)அல்லது (4)லிருந்து அறிந்து கொள்ளலாம். சமன்பாடு (4) என்பது வாயுக்களின் இயக்கவியர் கொள்கையிலிருந்து பெறப்பட்ட அதிமுக்கியத்துவம் வாய்ந்த ஒரு முடிவாகும். அச்சமன்பாட்டிலிருந்து நாம் பின்வருவனவற்றை அறிந்து கொள்ளலாம்.
i) வாயு மூலக்கூறு ஒன்றின் சராசரி இயக்க ஆற்றல், அவ்வாயுவின் கெல்வின் வெப்பநிலைக்கு நேர்த்தகவில் இருக்கும். சமன்பாடு (9.9) பேரளவான உலகத்துடன், (வெப்பநிலை) மீறுண் உலகத்தை (வாயுமூலக்கூறுகளின் இயக்கம் தொடர்புபடுத்துகிறது.
ii. ஒவ்வொரு மூலக்கூறின் சராசரி இயக்க ஆற்றல். வாயுவின் கெல்வின் வெப்பநிலையை மட்டுமே சார்ந்ததாகும். மூலக்கூறின் நிறையைச் சார்ந்ததல்ல. வேறு வகையில் கூறுவோமாயின் நல்லியல்பு வாயு ஒன்றின் வெப்பநிலையை, வெப்பநிலை மானியைக் கொண்டு அளவீடு செய்யும் அதே வேளையில், ஒவ்வொரு மூலக்கூறின் சராசரி இயக்க ஆற்றலையும் அம்மூலக்கூறுகளை நாம் கண்களால் பார்க்காமலேயே நம்மால் கணக்கீடு செய்ய இயலும்.
ஒவ்வொரு மூலக்கூறின் சராசரி இயக்க ஆற்றலையும், வாயு மூலக்கூறுகளின் மொத்த எண்ணிக்கையால் பெருக்கும்போது, வாயுவின் அகஆற்றல் கிடைக்கும்.