Let \(\overset { \rightarrow }{ a } =\overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \ and\ \overset { \rightarrow }{ b } =-\overset { \wedge }{ i } +3\overset { \wedge }{ j } +4\overset { \wedge }{ k } \) 
Then    \(\overset { \rightarrow }{ a } *\overset { \rightarrow }{ b } =\left| \begin{matrix} \overset { \wedge }{ i } & \overset { \wedge }{ j } & \overset { \wedge }{ k } \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 3 & 4 \end{matrix} \right| \) 
\(\therefore |\overset { \rightarrow }{ a } *\overset { \rightarrow }{ b } |=\sqrt { { (5) }^{ 2 }+{ (-5) }^{ 2 }+{ (5) }^{ 2 } } =\sqrt { { 3(5) }^{ 2 } } \) 
\(\pm 10\sqrt { 3 } \left( \frac { 5\overset { \wedge }{ i } -5\overset { \wedge }{ j } +5\overset { \wedge }{ k } }{ 5\sqrt { 3 } } \right) i.e\pm 10(\overset { \wedge }{ i } -\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } )\)
\(\therefore\) The unit vector perpendicular to the plane \(\overset { \rightarrow }{ a } \)  and  \(\overset { \rightarrow }{ b } \) is given by:
Hence, the vector of magnitude  10\(\sqrt { 3 }\)  that are perpendicular to the plane of  \(\overset { \rightarrow }{ a } \) and \(\overset { \rightarrow }{ b } \) are

Let \(\overset { \rightarrow }{ a } =k\overset { \wedge }{ i } -10\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } ,\) and  \(\overset { \rightarrow }{ b } =\overset { \wedge }{ i } -\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \) and \(\overset { \rightarrow }{ c } =3\overset { \wedge }{ i } +5\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \) 

the given points are colinear if \(\left| \begin{matrix} k & -10 & 3 \\ 1 & -1 & 3 \\ 3 & 5 & 3 \end{matrix} \right| \) 
If  k(-3-15) +10(3-9) + 3(5+3) = 0
If -8k - 60 + 24 = 0
If 18k = -36
If k = -2

Here  \(\overset { \rightarrow }{ AB } =(2\overset { \wedge }{ i } -\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } )-(\overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } -\overset { \wedge }{ k } )\) 
\(=\overset { \wedge }{ i } -2\overset { \wedge }{ j } +4\overset { \wedge }{ k } \) 
and \(\overset { \rightarrow }{ CD } =(3\overset { \wedge }{ i } -2\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } )-(2\overset { \wedge }{ i } -3\overset { \wedge }{ k } )\)         
\(=\overset { \wedge }{ i } -2\overset { \wedge }{ j } +4\overset { \wedge }{ k } \) 
\(\therefore\) The projcetionj of \(\overset { \rightarrow }{ AB } \) along \(\overset { \rightarrow }{ CD } \)  \(=\frac { \overset { \rightarrow }{ AB } .\overset { \rightarrow }{ CD } }{ |\overset { \rightarrow }{ CD } | } \) 
\(=\frac { (\overset { \wedge }{ i } -2\overset { \wedge }{ j } +4\overset { \wedge }{ k } ).(\overset { \wedge }{ i } -2\overset { \wedge }{ j } +4\overset { \wedge }{ k } ) }{ |\overset { \wedge }{ i } -2\overset { \wedge }{ j } +4\overset { \wedge }{ k } | } \)
\(=\frac { (1)(1)+(-2)(-2)+(4)(4) }{ \sqrt { 1+4+16 } } =\frac { 1+4+16 }{ \sqrt { 21 } } =\frac { 21 }{ \sqrt { 21 } } =\sqrt { 21 } \)      

Given, \(|\vec{a}+\vec{b}|=13 \text { and }|\vec{a}|=5\)
Now, \((\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}+\vec{b})=\vec{a} \cdot \vec{a}+\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{a}+\vec{b} \cdot \vec{b}\)
\(\begin{array}{cl} \Rightarrow \quad & |\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+0+0+|\vec{b}|^2 \end{array}\)
\(\begin{array}{cl} {\left[\because \vec{x} \cdot \vec{x}=|\vec{x}|^2, \vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{b} \cdot \vec{a}=0 \text { as } \vec{a} \perp \vec{b}\right]} \end{array}\)
\(\begin{array}{ll} \Rightarrow & (13)^2=(5)^2+|\vec{b}|^2 \end{array}\)
\(\begin{array}{ll} \Rightarrow & 169=25+\left.|\vec{b}|^2 \Rightarrow|69-25=| \vec{b}\right|^2 \end{array}\)
\(\begin{array}{ll} \Rightarrow & 144=|\vec{b}|^2 \Rightarrow|\vec{b}|=12 \end{array}\)
[\(\because\) length cannot be '-' ve]

We have : \(\Rightarrow { \overset { \rightarrow }{ |a| } =1=\overset { \rightarrow }{ |b| } }\ and\ \overset { \rightarrow }{ |a| } +\overset { \rightarrow }{ |b| } =1\) 
sqaring  \(|\overset { \rightarrow }{ a } +{ \overset { \rightarrow }{ { b| }^{ 2 } } }=1\Rightarrow (\overset { \rightarrow }{ a } +{ \overset { \rightarrow }{ { b) }^{ 2 } } }\)
\(\Rightarrow \overset { \rightarrow }{ { b| }^{ 2 } } +\overset { \rightarrow }{ { b| }^{ 2 } } +2|\overset { \rightarrow }{ a| } |\overset { \rightarrow }{ b| } =1\)
\( \Rightarrow { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }+2|\overset { \rightarrow }{ a| } |\overset { \rightarrow }{ b| } cos\theta =1\)
Where '\(\theta \)' is the angle between  \(\overset { \rightarrow }{ a } \) and \(\overset { \rightarrow }{ b } \)
\(\Rightarrow 1+1+2(1)(1)cos\theta =1\)
\(\Rightarrow cos\theta =-\frac { 1 }{ 2 } \)
Hence, \(\theta =120°\)

Since \(\overset { \rightarrow }{ a } +\overset { \rightarrow }{ b } +\overset { \rightarrow }{ c } =0\)
\(\therefore\) \(\overset { \rightarrow }{ a } +\overset { \rightarrow }{ b } =-\overset { \rightarrow }{ c } \)
\(\Rightarrow { \overset { \rightarrow }{ a } }^{ 2 }+{ \overset { \rightarrow }{ b } }^{ 2 }+2\overset { \rightarrow }{ a } .\overset { \rightarrow }{ b } ={ \overset { \rightarrow }{ c } }^{ 2 }\)
\(\Rightarrow { \overset { \rightarrow }{ |a| } }^{ 2 }+{ \overset { \rightarrow }{ |b| } }^{ 2 }+2\overset { \rightarrow }{ |a| } \overset { \rightarrow }{ |b| } cos\theta ={ \overset { \rightarrow }{ |c| } }^{ 2 }\)
Where '\(\theta\)' is the angle between \(\overset { \rightarrow }{ a } \) and \(\overset { \rightarrow }{ b } \).
\(\Rightarrow \) (3)2 + (5)2 + 2(3)(5) cos \(\theta\)= (7)2
\(\Rightarrow \) 9 + 25 + 30 + cos \(\theta\)= 49
\(\Rightarrow \) 30 cos \(\theta\) = 49-34  \(\Rightarrow \) cos \(\theta\) \(1\over2 \)
\(\Rightarrow \) \(\theta\) = 60\(°\)
hence, the angle between  \(\overset { \rightarrow }{ a } \) and \(\overset { \rightarrow }{ b } \) is 60\(°\)

Here, we have \(l=\cos \frac{\pi}{4}, m=\cos \frac{\pi}{2} \text { and } n=\cos \theta\)
\(\Rightarrow l=\frac{1}{\sqrt{2}}, m=0 \text { and } n=\cos \theta\)
We know that, l² + m² + n² = 1
\(\begin{aligned} \Rightarrow \quad\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+(0)^2+n^2=1 \Rightarrow \frac{1}{2}+n^2=1 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \Rightarrow \quad n^2=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \Rightarrow n= \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow n=\frac{1}{\sqrt{2}} \end{aligned}\)
                              [\(\because\) \(\theta\) is an acute angle with Z-axis]
\(\therefore \quad \cos \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{4}\)
Thus, the DC's of a line are \(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\begin{aligned} \therefore \text { Vector } \vec{a} & =|\vec{a}|((\hat{i}+m \hat{j}+n \hat{k}) \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} = & 5 \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i}+(0) \hat{j}+\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{k}\right)[\because|\vec{a}|=5 \sqrt{2}, \text { given }] \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} 5 \hat{i}+5 \hat{k} \end{aligned}\)

\({ ( }{ \overrightarrow { a } *\overrightarrow { b) } }^{ 2 }={ \overset { \rightarrow }{ { (|a| }^{ 2 } } \overset { \rightarrow }{ { |b| }^{ 2 } } sin\theta { \overrightarrow { n } ) }^{ 2 } }\)
\(=\overset { \rightarrow }{ { |a| }^{ 2 } } \overset { \rightarrow }{ { |b| }^{ 2 } } sin\theta { \overrightarrow { n } }^{ 2 }=\overset { \rightarrow }{ { |a| }^{ 2 } } \overset { \rightarrow }{ { |b| }^{ 2 } } sin\theta { \overrightarrow { n } }^{ 2 }\)  \([\because { \overrightarrow { n } }^{ 2 }=\overrightarrow { n } .\overrightarrow { n } =(1)cos0°=1]\) 
\(=\overset { \rightarrow }{ { |a| }^{ 2 } } \overset { \rightarrow }{ { |b| }^{ 2 } } (1-{ cos }^{ 2 }°\theta )\) 
\(=\overset { \rightarrow }{ { |a| }^{ 2 } } \overset { \rightarrow }{ { |b| }^{ 2 } } -\overset { \rightarrow }{ { |a| }^{ 2 } } \overset { \rightarrow }{ { |b| }^{ 2 } } { cos }^{ 2 }°\theta \) 
\(=\overset { \rightarrow }{ { |a| }^{ 2 } } \overset { \rightarrow }{ { |{ b }| }^{ 2 } } -{ (\overrightarrow { a } .\overrightarrow { b } ) }^{ 2 }{ cos }^{ 2 }°\theta \) 
\(=\overset { \rightarrow }{ { |a| }^{ 2 } } \overset { \rightarrow }{ { |{ b }^{ 2 }| }^{ 2 } } -{ (\overrightarrow { a } .\overrightarrow { b } ) }^{ 2 }\) 
Other (I)  \({ (\overrightarrow { a } .\overrightarrow { b } ) }^{ 2 }=\overset { \rightarrow }{ { |a| }^{ 2 } } \overset { \rightarrow }{ { |{ b }| }^{ 2 } } -{ (\overrightarrow { a } *\overrightarrow { b } ) }^{ 2 }\)
(II) \({ (\overrightarrow { a } *\overrightarrow { b } ) }^{ 2 }+{ (\overrightarrow { a } .\overrightarrow { b } ) }^{ 2 }=\overset { \rightarrow }{ { |a| } } \overset { \rightarrow }{ { |{ b }| }^{ 2 } } \)

Let
\(\overset { \rightarrow }{ a } =2\overset { \wedge }{ i } -3\overset { \wedge }{ j } +4\overset { \wedge }{ k } ,\quad \overset { \rightarrow }{ b } =\overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } -\overset { \wedge }{ k } \) 
\(\overset { \rightarrow }{ c } =3\overset { \wedge }{ i } -\overset { \wedge }{ j } +2\overset { \wedge }{ k } \) 
\(\therefore\) Volume of the paralleopiped \(=[\overset { \rightarrow }{ a } \overset { \rightarrow }{ b } \overset { \rightarrow }{ c } ]\)
\(=\left| \begin{matrix} 2 & -3 & 4 \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 2 \end{matrix} \right| \)
\(=2(4-1)+3(2+3)+4(-1-6)\)  [Expanding by R₁ ]
\(=6+15-28=-7=7\)    [rejecting -ve sign]

\(\overset { \rightarrow }{ AB } =-4\overset { \wedge }{ i } -6\overset { \wedge }{ j } -2\overset { \wedge }{ k } \)
\(\overset { \rightarrow }{ BC } =3\overset { \wedge }{ i } +10\overset { \wedge }{ j } +52\overset { \wedge }{ k } \)
\(\overset { \rightarrow }{ CD } =-7\overset { \wedge }{ i } -5\overset { \wedge }{ j }\)
The four points are coplanar if \(\overset { \rightarrow }{ AB } ,\overset { \rightarrow }{ BC } ,\overset { \rightarrow }{ CD } \) are coplanar.
If \(\left[ \overset { \rightarrow }{ AB } ,\overset { \rightarrow }{ BC } ,\overset { \rightarrow }{ CD } \right] =0\quad i.e.if\left| \begin{matrix} -4 & -6 & -2 \\ 3 & 10 & 5 \\ -7 & -5 & 0 \end{matrix} \right| =0\)
If -4(0 + 25) + 6(0 + 35) -2(-15 + 70) = 0
If -100 + 210 - 110 = 0
If 0 = 0, which is true.