மாறுதல் நிகழ்தகவு அணி T =\(\left( \begin{matrix} \frac { 1 }{ 3 } & \frac { 2 }{ 3 } \\ \frac { 4 }{ 5 } & \frac { 1 }{ 5 } \end{matrix} \right) \)
சமநிலையில், (S H)\(\left( \begin{matrix} \frac { 1 }{ 3 } & \frac { 2 }{ 3 } \\ \frac { 4 }{ 5 } & \frac { 1 }{ 5 } \end{matrix} \right) \) (S H)
இங்கு S + H = 1
\(\frac { 1 }{ 3 } S+\frac { 4 }{ 5 } H\)=S
\(\frac { 1 }{ 3 } (1-H)+\frac { 4 }{ 5 } H\)=1-H
இதைத் தீர்க்க, நாம் பெறுவது S =\(\frac { 6 }{ 11 } \) மற்றும் H =\(\frac { 5 }{ 11 } \) 
நீண்ட கால அடிப்படையில், தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட நாளில் மகிழ்ச்சியாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு \(\frac { 5 }{ 11 } \) ஆகும்.

t = x² + 3x + 7
⇒ dt = (2x + 3)
இங்கு  x = -1, t = (-1)² +3(-1)+7 = 1-3 + 7= 5
x = 1, t = 1² +3(1)+7 = 11
\(\int _{ -1 }^{ 1 }{ \frac { 2x+3 }{ { x }^{ 2 }+3x+7 } } dx=\int _{ 5 }^{ 11 }{ \frac { dt }{ t } } ={ \left( \log { t } \right) }_{ 5 }^{ 11 }\)
\(=\log { 11 } -\log { 5 } \)
\(=\log { \left( \frac { 11 }{ 5 } \right) } \)

\(I=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \sqrt { x(x-1) } dx } \)
= \(\int _{ 0 }^{ 1 }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-xdx } } \)
= \(\int _{ 0 }^{ 1 }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-x+\cfrac { 1 }{ 4 } -\cfrac { 1 }{ 4 } dx } } \)
= \(\int _{ 0 }^{ 1 }{ \sqrt { \left( x-\cfrac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 2 }-\left( \cfrac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 2 }dx } } \)
\(\left[ \because \int { \sqrt { { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } dx } =\cfrac { x }{ 2 } \sqrt { { x }^{ 2 } } -\cfrac { { a }^{ 2 } }{ 2 } \log\left| x+\sqrt { { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } \right| \right] \)
= \(\left[ \cfrac { x-\frac { 1 }{ 2 } }{ 2 } \sqrt { { x }^{ 2 }-x } -\cfrac { 1 }{ 8 } \log|x-\cfrac { 1 }{ 2 } +\sqrt { { x }^{ 2 }-x } \right] _{ 0 }^{ 1 }\)
= \(\left[ \cfrac { 1-\frac { 1 }{ 2 } }{ 2 } \sqrt { 0 } -\cfrac { 1 }{ 8 } \log|1-\cfrac { 1 }{ 2 } +0| \right] -\left[ 0-\cfrac { 1 }{ 8 } \log|-\cfrac { 1 }{ 2 } | \right] \)
= \(0-\cfrac { 1 }{ 8 } \log\left| \cfrac { 1 }{ 2 } \right| +\cfrac { 1 }{ 8 } \log\left| \cfrac { 1 }{ 2 } \right| \)
= 0

(i) கொடுக்கப்பட்ட MC=2+5e^x 
C=\(\int { MC } dx+k\)
=\(\int { (2+5{ e }^{ x }) } dx+k\)
=2x+5e^x+k
x=0, C=100 ⇒100=2(0)+5(e⁰)+k
k=95
∴ C=2x+5e^x+95
(ii) சராசரி விலை =\(\frac { C }{ x } =\frac { 2x+{ 5e }^{ x }+95 }{ x } \)
AC=\(2+\frac { 4e^{ x } }{ x } +\frac { 95 }{ x } \).

\(\mathrm{MR} =275-x-0.3 x^2 \)
\(\mathrm{R} =\int_{10}^{20}\left(275-x-0.3 x^2\right) d x \)
\(\mathrm{R} =\left[275 x-\frac{x^2}{2}-\frac{0.3 x^3}{3}\right]_{10}^{20}\)
மொத்த வருவாய்
R =5500-200-800-(2750-50-100)
=4500-2600=₹ 1900
= ரூ.1,900

ஆதியைக் குவியமாகக் கொண்ட பரவளையத் தொகுப்பின் சமன்பாடு 
\((y-0)^2  =-4 a(x-a) \)
\(2 y y^{\prime} =-4 a \)
\(y y^{\prime}  =-2 a\)
(1) லிருந்து
\(y^2=-4 a x+4 a^2\)
(2) ஐ (3) ல் பிரதியிட
\( \mathrm{y}^2=2 x y y^{\prime}+y^2 y^{\prime 2} \)
\( \mathrm{y}=2 x y^{\prime}+y y^{\prime 2}\)
\(\mathrm{y}=2 x \frac{d y}{d x}+y\left(\frac{d y}{d x}\right)^2\)

\(\cos x(1+\cos y) d x-\sin y(1+\sin x) d y=0 \)
\(\cos x(1+\cos y) d x=\sin y(1+\sin x) d y \)
\(\int \frac{\cos x}{1+\sin x} d x=\int \frac{\sin y}{1+\cos y} d y \)
\(\log (1+\sin x)=-\log (1+\cos y)+\log c \)
\(\log (1+\sin x)+\log (1+\cos y)=\log c \)
\(\log (1+\sin x)(1+\cos y)=\log c \)
\((1+\sin x)(1+\cos y)=c \)

Δ⁴U₀=(E-1)⁴U₀
=(E⁴-4E³+6E²-4E+1)U0
=E⁴U₀-4E³U₀+6E²U₀-4EU₀+U₀
=U₄-4U₃+6U₂-4U₁+U₀
=29-4(28)+6(21)-4(11)+1
=156-156=0

\( \nabla f(x)= \mathrm{f}(x)-\mathrm{f}(x-\mathrm{h}) \)
\(E^{\prime}(\nabla f(x))=\mathrm{E}[\mathrm{f}(x)-\mathrm{f}(x-\mathrm{h})] \)
\(=\mathrm{E}[\mathrm{f}(x)]-\mathrm{E}[\mathrm{f}(x-\mathrm{h})] \)
\(=\mathrm{f}(x+\mathrm{h})-\mathrm{f}(x) \)
\(=\nabla f(x+h)=\nabla E f(x) \)
\( \therefore E \nabla=\nabla E \)
\( \nabla=\frac{E-1}{E} \)
\( E \nabla=\mathrm{E}-1 \)
\(E \nabla=\Delta \)
சமன்பாடு (1) மற்றும் (2) லிருந்து,
\(E \nabla=\Delta=\nabla E\) எனவே நிறுவப்பட்டது 

A =\(\left( \begin{matrix} -1 & 2 & -2 \\ 4 & -3 & 4 \\ -2 & 4 & -4 \end{matrix} \right) \)என்க 
A -ன்  வரிசை 3 x 3, எனவே ρ(A) ≤ 3
∼\(\left( \begin{matrix} -1 & 2 & -2 \\ 0 & 5 & -4 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) \)R₂ ⟶ R₂ + 4R₁ 
                                   R₃ ⟶ R₃ - 2R₁
ஏறுபடிவ அணியில் உள்ள பூச்சியமற்ற நிரைகளின் எண்ணிக்கை 2 ஆகும். ∴ ρ(A)= 2.             

மேலே திருப்பப்பட்ட முகங்களில் உள்ள தலைகளின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கிடும் சமவாய்ப்பு மாறியை X என்க. இதன் வெளிப்பாடுகள் கீழே குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது.

இதன் மதிப்பீடுகள் பின்வரும் நிகழ்தகவு அட்டவணை -இல் தரப்பட்டுள்ளன.

(i) \(p\left( { x }_{ i } \right) \ge \forall i\) மற்றும் (ii) \(\sum _{ i=0 }^{ 3 }{ p\left( { x }_{ i } \right) =1 } \)
எனவே , p(x_i) ஒரு நிகழ்தகவு நிறை சார்பாகும்.

முதலாவதாக முழுமை தொகுதிலுள்ள 8585 குழந்தைகளுக்கும் கொடுக்கப்பட்ட அலைவெண் அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி வரிசை எண் குறிப்பிட வேண்டும். உயரம் 105 செ.மீ இல் 2 குழந்தைகள் உள்ளதால், இவ்விரு குழந்தைகளுக்கு 1, 2 என எண்கள் குறிப்பிடவேண்டும். 107 செ.மீ. உயரமுள்ள அடுத்த நான்கு குழந்தைகளுக்கு 3, 4, 5 மற்றும் 6 ஆகிய வரிசை எண்களை குறிக்க வேண்டும். இதேபோல் மற்ற உயரங்கள் கொண்ட குழந்தைகளுக்கும் தொடர் வரிசை எண்களைக் கொண்டு குறியிட வேண்டும். கடைசியாக 145 செ .மீ.உயரமுள்ள குழுவில் இரண்டு குழந்தைகளுக்கு 8584 மற்றும் 8585 ஆகிய எண்களை குறியீடாக வழங்கலாம்.

முழுமைத் தொகுதியின் அளவு நான்கிலக்க எண் ஆதலால் நமக்கு தேவையான 10மாதிரிகளை   அட்டவணையிலிருந்து பெறலாம். அட்டவணையின் முதல் நிரலிருந்து தொடங்கி முழுமை தொகுதியின் அளவான 8585-க்கு மிகாமல் எண்களை தேர்வு செய்து கீழ்கண்டவாறு நிழலிடப்படுகிறது.

2952 என்ற எண் குறியிட்டுள்ள குழந்தையின் உயரத்தை காண வேண்டுமாயின் குவிவு நிகழ்வெண் நிரலில் 2952- க்கு அடுத்த அதிககுவிவு நிகழ்வெண் 3589-க்கு உரிய உயரமான 123 செ.மீட்டரை தேர்வு செய்யவும். இதேபோல் மற்ற எண்களுக்கு உரிய குழந்தையின் உயரத்தை கண்டு தேவையான 10 குழந்தைகள் மற்றும் அவர்களின் உயரங்கள் மாதிரியை கீழ்கண்ட அட்டவணையை உள்ளவாறு காணலாம்.

இங்கு, மொத்த அளிப்புகள் = 5+8+7+14=34, மொத்த தேவைகள் = 7+9+18=34
அதாவது, மொத்த அளிப்புகள் = மொத்த தேவைகள் கொடுக்கப்பட்ட கணக்கானது சமநிலை போக்குவரத்து கணக்காகும்.
∴ எனவே , ஆரம்ப அடிப்படை ஏற்புடையத் தீர்வு உள்ளது.
மேலே கூறப்பட்ட அட்டவணையில் வடமேற்கு மூலையில் உள்ள சிற்றரை (1, A) யைத் தேர்ந்தெடுத்து அதிகபட்ச சாத்தியமான ஒதுக்கீடுகளைச் செய்யவும்.
அதாவது (5,7) இன் சிறும மதிப்பு 5

குறைக்கப்பட்ட போக்குவரத்து அட்டவணை,

தற்போது (2, A) என்ற சிற்றறை வடமேற்கு மூலையில் உள்ளது.
அங்கு (8,2) இன் சிறும மதிப்பான 2 அலகுகளை ஒதுக்கீடு செய்யவும்.
x₁₂ = சிறும (2,8) = 2

குறைக்கப்பட்ட போக்குவரத்து அட்டவணை,

தற்போது (2, B) என்ற சிற்றறை வடமேற்கு மூலையில் உள்ளது.
அங்கு (6,9)ன் சிறும மதிப்பான 6 அலகுகளை ஒதுக்கீடு செய்யவும்.
x₂₂ = சிறும (6,9) = 6

குறைக்கப்பட்ட போக்குவரத்து அட்டவணை ,

தற்போது (3,B) என்ற சிற்றறை வடமேற்கு மூலையில் உள்ளது.
அங்கு (7,3)ன் சிறும மதிப்பான 3 அலகுகளை ஒதுக்கீடு செய்யவும்.
x₃₂ = சிறும (7,3) = 3

குறைக்கப்பட்ட போக்குவரத்து அட்டவணை ,


தற்போது (3,C) என்ற சிற்றறை வடமேற்கு மூலையில் உள்ளது.
அங்கு (4,18) -ன் சிறும மதிப்பான 4 அலகுகளை ஒதுக்கீடு செய்யவும்.
x₃₃ = சிறும (4,18) = 4

குறைக்கப்பட்ட போக்குவரத்து அட்டவணை மற்றும் இறுதி ஒதுக்கீடு, x₄₄ = 14

அனைத்து ஒதுக்கீடுகளைக் கொண்ட அட்டவணை கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

போக்குவரத்து விவரம் 1⟶ A, 2 ⟶ A, 2 ⟶ B, 3 ⟶ B, 3 ⟶ C, 4 ⟶ C
மொத்த போக்குவரத்து செலவு = (5×2) + (2×3) +(6×3)+(3×4)+(4×7) + (14×2) = ரூ. 102

பேருந்து தாமதமாக வருவதற்கான நிகழ்தகவு p எனக்குறிக்கப்படுகின்றது,
அதன் மதிப்பு p = 1-0.8 = 0.2
பேருந்து சரியாக இயக்கப்படுவதற்கான நிகழ்தகவு q = 0.8
n = 10
ஈருறுப்பு பரவல் p(x)=10C_x(0.2)^x(0.8)^10-x
(i) சரியாக ஒரு பேருந்து தாமதமாக இயக்கப்படுவதற்கான நிகழ்தகவு
P(x=1) = 10C₁ pq⁹
= 10C₁(0.2)(0.8)⁹
 (ii) குறைந்தபட்சம் ஒரு பேருந்து தாமதமாக இயக்கப்படுவதற்கான நிகழ்தகவு
= 1 - தாமதமாக எந்த ஒரு பேருந்தும் இயக்கப்படவில்லை
= 1 - p(x=0)
= 1- (0.8)¹⁰

கொடுக்கப்பட்ட போக்குவரத்து அட்டவணை 

மொத்த தேவைகள் = மொத்த இருப்புகள் = 950
எனவே கொடுக்கப்பட்ட கணக்கானது சமநிலை போக்குவரத்து கணக்காகும்.


போக்குவரத்து விவரம் 
A → D,A → E, B → E, B → F,C → F, C → G
மொத்த போக்குவரத்து செலவு 
=(200×11)+(50×13)+(175×18)+(125×14)+(150×13)+(250×10)
= 2200 + 650 + 3150 + 1750 + 1950 + 2500 
= 12200

X என்பது டயரின் இறுதி தேய்மான நிலையை அடைய கடந்த மைல்களின் எண்ணிக்கை என்க.(ஆயிரத்தில்)
\(\mathrm{E}(\mathrm{X})=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x) d x=\frac{1}{30} \int_0^{\infty} x e^{-\frac{x}{30}} d x\)
\(\mathrm{u} =x \quad \int d v=\int e^{-\frac{x}{30}} d x \)
\(\mathrm{du} =\mathrm{d} x \quad \mathrm{v}=\frac{e^{-\frac{x}{30}}}{-\frac{1}{30}} \)
\(\int u d v =u v-\int v d u \)
\(\mathrm{E}(\mathrm{X}) =\frac{1}{30}\left[\left(\frac{x e^{-\frac{x}{30}}}{-\frac{1}{30}}\right)_0^{\infty}-\int_0^{\infty} \frac{e^{-\frac{x}{30}}}{\frac{1}{30}} d x\right] \)
\( =-\left[x e^{-\frac{x}{30}}-\frac{e^{-\frac{x}{30}}}{-\frac{1}{30}}\right]_0^x \) =-[0+30(0-1)]
=  30 (அல்ல து 30,000 மைல்கள்)

  மூன்று ஆண்டு காலத்தைக் கொணட நகரும் சராசரி

இங்கே, அடிப்படை ஆண்டு அளவு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. எனவே மொத்த செலவு முறையைப் பயன்படுத்தலாம்.

வாழ்க்கை குறியீட்டுஎண்  \(=\frac { \sum { { p }_{ 1 }{ q }_{ 0 } } }{ \sum { { p }_{ 0 }{ q }_{ 0 } } } \times 100=\frac { 95225 }{ 84562.5 } \times 100=112.609\)
எனவே, 2015 ஆம் ஆண்டை, 2010 ஆண்டு உடன் ஒப்பிடுகையில், வாழ்க்கை குறியீட்டுஎண் 12.609% அதிகரித்துள்ளது.

பெறும் மதிப்பெண்களை சமவாய்ப்பு மாறி X என்க.
\(\mu=500, \sigma=100\)
\(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{585-500}{100}=0.85\)

\(\mathrm{P}(\mathrm{X}<585) =\mathrm{P}(\mathrm{Z}<0.85)\)
=0.5+0.3023  =0.8023>0.70
அவர் பல்கலைக்கழகத்தால் தேர்ந்தெடுக்கப்படுவார்.