A=\(\left( \begin{matrix} -5 & -7 \\ 5 & 7 \end{matrix} \right) \) என்க.
A-ன் வரிசை 2 x 2 ∴ ρ(A) ≤2
இரண்டாம் வரிசை சிற்றணிக்கோவையை கருத, நாம் பெறுவது \(\left| \begin{matrix} -5 & -7 \\ 5 & 7 \end{matrix} \right| \)=0 ஆகும்.
இரண்டாம் வரிசை சிற்றணிக்கோவை பூச்சியமாவதால், ρ(A)≠2
ஒன்றாம் வரிசை கொண்ட ஒரு சிற்றணிக்கோவையை கருத, நாம் பெறுவது |-5| ≠ 0 ஆகும்.
⇒ பூச்சியமற்ற சிற்றணிக்கோவையின் வரிசை 1 ஆகும்.  ∴ ρ(A) =1

\(\int \frac { { x }^{ 3 } }{ x+2 } dx\)

\(x^{ 3 }=(x+2)\left( x^{ 2 }-2x+4 \right) -8\)
\(\int \frac { x^{ 3 } }{ x+2 } dx=\int \left( x^{ 2 }-2x+4 \right) dx-8\int \frac { dx }{ x+2 }\)
\(=\frac { x^{ 3 } }{ 3 } -\frac { 2x^{ 2 } }{ 2 } +4x-8\log |x+2|+c\)
\(=\frac { x^{ 3 } }{ 3 } -x^{ 2 }+4x-8\log |x+2|+c\)

கொடுக்கப்பட்டவை: y=36-x² மற்றும் y₀=11
11=36-x₀²
x₀²=25
x₀=5

=\(\int _{ 0 }^{ 5 }{ (36-x^{ 2 }) } dx-5\times 11\)
=\(\left[ 36x-\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } \right] _{ 0 }^{ 5 }-55\)
=\(\left[ 36(5)-\frac { { 5 }^{ 3 } }{ 3 } \right] -55\)
=\(180-\frac { 125 }{ 3 } -55=\frac { 250 }{ 3 }\)
நுகர்வோர் உபரி =\(\frac { 250 }{ 3 } \) அலகுகள்.

\(x\frac { dy }{ dx } \)=x+y
\(\frac { dy }{ dx } = \frac { x + y }{ x } \) ...(1)
y=vx மற்றும் \(\frac { dy }{ dx } =v+x\frac { dv }{ dx } \) என (1) –ல் பிரதியிட,
\(v+x \frac{d v}{d x}  =\frac{x+v x}{x}=\frac{x(1+v)}{x} \)
\(v+x \frac{d v}{d x} =1+\mathrm{v} \)
\(x \frac{d v}{d x}  =1 \)
\(\int d v  =\int \frac{d x}{x} \)
\(\mathrm{v}  =\log x+\log \mathrm{c} \)
\(\frac{y}{x}  =\log \mathrm{c} x \)
\(\mathrm{c} x  =e^{y / x} \Rightarrow x=\frac{1}{c} e^{y / x} \)
\(x  =k e^{y / x}\), இங்கு  k=1/c 

x₀ = 1982, x₁ = 1983, x₂ = 1984, x₃ = 1986, x = 1985
y₀ = 150, y₁ = 235, y₂ = 365, y₃ = 525
∴ y = f(x) = \(\frac { (x-{ x }_{ 1 })(x-{ x }_{ 2 })(x-{ x }_{ 3 }) }{ ({ x }_{ 0 }-{ x }_{ 1 })({ x }_{ 0 }-{ x }_{ 2 })({ x }_{ 0 }-{ x }_{ 3 }) } \times { y }_{ 0 }+\frac { (x-{ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 2 })(x-{ x }_{ 3 }) }{ ({ x }_{ 1 }-{ x }_{ 0 })({ x }_{ 1 }-{ x }_{ 2 })(x_{ 1 }-{ x }_{ 3 }) } \times { y }_{ 1 }+\frac { (x-{ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 1 })(x-{ x }_{ 3 }) }{ ({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 0 })({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 })({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 3 }) } \times { y }_{ 2 }+\frac { (x-{ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 1 })(x-{ x }_{ 2 }) }{ ({ x }_{ 3 }-{ x }_{ 0 })({ x }_{ 3 }-{ x }_{ 1 })({ x }_{ 3 }-{ x }_{ 2 }) } \times { y }_{ 3 }\)
\(y=\frac{(2)(1)(-1)}{(-1)(-2)(-4)} 150+\frac{(3)(1)(-1)}{(1)(-1)(-3)} 235 +\frac{3(2)(-1)}{(2)(1)(-2)} 365+\frac{(3)(2)(1)}{(4)(3) 2} 525 \)
\( =\frac{150}{4}-235+\frac{365(3)}{2}+\frac{525}{4} \)
\( =37.5-235+547.5+131.25 \)
= 481.25 இலட்சங்கள்

2 நாணயங்களை சுண்டும்போது தலை பெறுவதை சமவாய்ப்பு மாறி X என்க.
X இன் மதிப்பு 0, 1, 2.
' தலை பெறுவது' வெற்றி என்க.
\( P(X=0)=P(F F)=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{4} \)
\( P(X=1)=2 P(S F)=2 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \)
\(P(X=2)=P(S S)=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{4} \)

X=xi	0	1	2
P(X=xi)	\(\cfrac { 1 }{ 4 } \)	\(\cfrac { 1 }{ 2 } \)	\(\cfrac { 1 }{ 4 } \)

டிப்பெட்டின் வாய்ப்பு அட்டவணை அடிப்படையில் சமவாய்ப்பு கூறானது 10 எண்களைக் கொண்ட ஒரு மாதிரி தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன. அதாவது மூன்று இலக்க இரட்டை எண்கள் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன. சமவாய்ப்பு முறையில் இரண்டாவது நிரலில் 664, 952,748, 524, 914 மூன்றாவது நிரலில் 154, 340, 140 நான்காவது நிரலில் 276 மற்றும் 610.

2952	6641	3992	9792	7969	5911	3170	5624
4167	9524	1545	1396	7203	5356	1300	2693
2670	7483	3408	2762	3563	1089	6913	7991
0560	5246	1112	6107	6008	8125	4233	8776
2754	9143	1405	9025	7002	6111	8816	6446

போக்குவரத்து கணக்கில் மொத்த போக்குவரத்துச் செலவை குறைக்கும் வகையில் ஒவ்வொரு ஆதியிலிருந்து ஒவ்வொரு சேரும் இடத்திற்கு அனுப்பக் கூடிய பொருள்களின் அளவை தீர்மானிப்பதாகும். அதே சமயம் ஒதுக்கீட்டு கணக்கில் மொத்த ஒதுக்கீட்டு செலவை குறைக்கும் வகையில் ஒரு வேலையை ஒரு இயந்திரத்திற்கு ஒதுக்கீடு செய்ய ஆகும் செலவு ஆகும்.
ஒதுக்கீட்டு கணக்கில் ஒவ்வொரு நிரை மற்றும் நிரலிலும் ஒரே ஒரு ஒதுக்கீடு மட்டுமே செய்யப்பட வேண்டும். ஆனால் போக்குவரத்து கணக்கில் எந்தவொரு நிரை மற்றும் நிரலிலும் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட ஒதுக்கீடுகள் இருக்கலாம்.

ஒதுக்கீடு கணக்கில் நிரல்களின் எண்ணிக்கையும் நிரைகளின் எண்ணிக்கையும் சமமாக இருக்க வேண்டும். ஆனால் போக்குவரத்து கணக்கில் அவ்வாறு இருக்க தேவையில்லை.

சாலை விபத்துகளின் எண்ணிக்கையை சமவாய்ப்பு மாறி X என்க.
சராசரி \(=\lambda=4\)
\(\mathrm{P}(\mathrm{X}=x)=\frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x !}\)
(i) \(\mathrm{P}(\mathrm{X}=0)=\frac{e^{-4} 4^0}{0 !}=0.0183\)
விபத்து இல்லாத நாட்கள்
\(=0.0183 \times 100=1.83 \sim 2\) நாட்கள்
(ii) \(P  (X \geq 2)=1-P(X<2)\)
\( =1-[P(X=0)+P(X=1)] \)
\(=1-\left[\frac{e^{-4} 4^0}{0 !}+\frac{e^{-4} 4^1}{1 !}\right] \)
\(=1-e^{-4}[1+4]=1-(0.0183)(5) \)
=1-0.0915=0.9085
குறைந்தபட்சம் 2 விபத்துகள் ஏற்படும் நாள்கள் 
\(=0.9085 \times 100=90.85 \sim 91 \)நாட்கள்
(iii) \(P(X \leq 3)=P(X=0)+P(X=1)  +P(X=2)  +P(X=3) \)
\( =\frac{e^{-4} 4^0}{0 !}+\frac{e^{-4} 4^1}{1 !}+\frac{e^{-4} 4^2}{2 !}+\frac{e^{-4} 4^3}{3 !}\)
\( =e^{-4}\left[1+4+8+\frac{32}{3}\right] \)
=0.0183(23.67)=0.433
அதிகபட்சம் 3 விபத்துகள் ஏற்படும் நாட்கள் \(=0.433 \times 100 \simeq 43\) நாட்கள்

மாறிகளுக்கான இருவகையான கட்டுப்பாட்டு வரைபடங்கள் :
(i) சராசரி வரைபடங்கள் ( \(\bar X\) )
(ii) வீச்சு வரைபடங்கள்(R)

Δ =\(\left| \begin{matrix} { a }_{ 1 } & { b }_{ 1 } \\ { a }_{ 2 } & { b }_{ 2 } \end{matrix} \right| \) = Δ₁

\(\int { \frac { 1 }{ { x }^{ 3 } } dx } =\int { { { x }^{ 3 } } dx } = \frac { x^ {-2} }{-2} + c = \frac { -1 }{ 2x^{ 2 } } +x\)

t = 4 + x⁴ என்க.⇒ dt = x⁴ dx
\(\int { \frac { { 2x }^{ 3 } }{ 4+{ x }^{ 4 } } } \)dx \(= \int \frac {1}{2}{ \frac { { 4x }^{ 3 } }{ 4+{ x }^{ 4 } } } dx = \frac {1}{2} \int \frac {dt }{t }\)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \log \left| t \right| +c\)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \log \left| 4+{ x }^{ 4 } \right| +c\)

\(p_d =p_s \)
\((x-5)^2 =x^2+x+3 \)
\(x^2-10 x+25 =x^2+x+3 \)
\(-11 x =-22 \)
x  = 2

கொடுக்கப்பட்டது : \(\int { \frac { dp }{ p } } =k\int { \frac { dx }{ x } } \) ...(1) 
நமக்கு தெரிந்தது, \(-\int { \frac { dp }{ p } } =\frac { 1 }{ { \eta }_{ d } } \int { \frac { dx }{ x } } \) ...(2)
(1) மற்றும் (2) ஐ ஒப்பிட k = \(\frac { -1 }{ { \eta }_{ d } } \)

\(\mathrm{y} =\mathrm{c} x+\mathrm{c}-\mathrm{c}^3 \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\mathrm{c} \)
\(\therefore \mathrm{y} =x \frac{d y}{d x}+\frac{d y}{d x}-\left(\frac{d y}{d x}\right)^3 \)

\(\mathrm{m}^2+4 =0 \Rightarrow \mathrm{m}^2=-4 \Rightarrow \mathrm{m} ± 2i \)
\(\alpha  =0, \ \beta=2\)
நிரப்புச் சார்பு : \(\mathrm{A} \cos 2 x+\mathrm{B} \sin 2 x\)

E (X- Y) = E(X)-E(Y) = 5-(-2) = 7

\( p=\frac{1}{100}, n=100, \lambda=n p=1 \)
\(P(X=3)=\frac{e^{-1} 1^3}{3 !}=\frac{0.3679}{6}=0.0613 \)

\( \mathrm{p}=\frac{2}{100}, \lambda=\mathrm{np}=50\left(\frac{2}{100}\right)=1 \)
\(P(X \leq 2) =\mathrm{P}(\mathrm{X}=0)+\mathrm{P}(\mathrm{X}=1)+\mathrm{P}(\mathrm{X}=2) \)
\(=\mathrm{e}^{-1}+\mathrm{e}^{-1}(1)+\frac{e^{-1}(1)}{2 !} \)
\( =e^{-1}\left[2+\frac{1}{2}\right]=2.5 \mathrm{e}^{-1}\)

ஃபிஷர் தனித்த குறியீட்டு எண் =\(\sqrt{110 \times 108} = \sqrt{11880} = 108.99 - 109\)

சமன்பாடுகள்
x+y+z=1
3x-y-z=4
x+5y+5z=k
அணிச் சமன்பாடு ,
\(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & -1 \\ 1 & 5 & 5 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 1 \\ 4 \\ k \end{matrix} \right) \)
AX =B 
விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி 
(A ,B ) =\(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & -1 & 4 \\ 1 & 5 & 5 & k \end{pmatrix}\quad \)
~\(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -4 & -4 & 1 \\ 0 & 4 & 4 & k-1 \end{pmatrix}\quad { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 3 }-3{ R }_{ 1 }\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-\quad { R }_{ 1 }\quad \)
~\(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -4 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & k \end{pmatrix}\)\(\quad { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }+{ R }_{ 2 }\quad \)
சமன்பாடுகள் ஒருங்கமையற்றதாக இருக்க ,
\(\rho \)(A ,B ) \(\neq \) 2
ஃ k \(\neq \) 0

\(\int _{ 0 }^{ 1 }{ [e^{ alogx }+{ e }^{ xloga }]dx } \)=\(\int _{ 0 }^{ 1 }{ ({ x }^{ a }+a^{ x }) } dx\)
=\(\left[ \frac { { x }^{ a+1 } }{ a+1 } +\frac { { a }^{ x } }{ loga } \right] _{ 0 }^{ 1 }\)
=\(\left( \frac { 1 }{ a+1 } +\frac { a }{ loga } \right) -\left( 0+\frac { 1 }{ loga } \right) \)
=\(\frac { 1 }{ a+1 } +\frac { a }{ loga } -\frac { 1 }{ loga } \)
=\(\frac { 1 }{ a+1 } +\frac { (a-1) }{ loga } \)

\(\int _{ a }^{ b }{ f\left( x \right) } dx=\lim _{ x\rightarrow \infty \\ h\rightarrow 0 }{ \sum _{ r=1 }^{ n }{ h\ f(a+rh) } } \)
இங்கு  a = 0, b = 1 \(h=\frac { b-a }{ n } =\frac { 1-0 }{ n } =\frac { 1 }{ n } \) மற்றும் f(x) = x + 4
f (a + rh) = \(f\left( 0+\frac { r }{ n } \right) =f\left( \frac { r }{ n } \right) \)
\(=\frac { r }{ n } +4\)
\(\therefore \int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( x+4 \right) } dx=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \sum _{ r=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ n } } } \left( \frac { r }{ n } +4 \right) \)
\(=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \sum _{ r=1 }^{ n }{ \left( \frac { r }{ { n }^{ 2 } } +\frac { 4 }{ n } \right) } } \)
\(=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \left( \frac { 1 }{ { n }^{ 2 } } \sum _{ r=1 }^{ n }{ r } +\frac { 4 }{ n } \sum _{ r=1 }^{ n }{ 1 } \right) } \)

\(\left( \sum _{ r=1 }^{ n }{ 1=n)\sum _{ r=1 }^{ n }{ r } =\frac { n(n+2) }{ 2 } } \right) \)

\(=\lim _{ n\rightarrow \infty }{[ \frac { 1}{ 2 }+\frac { 1 }{ n } } +4]\)
\(=\frac { 1 }{ 2 } +4 =\frac { 9 }{ 2 } \)

தொடக்க நிலையில் தங்கத்தின் அளவு (t=0 எனும்போது (2000-ஆம் ஆண்டு))
p₀=2,547 மெட்ரிக் டன்கள்.
2000 முதல் 2013 வரை தங்கத்தின் மொத்த உற்பத்தி=\(\int _{ 0 }^{ 13 }{ 2547e^{ 0.006t } } dt\)
=\(\frac { 2547 }{ 0.006 } \left[ e^{ 0.006t } \right] _{ 0 }^{ 13 }\)
=424500(e^0.078-1)
=34,426.95 மெட்ரிக் டன்கள் (தோராயமாக).

\(\left(x^2+y^2\right) \mathrm{dy} =x y \mathrm{~d} x \)
\(\frac{d y}{d x} =\frac{x y}{x^2+y^2} \)
y=vx மற்றும் \(\frac { dy }{ dx } =v+x\frac { dv }{ dx } \) என (1) –ல் பிரதியிட,
\(v+x \frac{d v}{d x} =\frac{v x^2}{x^2+v^2 x^2}=\frac{v}{1+v^2} \)
\(x \frac{d v}{d x} =\frac{v}{1+v^2}-v=\frac{v-v-v^3}{1+v^2} \)
\(\int \frac{\left(1+v^2\right) \mathrm{d} v}{v^3} =-\int \frac{d x}{x} \)
\(\int \frac{d v}{v^3}+\int \frac{v^2 d v}{v^3} =-\log x+\log \mathrm{c} \)
\(\int v^{-3} d v+\int \frac{d v}{v} =\log \frac{c}{x} \)
\(\frac{v^{-2}}{-2} =\log \frac{c}{x}-\log v \)
\(-\frac{1}{2 v^2} =\log \frac{c}{x v} \)
\(-\frac{1}{2 y^2 / x^2} =\log \frac{c}{x} \times \frac{x}{y} \)
\(\frac{-x^2}{2 y^2} =\log \frac{c}{y} \)
\(\frac{c}{y} =e^{-x^3 / 2 y^2} \Rightarrow \mathrm{y}=c e^{x^2 / 2 y^2} \)

வயது = x , காப்பீட்டுத்தொகை = y என்க.
இங்கு, நியூட்டனின் பின்நோக்கு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி y-ன் மதிப்பைக் காண்போம்.
y_(x=xn+nh)=\({ y }_{ n }+\frac { n }{ 1! } \triangle y_{ n }+\frac { n(n-1) }{ 2! } { \triangle }^{ 2 }{ y }_{ n }+\frac { n(n-1)(n-2) }{ 3! } { \triangle }^{ 0 }y_{ n }+....\)
x=63, ∴ x_n+nh=63, x_n=68.48, h=5 ⇒ -\(\frac{2}{5}\)

x	y	Δy	Δ2y	Δ3y	Δ4y
45	114.84
		-18.68
50	96.16		5.84
		-12.84		-1.84
55	83.32		4		0.68
		-8.84		-1.16
60	74.48		2.84
		-6
65	68.48

 y_(x=63)=68.48+\(\frac { \frac { -2 }{ 5 } }{ 1! } (-6)+\frac { \frac { -2 }{ 5 } \left( \frac { -2 }{ 5 } +1 \right) }{ 2! } 2.84+\frac { \frac { -2 }{ 5 } \left( \frac { -2 }{ 5 } +1 \right) \left( \frac { -2 }{ 5 } +2 \right) }{ 3! } (-1.16)+\frac { \frac { -2 }{ 5 } \left( \frac { -2 }{ 5 } +1 \right) \left( \frac { -2 }{ 5 } +2 \right) \left( \frac { -2 }{ 5 } +3 \right) }{ 4! } (0.68)\)
=68.48+2.4-0.3408+0.07424-0.028288
y(63)=70.585

நியுட்டனின் பின்நோக்கு இடைச்செருகலின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி பல்லுறுப்புக் கோவையைக் காண்போம்.
y_(x=x0+nh)=\({ y }_{ n }+\frac { n }{ 1! } \triangle y_{ n }+\frac { n(n-1) }{ 2! } { \triangle }^{ 2 }{ y }_{ n }+\frac { n(n-1)(n-2) }{ 3! } { \triangle }^{ 0 }y_{ n }+....\)

x	y	Δy	Δ2y	Δ3y
0	1
		1
1	2		1
		2		0
2	4		1
		3		0
3	7		1
		4		0
4	11		1
		5		0
5	16		1
		6		0
6	22		1
		7
7	29

x -ன் வாயிலாக y -ஐ காண, ∴ x_n+nh=x, x_n=7, h=1 ⇒ n=x-7
y_(x)=29+(x-7)(7)+\(\frac { (x-7)(x-6) }{ 2 } \)(1)
=29+7x-49+\(\frac { 1 }{ 2 } \)(x²-13x+42)
=\(\frac { 1 }{ 2 } \)[58+14x-98+x²-13x+42]
=\(\frac { 1 }{ 2 } \)[x²+x+2]

இங்கு ∑a_i=∑b_j=950
அதாவது, மொத்த இருப்புகள் = மொத்த தேவைகள். எனவே கொடுக்கப்பட்ட கணக்கானது சமநிலை போக்குவரத்து கணக்காகும்.
முதலில் ஒவ்வொரு நிரை மற்றும் நிரலில் காணப்படும் அடுத்தடுத்த இரண்டு சிறிய எண்களின் வித்தியாசத்தை கண் டுபிடித்து அதற்குறிய நிரை மற்றும் நிரலுக்கு நேராக அடைப்புக்குறிக்குள் எழுதவும்.

அதிக வித்தியாசமான 5-ஆனது நிரல் D₁ மற்றும் D₂.-க்கு நேராக உள்ளது.இங்கு நமது விருப்படி D1 தேர்ந்தெ டுக்கவும். தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட D1 நிரலில்குறைந்த செலவு கொண்ட சிற்றறை (S1, D1) தேர்ந்தெடுத்து அங்கு அதிக பட்சமாக அதாவது (250,200) –ன் சிறும மதிப்பான 200 அலகுகளை ஒதுக்கீடு செய்யவும்.
குறைக்கப்பட்ட போக்குவரத்து அட்டவணை

வித்தியாசமான 5-ஆனது நிரல் D₂.-க்கு நேராக உள்ளது. தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட D₂ நிரலில்குறைந்த செலவு கொண்ட சிற்றறை (S₁, D₂).) தேர்ந்தெடுத்து அங்கு அதிகபட்சமாக அதாவது (50,175) –ன் சிறும மதிப்பான 50 அலகுகளை ஒதுக்கீடு செய்யவும்.
குறைக்கப்பட்ட போக்குவரத்து அட்டவணை

வித்தியாசமான 6-ஆனது நிரல் D₂-க்கு நேராக உள்ளது. தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட D₂. நிரலில்குறைந்த செலவு கொண்ட சிற்றறை (S₂, D₂) தேர்ந்தெடுத்து அங்கு அதிகபட்சமாக அதாவது (300,175) –ன் சிறும மதிப்பான 175 அலகுகளை ஒதுக்கீடு செய்யவும்.
குறைக்கப்பட்ட போக்குவரத்து அட்டவணை

வித்தியாசமான 4-ஆனது நிரை S₂ நேராக உள்ளது. தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட S₂ நிரையில் குறைந்த செலவு கொண்ட சிற்றறை (S₂, D₄) தேர்ந்தெடுத்து அங்கு அதிகபட்சமாக அதாவது (125,250) இன் சிறும மதிப்பான 125 அலகுகளை ஒதுக்கீடு செய்யவும்.
குறைக்கப்பட்ட போக்குவரத்து அட்டவணை மற்றும் ஒதுக்கீடுகள்


அனைத்து ஒதுக்கீடுகளும் ஒரே அட்டவணை யில் கீழே கொடுக்கப்ட்டுள்ளன.

போக்குவரத்து விபரம் :
S₁⟶ D₁, S₁⟶ D₂, S₂⟶ D₂, S₂⟶ D₄, S₃⟶ D₃, S₃⟶ D₄
போக்குவரத்து செலவு 
=(200×11)+(50×13)+(175×18)+(125×10)+(275×13)+(125×10)
= ரூ. 12,075

கொடுக்கப்பட்ட போக்குவரத்து அட்டவணை 

அதாவது, மொத்த அளிப்புகள் = மொத்த தேவைகள் கொடுக்கப்பட்ட கணக்கானது சமநிலை போக்குவரத்து கணக்காகும்.
முதல் ஒதுக்கீடு :

இரண்டாம் ஒதுக்கீடு :

மூன்றாம் ஒதுக்கீடு :

நான்காம் ஒதுக்கீடு :

ஐந்தாம் ஒதுக்கீடு :

இறுதி ஒதுக்கீடு :

போக்குவரத்து விவரம் :
O₁⟶ D₁, O₁⟶ D₂, O₂⟶ D₃, O₃⟶ D₂, O₃⟶ D₄
மொத்த போக்குவரத்து செலவு
\( =(16 \times 5)+(3 \times 3)+(15 \times 7)+(22 \times 9) +(9 \times 7)+(25 \times 5) \)
\(=80+9+105+198+63+125=Rs. 580\)

P = 1/5/100 = 1/500 =0.002 n = 10. λ = np = 0.02
p(x) =\(\frac { { e }^{ -\lambda }{ \lambda }^{ x } }{ x! } =\frac { e^{ -0.02 }(0.02)^{ x } }{ x! } \)
(i) பழுதற்ற பிளேடுகளைக் கொண்ட அட்டை பெட்டிகளின் எண்ணிக்கை
= N × p(o) = 1,00,000 × e^-0.02
= 98020
(ii) பழுதுள்ள ஒரு பிளேடு கொண்ட அட்டைப் பெட்டிகளின் எண்ணிக்கை
= N × p(1) = 1,00,000 × 0.9802 × 0.02
= 1960
(iii) பழுதற்ற இரண்டு பிளேடுகள் கொண்ட பெட்டிகளின் எண்ணிக்கை
= N × p(2) = 1,00,0007 x .0002
= 20

கூறு அளவு n =100
கூறு சராசரி \(\bar{x}=3.5\)
முழுமைத் தொகுதி சராசரி μ =4
முழுமைத் தொகுதி திட்டவிலக்கம் S.D \(\sigma=3\)
இன்மை கருதுகோள்: H₀:μ =4 (முழுமைத் தொகுதி சராசரியிலிருந்து எடுக்கப்பட்டது μ=4 )
மாற்று கருதுகோள்: \(\mathrm{H}_1: \mu \neq 4\) (இரு முனை)
மிகைகாண் நிலை \(\alpha=5 \%=0.05\)
கூறுபண்பளவை Z
\(\mathrm{Z} =\frac{\bar{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim \mathrm{N}(0,1) =\frac{3.5-4}{\frac{3}{\sqrt{100}}}\)
\(=\frac{-0.5}{0.3}=-1.667 \)
\(\therefore|Z|  =1.667\)
மறுக்கும் அளவு 5 % மிகைகாண் நிலை 
\(Z_{\alpha / 2}  =1.96 \)
|Z| =1.667<1.96
முடிவு: கணக்கிடப்பட்ட மதிப்பானது அட்டவணை மதிப்பை விட குறைவாக உள்ளது. அதாவது, Z < Z_α/2 .5% மிகைகாண் நிலையில் இன்மை கருதகோள் H₀ ஏற்றுக் கொள்ளப்படுகிறது.

சமவாய்ப்பு மாறி X-இன் சராசரி : \(E\left( { X } \right) =\underset { x }{ \Sigma } { x }{ P }_{ X }\left( x \right) \)
= (1 × 0.15) + (2 × 0.10) + (3 × 0.10) + (4 × 0.01) + (5 × 0.08) + (6 × 0.01) + (7 × 0.05) + (8 × 0.02) + (9 × 0.28) + (10 × 0.20)
E(X)=6.18
\(E\left( { X^{ 2 } } \right) =\underset { x }{ \Sigma } { x }{ ^{ 2 }P }_{ X }\left( x \right) \)
= (1² × 0.15) + (2² × 0.10) + (3² × 0.10) + (4² × 0.01) + (5² × 0.08) + (6² × 0.01) + (7² × 0.05) + (8² × 0.02) + (9² × 0.28) + (10² × 0.20)
E(X²)= 50.38
சமவாய்ப்பு மாறியின் மாறுபாட்டளவு : V(X)= E(X²)−[E(X)]²
= 50.38 – (6.18)²
= 12.19
எனவே, கொடுக்கப்பட்ட தனித்த பரவலின் சராசரி மற்றும் மாறுபாட்டு அளவை முறையே 6.18 மற்றும் 12.19 ஆகும்.

பொருள்கள்	அடிப்படை ஆண்டு		நடப்பு ஆண்டு		p0q0	p0q1	p1q0	p1q1
	விலை (p0)	அளவு (p1)	விலை	அளவு
அரிசி	15	5	16	8	75	120	80	128
கோதுமை	10	6	18	9	60	90	108	162
வாடகை	8	7	15	8	56	64	105	120
எரிபொருள்	9	5	12	6	45	54	60	72
போக்குவரத்து	11	4	11	7	44	77	44	77
இதரசெலவுகள்	16	6	15	10	96	160	90	150
மொத்தம்					376	565	487	709

லாஸ்பியரின் விலைக் குறியீட்டு எண்
\({ P }_{ 01 }^{ L }=\frac { \sum { { p }_{ 1 }{ q }_{ 0 } } }{ \sum { { p }_{ 0 }{ q }_{ 0 } } } \times 100=\frac { 487 }{ 376 } \times 100=129.5212\)
பாசியின் விலைக் குறியீட்டுஎண்
\({ P }_{ 01 }^{ P }=\frac { \sum { { p }_{ 1 }{ q }_{ 1 } } }{ \sum { { p }_{ 0 }{ q }_{ 1 } } } \times 100=\frac { 709 }{ 565 } \times 100=125.4867\)
ஃபிஷர் விலைக் குறியீட்டு எண்
\({ P }_{ 01 }^{ F }=\left( \sqrt { \frac { \sum { { p }_{ 1 }{ q }_{ 0 } } \times \sum { { p }_{ 1 }{ q }_{ 1 } } }{ \sum { { p }_{ 0 }{ q }_{ 0 } } \times \sum { { p }_{ 0 }{ q }_{ 1 } } } } \right) \times 100=\left( \sqrt { \frac { 487\times 709 }{ 376\times 565 } } \right) \times 100=127.4879\)
லாஸ்பியர், பாசி, ஃபிஷரின் விலைக் குறியீட்டு எண்கள் அடிப்படை ஆண்டோடு நடப்பு ஆண்டை ஒப்பிடும் பொழுது பொருள்களின் விலையானது முறையே சராசரியாக, 29.52%, 25.48% மற்றும் 27.48% ஆக அதிகரித்துள்ளது

கொடுக்கப்பட்ட விவரத்திலிருந்து, நீங்கள் முதலில் சமவாய்ப்பு மாறியின் நிகழ்தகவு பரவலைக் கணக்கிடவும். அதைப் பயன்படுத்தி சராசரி மற்றும் மாறுபாட்டளவையைக் கணக்கிட வேண்டும்.

 

X	p(x)
1.	\(F(1)=\cfrac { 1 }{ 6 } \)
	\(F(2)-F(1)=\cfrac { 2 }{ 6 } -\cfrac { 1 }{ 6 } =\cfrac { 1 }{ 6 } \)
3.	\(F(3)-F(2)=\cfrac { 3 }{ 6 } -\cfrac { 2 }{ 6 } =\cfrac { 1 }{ 6 } \)
4.	\(F(4)-F(3)=\cfrac { 4 }{ 6 } -\cfrac { 3 }{ 6 } =\cfrac { 1 }{ 6 } \)
5.	\(F(5)-F(4)=\cfrac { 4 }{ 6 } -\cfrac { 3 }{ 6 } =\cfrac { 1 }{ 6 } \)
6.	\(F(6)-F(5)=1-\cfrac { 5 }{ 6 } =\cfrac { 1 }{ 6 } \)

நிகழ்தகவு நிறை சார்பு :
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline X=x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline P(x) & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\ \hline \end{array}\)

சமவாய்ப்பு மாறி X-இன் சராசரி \(\Sigma (X)=\underset { x }{ \Sigma } x{ P }_{ X }\left( x \right) \)
\(\left( 1\times \cfrac { 1 }{ 6 } \right) +\left( 2\times \cfrac { 1 }{ 6 } \right) +\left( 3\times \cfrac { 1 }{ 6 } \right) +\left( 4\times \cfrac { 1 }{ 6 } \right) +\left( 5\times \cfrac { 1 }{ 6 } \right) +\left( 6\times \cfrac { 1 }{ 6 } \right) \)
= \(\cfrac { 1 }{ 6 } \left( 1+2+3+4+5+6 \right) \)
= \(\cfrac { 7 }{ 2 } \)
\(E\left( { X }^{ 2 } \right) =\underset { x }{ \Sigma } { x }^{ 2 }{ P }_{ x }\left( x \right) \)
= \(\left( { 1 }^{ 2 }\times \cfrac { 1 }{ 6 } \right) +\left( { 2 }^{ 2 }\times \cfrac { 1 }{ 6 } \right) +\left( { 3 }^{ 2 }\times \cfrac { 1 }{ 6 } \right) +\left( { 4 }^{ 2 }\times \cfrac { 1 }{ 6 } \right) +\left( { 5 }^{ 2 }\times \cfrac { 1 }{ 6 } \right) +\left( { 6 }^{ 2 }\times \cfrac { 1 }{ 6 } \right) \)
= \(\cfrac { 1 }{ 6 } \left( { 1 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 }+{ 4 }^{ 2 }+{ 5 }^{ 2 }+{ 6 }^{ 2 } \right) \)
= \(\cfrac { 91 }{ 6 } \)
சமவாய்ப்பு மாறியின் மாறுபாட்டளவு :V(X)= E(X²)−[E(X)]²
= \(\cfrac { 91 }{ 6 } -\left( \cfrac { 7 }{ 2 } \right) ^{ 2 }\)
= \(\cfrac { 35 }{ 12 } \)

\(\int\left(\frac{(\log x)^{3}}{x}\right) d x =\int t^{3} d t \quad \)
\(=\frac{t^{4}}{4}+c \)
\(=\frac{(\log x)^{4}}{4}+c\)

\(t=\log x \) \(dt=\frac{1}{x}dt\)

y=x² என்பது மேல் நோக்கித் திறந்த பரவளையம். இது y - அச்சைப் பொறுத்து சமச்சீரானது.
பரப்பு \(=2 \int_c^4 x d y \)
\(x^2=\mathrm{y} \Rightarrow x=\sqrt{y} \)
பரப்பு \(=2 \int_0^4 y^{1 / 2} d y\)
\(=2\left[\frac{y^{3 / 2}}{3 / 2}\right]_0^4 \)
\( =\frac{4}{3}\left[4^{3 / 2}-0\right] \)
\(=\frac{4}{3}(8)=\frac{32}{3}\)
\(=\frac { 32 }{ 3 } \) ச.அலகுகள்

y=e^x(acosx+bsinx)    ......(1)
(1) -ஐ x -ஐ பொறுத்து வகைப்படுத்த, பெறுவது
\(\frac { dy }{ dx } \)=e^x(acosx+bsinx)+e^x(-asinx+bcosx)
=y+e^x(-asinx+bcosx)  ((1) -லிருந்து )
⇒ \(\frac { dy }{ dx } \)-y=e^x(-asinx+bcosx)    ....(2)
மீண்டும் வகைப்படுத்த கிடைப்பது
\(\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } -\frac { dy }{ dx } \)=e^x(-asinx+bcosx)+e^x(-acosx-bsinx)
\(\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } -\frac { dy }{ dx } \)=e^x(-asinx+bcosx)-e^x(acosx+bsinx)
\(\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } -\frac { dy }{ dx } \)=\(\left( \frac { dy }{ dx } -y \right) \) 
((1) மற்றும் (2) லிருந்து)
⇒ \(\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } -2\frac { dy }{ dx } \)+2y=0 என்பது தேவையான வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.

f(4)-f(3)=Δf(3) என்பது நாம் அறிந்த ஒன்று.
f(4)-f(3)=Δf(3)
=Δ[f(2)+Δf(2)]  [\(\because \) f(3)-f(2)=Δf(2)]
=Δf(2)+Δ²f(2)
=Δf(2)+Δ²[f(1)+Δf(1)]
⇒ f(4)=f(3)+Δf(2)+Δ²f(1)+Δ³f(1)

A =\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -2 \\ -7 \end{matrix} \right) \)என்க 
A -ன்  வரிசை 3 x 4, எனவே ρ(A) ≤ 3
∼\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 3 \\ 6 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -8 \\ -16 \end{matrix} \right) \)R₂ ⟶ R₂ -2R₁ 
                               R₃ ⟶ R₃ - 3R₁
∼\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -8 \\ 0\end{matrix} \right) \)R₃ ⟶ R₃- 2R₂
ஏறுபடிவ அணியில் உள்ள பூச்சியமற்ற நிரைகளின் எண்ணிக்கை 3 ஆகும். ∴ ρ(A)= 3.

படுகைகள்	ஒத்த தொகுதிகள்	முழுமைத் தொகுதியில் சதவிகிதம்	ஒவ்வொரு படுகையில் உள்ள மக்கள் எண்ணிக்கை	சமவாய்ப்பு மாதிரிகள்
வகை 1	குறைந்த வருமான வகுப்பினர்	39	\(\frac{39}{100}\)x500=195	195x\(\frac{68}{500}\)=26.5~26
வகை 2	நடுத்தர வருமான வகுப்பினர்	38	\(\frac{38}{100}\)x500=190	190x\(\frac{68}{500}=26.5\)~26 190x\(\frac{68}{500}\)=26.5~26
வகை 3	உயர் வருமான வகுப்பினர்	23	\(\frac{23}{100}\)x500=115	115x\(\frac{68}{500}\)=15.6~16
மொத்தம்		100	500	68

அதாவது, மொத்த இருப்புகள் = மொத்த தேவைகள் . எனவே கொடுக்கப்பட்ட கணக்கானது சமநிலை போக்குவரத்து கணக்காகும்.
கொடுக்கப்பட்ட போக்குவரத்து அட்டவணை

மீச்சிறுசெலவு 1 ஆனது சிற்றறைகள் (O₁, D₁), (O₃, D₄) –இல் உள்ளது.
நாம் சிற்றறை (O1, D1) தேர்ந்தேடுப்போம்.
(6,4) இன் சிறும மதிப்பு = 4 அலகுகளை  இங்கு ஒதுக்கீடு செய்க.

குறைக்கப்பட்ட போக்குவரத்து அட்டவணை

மீச்சிறுசெலவு 1 ஆனது சிற்றறை (O₃, D₄)-ல் உள்ளது.
(10,6) இன் சிறும மதிப்பு = 6 அலகுகளை  இங்கு ஒதுக்கீடு செய்க.

குறைக்கப்பட்ட போக்குவரத்து அட்டவணை

மீச்சிறுசெலவு 2 ஆனது சிற்றறைகள் (O₁, D₂), (O₂, D₃), (O₃, D₂), (O₃, D₃)-ல் உள்ளது.
நாம் சிற்றறை (O1, D2) தேர்ந்தேடுப்போம். (2,6) இன் சிறும மதிப்பு = 2 அலகுகளை  இங்கு ஒதுக்கீடு செய்க.
குறைக்கப்பட்ட போக்குவரத்து அட்டவணை

மீச்சிறுசெலவு 2 ஆனது சிற்றறைக ள் (O₂, D₃), (O₃, D₂), (O₃, D₃) -ல் உள்ள து.
நாம் சிற்றறை (O2, D3) தேர்ந்தெடுப்போம். (8,8) இன் சிறும மதிப்பு = 8 அலகுகளை  இங்கு ஒதுக்கீடு செய்க.

குறைக்கப்பட்ட போக்குவரத்து அட்டவனை

குறைக்கப்பட்ட போக்குவரத்து அட்டவணை மற்றும் இறுதி ஒதுக்கீடு

அனைத்து ஒதுக்கீடுகளும் ஒரே அட்டவணை யில் கீழே கொடுக்கப்ட்டுள்ளன (O₃, D₂)

போக்குவரத்து விவரம்
O₁⟶ D₁, O₁⟶ D₂, O₂⟶ D₃, O₃⟶ D₂, O₃⟶ D₄
மொத்த போக்குவரத்து செலவு
= (4×1)+ (2×2)+(8×2)+(4×2)+(6×1)
= 4+4+16+8+6
= ரூ.38.

பெறும் மதிப்பெண்களை சமவாய்ப்பு மாறி X என்க.
\(\mu=500, \sigma=100\)
\(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{585-500}{100}=0.85\)

\(\mathrm{P}(\mathrm{X}<585) =\mathrm{P}(\mathrm{Z}<0.85)\)
=0.5+0.3023  =0.8023>0.70
அவர் பல்கலைக்கழகத்தால் தேர்ந்தெடுக்கப்படுவார்.

சமவாய்ப்பு மாறியின் எதிர்பார்த்தல்.
\(E\left( X \right) =\int _{ -\infty }^{ \infty }{ xf(x)dx } \)
= \(\int _{ 100 }^{ \infty }{ { xe }^{ \frac { x }{ 100 } }dx } \)
= \(\left\{ \left[ \left( \frac { { e }^{ \frac { x }{ 100 } } }{ -\frac { 1 }{ 100 } } \right) \right] _{ 100 }^{ \infty }-\int _{ 100 }^{ \infty }{ \left( \frac { { e }^{ \frac { x }{ 100 } } }{ -\frac { 1 }{ 100 } } \right) } dx \right\} \left( \therefore \int { udv=uv-\int { vdu } } \right) \)
= \(\left[ \left( 1000 \right) \left( { e }^{ -1 } \right) +\left( 1000 \right) \left( { e }^{ -1 } \right) \right] \)
= \(\left[ \left( 1000 \right) \left( 0.3679 \right) +\left( 1000 \right) \left( 0.3679 \right) \right] \)
= 7358 மணிகள்
எனவே, வானொலி குழலின்  சராசரி வாழ்நாள் 7,358 மணிகள் ஆகும்.

கூறு	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	மொத்தம்
சராசரி	21	26	23	18	19	14	14	20	16	10	182
வீச்சு	5	6	9	7	4	6	8	9	4	7	65

\(\overset{-}{X}\) வரைபடத்தின் கட்டுப்பாடு வரம்புகள்
\(\overset { = }{ X } =\frac { \sum { \overset { - }{ X } } }{ n} =\frac { 182 }{ 10 } =18.2\quad \overset { - }{ R } =\frac { \sum { R } }{ n } =\frac { 65 }{ 10 } =6.5\)
\(UCL=\overset { = }{ X } +{ A }_{ 2 }\bar { R } =18.2+0.577(6.5)=21.95\)
\(CL=\overset { = }{ X } =18.2\)
\(LCL=\overset { = }{ X } -{ A }_{ 2 }\bar { R } =18.2-0.577(6.5)=14.5795\)
வீச்சு வரைபடக் கட்டுப்பாடு வரம்புகள்
\(UCL={ D }_{ 4 }\bar { R } =2.114(6.5)=13.741\)
\(CL=\bar { R } =65\)
\(LCL={ D }_{ 3 }\bar { R } =0(6.5)=0\)