(i) தனி ஊசல் என்பது சீரலைவு இயக்கத்தை மேற்கொள்ளும் ஒரு இயந்திரவியல் அமைப்பாகும். நீளமான கயிற்றில் (நிறையற்ற மீட்சித் தன்மையற்றதாக கருதுக.) m நிறை கொண்ட ஊசல்குண்டு ஒரு முனையில் தொங்கவிடப்பட்ட நிலையில் மாரு முனையானது தொங்கியில் பொருத்தப்பட்டுள்ளது.

(ii) சமநிலையில், தனி ஊசல் அலைவு றாமல் செங்குத்தாக கீழ்நோக்கி தொங்கிக் கொண்டிருக்கும். இந்நிலை சமநிலைப்புள்ளி அல்லது நாடுநிலைப்புள்ளி எனப்படும். தனி ஊசலானது சமநிலைப் புள்ளியிலிருந்து சிறிய இடப்பெயர்ச்சிக்கு உட்படுத்தப்பட்டு விடப்படும் போது, ஊசல் குண்டானது முன்னும் பின்னும் இயக்கத்தை மேற்கொள்ளும்.
(iii) தனி ஊசலின் நீளம் l என்பது தொங்கிவிடப்பட்ட புள்ளிக்கு ஊசல் குண்டின் ஈர்ப்பு மையத்திற்கு இடைப்பட்ட தொலைவு ஆகும். ஊசல் குண்டின் மீது எந்த ஒரு இடம் பெயர்ந்த நிலையிலும் இரு விசைகள் செயல்படுகின்றன.
(a) ஈர்ப்பியல் விசை \(\vec { F } =m\vec { g } \) செங்குத்தாக கீழ்நோக்கி செயல்படுகிறது.
(b) தொங்கிவிடப்பட்ட புள்ளியை நோக்கி கயிற்றின் வழியாக செயல்படும் இழுவிசை \(\vec { T } \).
ஈர்ப்பியல் விசையின் இருகூறுகளாவன
(a) செங்குத்துகூறு: கயிற்றின் வழியாக இழுவிசைக்கு எதிர்திசையில் செயல்படும் கூறு. F_as=mgcosθ
(b) தொடுவியல் கூறு: கயிற்றிற்கு செங்குத்தாக உள்ள கூறு அதாவது வில்லின் தொடுகோட்டு திசையில் உள்ள கூறு F_ps=mgsinθ
எனவே, கயிற்றின் வழியே விசையின் செங்குத்துக்கூறு
T-W_as=\(m\frac { { v }^{ 2 } }{ l } \)
இங்கு v என்பது ஊசல் குண்டின் வேகம்
T-mgcosθ=\(m\frac { { v }^{ 2 } }{ l } \)
(iv) ஈர்ப்பியல் விசையின் தொடுகோட்டு கூறானது எப்பொழுதும் சமநிலை நோக்கியே அமையும். அதாவது ஈர்ப்பியல் விசையானது, ஊசல் குண்டின் சமநிலைப்புள்ளியிலிருந்து அடைந்த இடப்பெயர்ச்சியின் எதிர்திசையில் அமையும். இந்தொடுவியல் விசையே மீள் விசையாகும். தொடுவியல் விசையை நியூட்டனின் இரண்டாம் விதியின் மூலம் நாம் பெறலாம்.

திண்ம உருளையின் அச்சைப் பற்றி நிலைமைத் திருப்புத்திறன் I_s=\(\frac{1}{2}\)MR²
உள்ளீடற்ற உருளையின் அச்சைப் பற்றி நிலைமத் திருப்புத்திறன் I_h=MR²
I_s=\(\frac{1}{2}\)I_h அல்லது I_h =2I 
\(\alpha =\frac{\tau }{I}\)
\(\alpha_ s =\frac{\tau }{I_ s }\)மற்றும் \(\alpha_ h =\frac{\tau }{I_ h }\)
\(\alpha _s I _ s =\alpha _h \Rightarrow \alpha _s=\alpha _h \frac {I_h}{I_s }\)
இதிலிருந்து 
\({ I }_{ h }>{ I }_{ s }\Rightarrow \frac { { I }_{ h } }{ { I }_{ s } } >1\)
\(\therefore { \alpha }_{ s }>{ \alpha }_{ h }\)
ஒரே திருப்பு விசையின் போது திண்ம உருளையாவது உள்ளீடற்ற உருளையை விட அதிக முடுக்கத்தை பெறுகிறது.

வெக்டர்களின் கூடுதலின் முக்கோண விதியினைப் பயன்படுத்தி \(\hat { i }\) + \(\hat { j }\) ஐ பின்வருமாறு வரையலாம்

ஓரலகு வெக்டர் வரையறையிலிருந்து \(\hat { A } \) . \(\hat { A } \) = 1
ஆனால் இங்கு,
\((i+j).(i+j)=\hat i.\hat i+\hat i.\hat j+\hat j.\hat i+\hat j.\hat j=1+0+0+1=2\)
எனவே \(\hat { i }\) + \(\hat { j }\)  ஓரலகு வெக்டர் இல்லை.
எந்த ஒரு வெக்டரையும் ஓரலகு வெக்டராக மாற்ற அவ்வெக்டரை அதன் எண் மதிப்பினால் வகுக்க வேண்டும் \(\hat { A } =\frac { \overrightarrow { A } }{ |\overrightarrow { A } | } \)
\(\hat { i } +\hat { j } \) யின் எண்மதிப்பு = \(\sqrt { 2 } \).
எனவே, ஓரலகு வெக்டர் = \(\frac { \hat { i } +\hat { j } }{ \sqrt { 2 } } \)

வாளியில் உள்ள சாதாரண நீரைக்காட்டிலும், குவளையில் உள்ள சூடான நீரின் வெப்பநிலை அதிகம் இருப்பினும் குவளையில் உள்ள சுடுநீரின் ஆக ஆற்றலைவிட வாளி நீரின் அக ஆற்றல் அதிகம். ஏனெனில் அக ஆற்றல் ஓர் அளவுச் சார்புள்ள வெப்ப இயக்கவியல் மாறி ஆகும். அது அமைப்பின் அளவு அல்லது நிறையைச் சார்ந்ததாகும்.
வாளி நீரின் அக  ஆற்றல் அதிகம் எனினும், குவளையில் உள்ள சுடுநீரில் இருந்து வெப்பம் வாளி நீருக்கு பாயும். இதற்குக்காரணம் வெப்பம் எப்போது உயர் வெப்பநிலையிலுள்ள பொருளிலிருந்து தாழ் வெப்பநிலையிலுள்ள பொருளுக்குப் பாயும் மேலும் இது அமைப்பின் அக ஆற்றலைச் சார்ந்ததல்ல. பொருளுக்கு வெப்பம் மாற்றப்பட்ட உடன் அவ்வெப்பம் பொருளின் அக ஆற்றலாக மாறிவிடும். எனவே பொருள் வெப்பத்தைப் பெற்றுள்ளது என்பதைவிட "பொருள் ஒரு குறிப்பிட்ட அளவு அக ஆற்றலைப் பெற்றுள்ளது" என்று கூறுவதே சரியான முறையாகும்.  அமைப்பு ஒன்றின் அக ஆற்றலை அதிகரிப்பதற்கு ஒரு சிறந்த வழிமுறை வெப்பப்டுத்துவது ஆகும். இது பின்வரும் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. 

நுண்புழை நுழைவு: ஒரு நேர்க்குத்தான குழாயில் நீர்மம் மேலேறுவது அல்லது கீழிறங்குவது நுண்புழை நுழைவு அல்லது நுண்புழைச் செயல்பாடு எனப்படும். நுண்புழைக் குழாயின் விட்டதைப் பொறுத்து நீர்மம் மாறுபட்ட உயரங்களுக்கு மேலேறும் அல்லது கீழிறங்கும்.
நுண்புழையேற்ற முறையில் பரப்பு இழுவிசையைக் காணல்:
திரவமும், காற்றும் சந்திக்குமிடத்தில் உள்ள வளைந்த பரப்பின் மீது ஏற்படும் அழுத்த வேறுபாடே திரவமானது நுண்புழைக் குழாயில் மேலேறுவதற்கு காரணமாக அமைகிறது. (ஈர்ப்பின் விளைவைப் புறக்கணிக்க). மிக நுண்ணிய குழாய்களில் நுண்புழை யேற்றமானது அதிகமாக உள்ளது. இந்நிகழ்வானது இழுவிசையின் வெளிப்பாடாகும்.
நுண்புழையேற்றத்திற்கும் பரப்பு இழுவிசைக்கும். (T) உள்ள தொடர்பைப் பெற நுண்புழைக் குழாய் ஒன்று கொள்கலனினுள்ள நீரில் அமிழ்த்தி வைத்திருப்பதாக கருத்துக. நுண்புழைக் குழாயில் நீரானது பரப்பு இழுவிசையின் காரணமாக ஹ உயரத்திற்கு மேலேறுகிறது.
பரப்பு இழுவிசையின் காரணமாக ஏற்படும் விசை F_T  ஆனது தொடும்புள்ளியில் தொடுகோட்டின் வழியே கீழ்நோக்கியும், அதன் எதிர் திசை மேல்நோக்கியும் செயல்படுகின்றன. பரப்பு இழுவிசை T ஆனது இருகூறுகளாகப் பிரிக்கப்படுகிறது.
1. கிடைத்தளக் கூறு \(Tsin\theta \)
2. செங்குத்துக்கூறு \(Tcos\theta \) பிறைத்தளத்தின் சுற்றளவு முழுவதும் மேல்நோக்கி செயல்படுகிறது.
= \(T\left( cos\theta \right) \left( 2\pi r \right) =2\pi T\cos { \theta } \)
இங்கு \(\theta \) என்பது சேர்க்கோணம், r என்பது குழாயின் ஆரமாகும்.\(\rho \) என்பது நீரின் அடர்த்தி மற்றும் h என்பது குழாயில் நீர் மேலேறும் உயரம் எனில் 
(குழாயின் நீர்மத் தாம்பத்தின் கன அளவு v) = (rஆரமும் h உயரமும் உடைய நீர்மத் தம்பத்தின் கன அளவு )+(r ஆரமும் h உயரமும் உடைய நீர்மத் தம்பத்தின் கன அளவு- ர் ஆரமுடைய அரைக்கோளத்தின் கன அளவு)

\(V={ \pi r }^{ 2 }h+\left( { \pi r }^{ 2 }\times r-\cfrac { 2 }{ 3 } { \pi r }^{ 2 } \right) \Rightarrow V\)
= \({ \pi r }^{ 2 }h+\cfrac { 1 }{ 3 } { \pi r }^{ 3 }\)
மேல் நோக்கிய விசையானது நீரின் மேற்பரப்பிற்கு மேலே குழாயில் ஏறியுள்ள நீர்மத் தம்பத்தின் எடையைச் சமன் செய்கிறது. எனவே 
 \(2\pi rT\cos { \theta } ={ \pi r }^{ 2 }\left( h+\cfrac { 1 }{ 3 } r \right) \rho g\)
\(\Rightarrow \quad T=\cfrac { r\left( h+\cfrac { 1 }{ 3 } r \right) \rho g }{ 2\cos { \theta } } \)
நுண்புழைக் குழையானது மிக நுண்ணியதாக r ஆரம் கொண்டிருப்பின் (மிகக் குறைவான ஆரம்) உயரம் h உடன் ஒப்பிட \(\cfrac { r }{ 3 } \) ஆனது புறக்கணிக்கத்தக்கது. எனவே 
\(T=\cfrac { r\rho gh }{ 2\cos { \theta } } \)
h உயர்த்திறுக்  மேலேறும்போது  
\(h=\cfrac { 2Tcos }{ r\rho g } \Rightarrow h\propto \cfrac { 1 }{ r } \)
நுண்புழை ஏற்றமானது (h) குழாயின் ஆரத்திற்கு (r) எதிர்த்தகவல் உள்ளது என்பதை இது குறிக்கிறது. குழாயின் ஆரம் குறைய நுண்புழையேற்றம் அதிகமாகும்.

புவியினால் ஆப்பிள் உணரும் ஈர்ப்பியல் விசை 
\(F=\frac { { GM }_{ E }M_{ A } }{ { R }^{ 2 } } \)
இங்கு M_A -ஆப்பிள் நிறை, M_E-புவியின் நிறை, R-புவியின் ஆரம் ஆகும்.
நியூட்டன் இரண்டாம் விதையைப் பயன்படுத்த 

\(M_{ A }a_{ A }=-\frac { { GM }_{ E }M_{ A } }{ { R }^{ 2 } } \)
\(a_{ A }=-\frac { { GM }_{ E } }{ { R }^{ 2 } } \)
 இங்கு 'a_A' ஆப்பிளின் முடுக்கம். இது 'g' க்கு சமம் 
 இதேபோல் புவியினால் நிலா உணரும் விசை 
\(F=\frac { { GM }_{ E }M_{ A } }{ { R }_{ m }^{ 2 } } \)
இங்கு R_m =புவிக்கும் நிலவுக்கும் உள்ள தொலைவு, M_m - நிலாவின் நிறை 
நிலா உணரும் முடுக்கம் 
\(a_{ m }=-\frac { { GM }_{ E } }{ { R }_{ m }^{ 2 } } \)
ஆப்பிளின் முடுக்கத்திற்கும், நிலாவின் முடுக்கத்திற்கும் இடையே உள்ள தகவு 
\(\frac { { a }_{ A } }{ { a }_{ m } } =\frac { { R }_{ m }^{ 2 } }{ { R }^{ 2 } } \)
நிலாவின் சுற்றுப்பாதையானது புவியின் ஆரத்தை போல 60 மடங்கு என ஹிப்பார்க்கஸ் (Hipparchus) முன்னேர கண்டறிந்துள்ளார்.
R_m = 60 R.
\({ a }_{ A }/{ a }_{ m }=\frac { { \left( 60R \right) }^{ 2 } }{ { R }^{ 2 } } =3600\)
இதன் மூலம் ஆப்பிளின் முடுக்கமானது, நிலாவின் முடுக்கத்தைப் போல 3600 மடங்கு பெரியது என அறிகின்றோம். தனது ஈர்ப்பியல் சமன்பாட்டின் மூலம் இதே முடிவை நியூட்டன்  பெற்றார். ஆப்பிளின் முடுக்கம் 9.8 ms^-2 என எளிதில் கண்டறியப்பட்டது. புவியினை சுற்றும் நிலாவின் சுழற்சிக்காலம் 27.3 நாட்கள் என்பதை மைய நோக்கு முடுக்கு சமன்பாட்டில் பயன்படுத்த, நமக்கு கிடைப்பது 
\(\frac { { a }_{ A } }{ { a }_{ m } } =\frac { 9.8 }{ { 0.00272 } } =3600\)
ஈர்ப்பியல் விதியின் மூலமாகவும் இதே மதிப்பினையே நியூட்டன் பெற்றார்.

பொருள் ஓய்வு நிலையில் உள்ளதால், பொருளின் மீது செயல்படும் புவியீர்ப்பு விசை, அப்பொருள் வைக்கப்பட்டுள்ள தளமானது, பொருளின் மீது செலுத்தும் செங்குத்து விசையினால் சமன் செய்யப்படும்
N = mg
ஓய்வு நிலை உராய்வு விசையின் பெரும மதிப்பு
\(f_s^{max}=\mu_sN =\mu_s mg\)
\(f_s^{max}=0.8\times 2\times 9.8=15.68N\)
எனவே, பொருளைப் பரப்பின் மீது நகர்த்துவதற்குச் செலுத்த வேண்டிய புறவிசை, கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள பெரும ஓய்வு நிலை உராய்வு விசையை விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும்
F_ext > 15.68

வேலை - இயக்க ஆற்றல் தேற்றம்
வேலையும் ஆற்றலும் சமமானவை. இது இயக்க ஆற்றலுக்கும் பொருந்தும். இதனை நிரூபிக்க m நிறையுள்ள ஒரு பொருள் உராய்வற்ற கிடைத்தளப் பரப்பில் ஓய்வில் இருப்பதாகக் கருதுவோம்.
(F) என்ற மாறா விசையினால் அதே திசையில் (S) என்ற இடப்பெயர்ச்சியை ஏற்படுத்த செய்யப்பட்ட வேலை
W = Fs   .....(1)
மாறாத விசைக்கான சமன்பாடு
F = ma    .....(2)
மூன்றாவது இயக்கச் சமன்பாட்டை இவ்வாறு எழுதலாம்.
\(\mathrm{v}^2 =\mathrm{u}^2+2 \mathrm{as}  \)
\(\mathrm{a} =\frac{v^2-u^2}{2 s}\)
a இன் மதிப்பை சமன்பாடு (2) இல் பிரதியிட
\(\mathrm{F}=m\left(\frac{v^2-u^2}{2 s}\right)\)   .....(3)
சமன்பாடு (3) ஐ (1) இல் பிரதியிட
\(\mathrm{W}=m\left(\frac{v^2}{2 s} s\right)-\left(\frac{u^2}{2 s} s\right)  \)
\(W=\frac{1}{2} m v^2-\frac{1}{2} m u^2\)   ....(4)
இயக்க ஆற்றலுக்கான கோவை
மேற்கண்ட சமன்பாட்டில் \(\left(\frac{1}{2} m v^2\right)\) என்பது (v) திசைவேகத்தில் இயங்கும் (m) நிறையுள்ள பொருளின் இயக்க ஆற்றலைக் குறிக்கும்.
\(\mathrm{KE}=\frac{1}{2} m v^2\)  ....(5)
பொருளின் இயக்க ஆற்றல் எப்பொழுதும் நோ்க்குறி மதிப்புடையதாகும். சமன்பாடு (4) மற்றும் (5) இல் இருந்து
\(\Delta K E=\frac{1}{2} m v^2-\frac{1}{2} m u^2\)
எனவே, W = ΔKE
சமன்பாடு (6) இல் வலது பக்கத்தில் உள்ள கோவை பொருளின் இயக்க ஆற்றல் மாறுபாடு ΔKE ஆகும்.

பொருளின் மீது விசையினால் செய்யப்பட்ட வேலை பொருளின் இயக்க ஆற்றலை மாற்றுகிறது என்பதை இது குறிக்கிறது. இதுவே வேலை-இயக்க ஆற்றல் தேற்றம் எனப்படும்.
வேலை-இயக்க ஆற்றல் தோற்றமானது கீழ்காண்பவற்றை உணா்த்துகிறது.
(i) பொருளின் மீது விசையினால் செய்யப்பட்ட வேலை நோ்க்குறியாக இருந்தல் அதன் இயக்க ஆற்றல் அதிகரிக்கிறது.
(ii) பொருளின் மீது விசையினால் செய்யப்பட்ட வேலை எதிர்குறியாக இருந்தால் அதன் இயக்க ஆற்றல் குறைகிறது.
(iii) பொருளின் மீது விசையினால் வேலை ஏதும் செய்யப்படவில்லை எனில் அதன் இயக்க ஆற்றல் மாறாது. இது, பொருளின் நிறை மாறாதபோது விசையினால் பொருளானது மாறா வேகத்தில் இியங்கியது என்பதைக் குறிக்கிறது.

\({1\over2}mv^2\) இன் பரிமாண வாய்ப்பாடு
= [M][LT^-1]² = [ML²T^-2]
mgh இன் பரிமாண வாய்ப்பாடு
=[M][LT^-2][L]=[ML²T^-2]
∴ [ML²T⁻²] = [ML²T^-2]
இருபுறங்களிலும் பரிமாணங்கள் சமம். எனவே \({1\over 2}mv^2=mgh\)  என்ற சமன்பாடு பரிமாண முறைப்படி சரி.

வெட்டப்படாத வட்டத்தட்டின் நிறையானது M என எடுத்துக் கொள்க. இதனுடைய நிறை மையமானது வட்டத்தட்டின் வடிவியல் மையத்தில் அமையும். இப்புள்ளியிலேயே ஆதிப்புள்ளியும் ஒருங்கமைகிறது
வெட்டி எடுக்கப்பட்ட சிறு வட்டத்தட்டின் நிறை m என்க. (அதன் நிறை மையம் ஆதிப்புள்ளிக்கு) வலது புறத்தில் \(\frac { R }{ 2 } \) என்ற தொலைவில் படத்தில் காட்டியுள்ளவாறு அமைந்திருக்கும்.
எனவே வட்டத்தட்டின் மீதமுள்ள பகுதியின் நிறை மையம் ஆதிப்புள்ளிக்கு இடது புறத்தில் X தொலைவில் உள்ளதாக எடுத்துக் கொள்வோம். திருப்புத்திறன்களின் தத்துவத்திலிருந்து, கீழ்கண்டவாறு எழுத முடியும்.

(M - m)x = (m)\(\frac { R }{ 2 } \)
x =\(\left( \frac { m }{ M-m } \right) \frac { R }{ 2 } \)
பரப்பு நிறை அடர்த்தி \(\sigma =\frac { M }{ \pi { R }^{ 2 } } \) (\(\sigma \) என்பது ஓரலகு பரப்பின் நிறை) எனில், சிறிய வட்டத் தட்டின் நிறை (m) என்பது
m = பரப்பு நிறை அடர்த்தி x பரப்பு
m = \(\sigma \times \pi \left( \frac { R }{ 2 } \right) ^{ 2 }\)
m =\(\left( \frac { M }{ \pi { R }^{ 2 } } \right) \pi \left( \frac { R }{ 2 } \right) ^{ 2 }=\frac { M }{ \pi R^{ 2 } } \pi \frac { { R }^{ 2 } }{ 4 } =\frac { M }{ 4 } \)
x-ன் சமன்பாட்டில் m-ன் மதிப்பைப் பிரதியிட
x =\(\frac { \frac { M }{ 4 } }{ \left( M-\frac { M }{ 4 } \right) } \times \frac { R }{ 2 } =\frac { \frac { M }{ 4 } }{ \left( \frac { 3M }{ 4 } \right) } \times \frac { R }{ 2 } \)
x = \(\frac { R }{ 6 } \)
மீதமுள்ள வட்டத் தட்டின் நிறைமையமானது வட்டத் தட்டின் மையத்திற்கு இடப்புறம் \(\frac { R }{ 6 } \) தொலைவில் இருக்கும்.