A=\(\left( \begin{matrix} 1 & 5 \\ 3 & 9 \end{matrix} \right) \)என்க
A-ன் வரிசை 2 x 2 ∴ ρ(A) ≤2
இரண்டாம் வரிசை சிற்றணிக்கோவையை கருத, நாம் பெறுவது
\(\left| \begin{matrix} 1 & 5 \\ 3 & 9 \end{matrix} \right| \)=-6≠0 ஆகும்.
⇒ பூச்சியமற்ற சிற்றணிக்கோவையின் வரிசை 2 ஆகும்.  ∴ ρ(A) ≤2

\(\int { \frac { x+2 }{ \sqrt { 2x+3 } } } dx=\int { \frac { 1 }{ 2 } \left\{ { \left( 2x+3 \right) }^{ \frac { 1 }{ 2 } }+{ \left( 2x+3 \right) }^{ -\frac { 1 }{ 2 } } \right\} }\)dx
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left\{ \frac { { \left( 2x+3 \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ 3 } +{ \left( 2x+3 \right) }^{ -\frac { 1 }{ 2 } } \right\}\)+c
எளியச் சார்புகளாக பிரித்தெழுத
\( { \frac { x+2 }{ \sqrt { 2x+3 } } }= \left\{ \frac {\frac { 1 }{ 2 } (2x+4) }{ (2x+3)^{ \frac { 1 }{ 2 } } } \right\} \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left\{ \frac { (2x+3)+1 }{ (2x+3)^{ \frac { 1 }{ 2 } } } \right\} \)
\(\frac { 1 }{ 2 } \left\{ (2x+3)^{ \frac { 1 }{ 2 } }+(2x+3)^{ -\frac { 1 }{ 2 } } \right\} \)

\(\int { \sqrt { { x }^{ 2 }-2 } } dx\)
\(=\int { \sqrt { { x }^{ 2 }-{ \left( \sqrt { 2 } \right) }^{ 2 } } } dx\)
\(=\frac { x }{ 2 } \sqrt { { x }^{ 2 }-2 } -\frac { 2 }{ 2 } \log { \left| x+\sqrt { { x }^{ 2 }-2 } \right| } +c\)
\(\left[ \because \int { \sqrt { { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } } dx=\frac { x }{ 2 } \sqrt { { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } -\frac { { a }^{ 2 } }{ 2 } \log { \left| x+\sqrt { { { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } } \right| +c } \right] \)
\(=\frac { x }{ 2 } \sqrt { { x }^{ 2 }-{ 2 } } -\log { \left| x+\sqrt { { x }^{ 2 }-{ 2 } } \right| } +c\)

இறுதிநிலைச் செலவு சார்பு
\(\mathrm{MC} =\frac{14000}{\sqrt{7 x+4}} \)
\(\frac{d C}{d x} =\frac{14000}{\sqrt{7 x+4}} \)
\(\int d C =14000 \int(7 x+4)^{-1 / 2} d x \)
\(C =14000\left[\frac{(7 x+4)^{1 / 2}}{7(1 / 2)}\right]+k\)
செலவுச் சார்பு:\(\mathrm{C}=4000(7 x+4)^{1 / 2}+\mathrm{k}\)
x=0 மற்றும் C=18,000 எனில்,k =10000
செலவுச் சார்பு : C =\(4000\sqrt { 7x+4 } +10000\)
சராசரி செலவு: AC =\(\frac { 4000 }{ x } \sqrt { 7x+4 } +\frac { 10000 }{ x } \)

\( \mathrm{p}=7+x, x=5 \)
\( \mathrm{p}=7+5=12\)
உற்பத்தியாளர் உபரி
\(\text { PS }  =x_0 p_0-\int_0^{x_0} g(x) \mathrm{d} x \)
\(=60-\int_0^5(7+x) \mathrm{d} x \)
\(=60-\left[7 x+\frac{x^2}{2}\right]_0^5=60-\left(35+\frac{25}{2}\right) \)
\(=25-\frac{25}{2}=\frac{25}{2} \)
P.S=\(\frac{25}{2}\) அலகுகள்

\(\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \)+16y=0
துணைச் சமன்பாடு 
m² + 16=0
\(\mathrm{m}^2 =-16 \Rightarrow \mathrm{m}= \pm 4 i \)
\(\alpha =0, \beta=4\)
நிரப்புச் சார்பு : \(e^{\alpha x} \cdot(A \cos \beta x+B \sin \beta x)\)
தீர்வு : y=Acos 4x+Bsin 4x

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & y & \Delta y & \Delta^2 y & \Delta^3 y \\ \hline 240 & 484 & & & \\ \hline & & 20 & & \\ \hline 50 & 204 & & 2 & \\ \hline & & 22 & & 0 \\ \hline 60 & 226 & & 2 & \\ \hline & & 24 & & 0 \\ \hline 70 & 250 & & 2 & \\ \hline & & 26 & & 0 \\ \hline 80 & 276 & & 2 & \\ \hline & & 28 & & \\ \hline 90 & 304 & & & \\ \hline \end{array}\)
\(x_0 =40, \mathrm{~h}=10, x_0+\mathrm{nh}=43 \)
\(10 \mathrm{n} =3 \Rightarrow \mathrm{n}=0.3 \)
\(\mathrm{y} =y_0+\frac{n}{1 !} \Delta y_0+\frac{n(\mathrm{n}-1)}{2 !} \Delta^2 y_0 \)
\( =184+0.3(20)+\frac{(0.3)(-0.7)}{2}(2) \)
\( =184+6-0.21=189.79 \)
\(x_{\mathrm{n}} =90, \mathrm{~h}=10, x_{\mathrm{n}}+\mathrm{nh}=84 \)
\(10 \mathrm{n} =-6 \Rightarrow \mathrm{n}=-0.6 \)
\(\mathrm{y} =y_n +\frac{n}{1 !} \Delta y_n +\frac{n(\mathrm{n}-1)}{2 !} \Delta^2 y_n + ....\)
\( =304+\frac{(-0.6)}{1 !}(28)+\frac{(-0.6)(+0.4)}{2 !}(2) \)
\(=304-16.8-0.24=286.96 \)

\( x_0=0, x_1=1, x_2=3, x_3=4 .\)
\( y_0=-12, y_1=0, y_2=6, y_3=12 \text {. } \)
\( \mathrm{y}=\frac{\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)}{\left(x_0-x_1\right)\left(x_0-x_2\right)\left(x_0-x_3\right)} y_0 +\frac{\left(x-x_0\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)}{\left(x_1-x_0\right)\left(x_1-x_2\right)\left(x_1-x_3\right)} y_1  +\frac{\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right)\left(x-x_3\right)}{\left(x_2-x_0\right)\left(x_2-x_1\right)\left(x_2-x_3\right)} y_2  +\frac{\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)}{\left(x_3-x_0\right)\left(x_3-x_1\right)\left(x_3-x_2\right)} y_3 \)
\( =\frac{(x-1)(x-3)(x-4)}{(-1)(-3)(-4)}(-12)  +\frac{(x-0)(x-3)(x-4)}{(1)(-2)(-3)}(0)  +\frac{(x-0)(x-1)(x-4)}{(3)(2)(-1)}(6)  +\frac{(x-0)(x-1)(x-3)}{(4)(3)(1)}(12) \)
\( y=(x-1)\left(x^2-7 x+12\right)-(x)\left(x^2-5 x+4\right)+x(x^2 -4 x+3) \)
\(=x^3-7 x^2+12 x-x^2+7 x-12-x^3+5 x^2-4 x  +x^3-4 x^2+3 x \)
\( =x^3-7 x^2+18 x-12 \)

\(\frac{d^2 y}{d x^2}+y+\left(\frac{d y}{d x}-\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^{3 / 2}=0\)
\(\frac{d^2 y}{d x^2}+y=-\left(\frac{d y}{d x}-\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^{3 / 2}\)
இருபறமும் வர்க்கப்படுத்த
\(\left(\frac{d^2 y}{d x^2}+y\right)^2 =\left(\frac{d y}{d x}-\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^3 \)
வரிசை =3 ; படி =3

A =\(\left( \begin{matrix} 1 & 4 \\ 2 & 8 \end{matrix} \right) \)
A -ன் வரிசை 2 x 2, எனவே ρ(A) \(\le \) 2
\(\sim \) \(\left( \begin{matrix} 1 & 4 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right) \)  R₂ → R₂ -2R₁ 
அணியின் தரம்  ρ(A)=1

சமவாய்ப்பு மாறி தனித்த மற்றும்‌ தொடர்ச்சியான சமவாய்ப்பு மாறி என இரண்டு வகைகளாக  வகைப்படுத்தப்படுகிறது. இவை கணிதம்‌ மற்றும்‌ புள்ளியியல்‌ துறையில்‌ நடைமுறைப்‌ பயன்பாடுகளுக்கு முக்கியத்துவம்‌ வாய்ந்தவையாக இருக்கின்றன.
தனித்த சமவாய்ப்பு மாறி:  
சாத்தியமான மதிப்புகளால்‌ வரையறுக்கப்பட்ட எண்களை ஏற்றுக்கொள்ளக்‌ கூடிய ஒரு மாறி, அல்லது ஒரு எண்ணத்தக்க மெய்யெண்களின்‌ முடிவிலாத்‌ தொடரானது தனித்த சமவாய்ப்பு மாறி என வரையறுக்கப்படுகிறது.
எடுத்துக்காட்டுகள்‌:
1. ஒரு தேர்வில்‌ பெற்ற மதிப்பெண்கள்‌
2. ஒரு ஜாடியில்‌ உள்ள சிவப்பு பளிங்குகளின்‌  எண்ணிக்கை
தொடர்ச்சியான சமவாய்ப்பு மாறி:  
ஓர்‌ இடைவெளியில்‌ உள்ள அனைத்து மெய்‌ மதிப்புகளையும்‌ (முழுக்களாகவோ, பின்னங்களாகவோ) ஏற்கும்‌ ஒரு சமவாய்ப்பு மாறி X ஆனது தொடர்ச்சியான சமவாய்ப்பு மாறி என்று அழைக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டுகள்‌: 
1. ஓரு மகிழ்ந்தின் வேகம்
2. மின் நுகர்வு கிலோவாட் மணி நேரத்தில் 

சராசரி = np = 5
திட்டவிலக்கம்  
\(=\sqrt{n p q}=2 \)
\(n p q =4 \)
\(5 q =4 \Rightarrow q=\frac{4}{5} \)
\(p =1-q=1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5} \)
\(n p=5 \Rightarrow n\left(\frac{1}{5}\right) =5 \Rightarrow \mathrm{n}=25\)
ஈருறுப்புப் பரவல்
\(\mathrm{P}(\mathrm{X}=x)=\mathrm{nC}_x \mathrm{p}^x \mathrm{q}^{\mathrm{n}-x}=25 C_x\left(\frac{1}{5}\right)^x\left(\frac{4}{5}\right)^{25-x}\)

சமவாய்ப்பு மாறி X - என்பது தொகை என்க.
\(\begin{array}{|c|c|c|} \hline \boldsymbol{x} & 5000 & -8000 \\ \hline \mathbf{P}(\boldsymbol{x}) & 0.62 & 0.38 \\ \hline \end{array} \)
\(\mathrm{E}(\mathrm{X}) =\sum_x x P_x(x) \)
 =5000(0.62)-8000(0.38) 
 =3100-3040=60
எதிர்பார்க்கும் இலாபம் = ரூ.60

மொத்த அளிப்புகள் = மொத்த தேவைகள் கொடுக்கப்பட்ட கணக்கானது சமநிலை போக்குவரத்து கணக்காகும்.

கொடுக்கப்பட்ட போக்குவரத்து அட்டவணை 

மொத்த தேவைகள் = மொத்த இருப்புகள் = 21
எனவே கொடுக்கப்பட்ட கணக்கானது சமநிலை போக்குவரத்து கணக்காகும்.
முதல் ஒதுக்கீடு :

இரண்டாம் ஒதுக்கீடு :

மூன்றாம் ஒதுக்கீடு:

நான்காம் ஒதுக்கீடு:

ஐந்தாம் ஒதுக்கீடு :

இறுதி ஒதுக்கீடு :

போக்குவரத்து விவரம்
P → A, P → Q,Q → B, Q → C, Q → D, R → D, R → E
மொத்த போக்குவரத்து செலவு 
\( =(3 \times 2)+(1 \times 11)+(2 \times 4)+(4 \times 7)+ (2 \times 2)+(3 \times 8)+(6 \times 12) \)
= 6 + 11 + 8 + 28 + 4 + 24 + 72 = ரூ. 153 

கூறுபண்பளவை சோதனை அளவையில் எந்த மதிப்பானது ஏற்கப்படும் மற்றும் மறுக்கப்படுவதற்கான பகுதியினைப் பிரிக்கிறதோ அம்மதிப்பே தீர்மான மதிப்பு அல்லது தீர்மானிக்கும் எல்லை மதிப்பு என அழைக்கப்படுகிறது.

கூறு அளவையின் சராசரி மதிப்பானது மாதிரி பரவலின் வலது அல்லது இடது தீர்வு கட்ட பகுதியில் அமைவதால் முழுமைத் தொகுதியின் பண்பளவை பற்றிய கருதுகோள் நிராகரிக்கப்படும் நிகழ்வே ஒருமுனை சோதனை என்கிறோம்.

பாசியின் விலைகுறியீட்டு எண்
\(P_{01}^P=\frac{\sum p_1 q_1}{\sum p_0 q_1} \times 100\)
இங்கு,
p₁ - நடப்பு ஆண்டின்விலை
p₀ - அடிப்படை ஆண்டின் விலை
q₁ - நடப்பு ஆண்டின்அளவு
q₀ - அடிப்படை ஆண்டின் அளவு 
பாசியின் விலை குறியீட்டு எண்ணில், நடப்பு ஆண்டின் அளவைகள், நிறையாக பயன்படுத்தப்படுகிறது.

உற்பத்தி கட்டுப்பாடு என்பது ஆய்வு திட்டங்களின் வாயிலாக உற்பத்தி செய்யப்பட்ட பொருளின் தரத்தை கூறெடுத்தல் முறையில் சோதனை செய்வதாகும். உற்பத்தி கட்டுப்பாட்டின் நோக்கம் தமது வாடிக்கையாளர்களுக்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தர அளவை உத்தரவாதத்துடன் கொடுப்பதாகும். விற்கப்பட்ட பொருள்களில், குறைபாடுள்ள பொருள்கள் மிகுதியாக இருக்காது என்பதை உறுதிப்படுத்த முயற்சிக்கிறது.

அணி சமன்பாடு
\(\left( \begin{matrix} 1 & -4 & 7 \\ 3 & 8 & -2 \\ 7 & -8 & 26 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 14 \\ 13 \\ 5 \end{matrix} \right) \)
A X = B

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி [A,B]	அடிப்படை உருமாற்றங்கள்
\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 7 \end{matrix}\begin{matrix} -4 \\ 8 \\ -8 \end{matrix}\begin{matrix} 7 \\ -2 \\ 26 \end{matrix}\begin{matrix} 14 \\ 13 \\ 5 \end{matrix} \right) \)
~\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -4 \\ 20 \\ 20 \end{matrix}\begin{matrix} 7 \\ -23 \\ -23 \end{matrix}\begin{matrix} 14 \\ -29 \\ -93 \end{matrix} \right) \)	R2 ⟶ R2 - 3R1 R3 ⟶ R3 - 7R1
~\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -4 \\ 20 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 7 \\ -23 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 14 \\ -29 \\ 64 \end{matrix} \right) \)	R3 ⟶ R3 - 2R2
ρ(A)=3, ρ([A,B])=3

 கடைசி சமானமான அணி ஏறுபடி வடிவில் உள்ளது. இதில் மூன்று பூச்சியமற்ற நிரைகள் உள்ளன.
∴  ρ([A,B])=3,  ρ(A)=2
ρ(A) ≠ ρ([A,B])
எனவே, சமன்பாட்டுத் தொகுப்பு ஒருங்கமைவு அற்றது மற்றும் தீர்வு ஏதுமில்லை.

\(\int { \frac { { x }^{ 3 }+3x^{ 2 }-7x+11 }{ x+5 } } dx\)

\(x^{3}+3 x^{2}-7 x+11=(x+5)\left(x^{2}-2 x+3\right)-4 \)
\(\int \frac{x^{5}+3 x^{2}-7 x+11}{x+5} d x \)
\(=\int\left(x^{2}-2 x+3\right) d x-4 \int \frac{d x}{x+5} \)
\(=\frac{x^{3}}{3}-\frac{2 x^{2}}{2}+3 x-4 \log |x+5|+c\)
\(=\frac{x^{3}}{3}-x^{2}+3 x-4 \log |x+5|+c \)

கொடுக்கப்பட்ட இறுதிநிலை செலவு சார்பு: MC =6+10x-6x²
C=\(\int { MC } dx+k\)
=\(\int { (6+10x-6x^{ 2 }) } dx+k\)
=6x+5x²-2x³+k      .....(1)
x=2 எனும் போது C=12
∴ 12=12+20-16+k
k=-4
C=6x+5x²-2x³-4
சராசரி செலவு: \(\frac { C }{ x } =\frac { 6x+5x^{ 2 }-2x^{ 3 }-4 }{ x } \)
=6+5x-2x²-\(\frac { 4 }{ x } \).

y=ae^4x+be^-x      .....(1)
\(\frac { dy }{ dx } \)=4ae^4x-be^-x      ....(2)
மற்றும் \(\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \)=16ae^4x+be^-x         ....(3)
(1)+(2) ⇒ y+\(\frac { dy }{ dx } \)=5ae^4x
(2)+(3) ⇒ \(\frac { dy }{ dx } +\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \)=20ae^4x
=4(5ae^4x)
=\(4\left( y+\frac { dy }{ dx } \right) \)
\(\frac { dy }{ dx } +\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } =4y+4\frac { dy }{ dx } \)
⇒ \(\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } -3\frac { dy }{ dx } -4y\)=0 என்பது தேவையான வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.

\(\triangle ^{ 2 }\left( \frac { 1 }{ x } \right) =\triangle \left( \triangle \left( \frac { 1 }{ x } \right) \right) \)
இங்கு 
\(\triangle \left[ \frac { 1 }{ x } \right] =\frac { 1 }{ x+1 } -\frac { 1 }{ x } \)
\(∴ \triangle ^{ 2 }\left( \frac { 1 }{ x } \right) =\triangle \left( \frac { 1 }{ x+1 } -\frac { 1 }{ x } \right) \)
=\(\triangle \left( \frac { 1 }{ x+1 } \right) -\triangle \left( \frac { 1 }{ x } \right) \)
 \(\Rightarrow \triangle ^{ 2 }\left( \frac { 1 }{ x } \right) =\frac { 2 }{ x(x+1)(x+2) } \)

அதாவது, மொத்த இருப்புகள் = மொத்த தேவைகள். எனவே கொடுக்கப்பட்ட கணக்கானது சமநிலை போக்குவரத்து கணக்காகும்.
கொடுக்கப்பட்ட போக்குவரத்து அட்டவணை

முதல் ஒதுக்கீடு:

இரண்டாவது ஒதுக்கீடு:

மூன்றாவது ஒதுக்கீடு:

நான்காவது ஒதுக்கீடு:

ஐந்தாவது ஒதுக்கீடு:

இறுதி ஒதுக்கீடு:

போக்குவரத்து விவரம் 
T ⟶ H, T⟶ P, B⟶ C, B⟶ H, M⟶ H, M⟶ K
மொத்த போக்குவரத்து செலவு = ( 5×8) + (25×5)+ (35×5) + (5×11)+ (18×9) + (32×7)
= 40+125+175+55+162+224
= ரூ. 781

பருவகால வேறுபாடு என்பது ஒவ்வொரு பருவத்திலும் குறிப்பிட்டகால முறையில் மீண்டும் மீண்டும் உருவாகிறது. இந்த வேறுபாடுகள் ஒரு வருடத்திற்கும் குறைவான காலத்திற்குள் மீண்டும் மீண்டும் ஏற்படுகின்றன. இது குறிப்பிட்ட கால இடைவெளியில் அளவிடப்படுகிறது. பருவ காலவேறுபாடுகள் இயற்கை சக்திகள், சமூகபழக்கங்கள் மற்றும் மரபுகள் ஆகியவற்றால் பாதிக்கப்படலாம். இந்த மாறுபாடுகள் அதன் காரணிகளின் முடிவுகளாகும். இது சீராக மற்றும் வழக்கமாக அதிகரித்தும், வீழ்ச்சியுற்றும் காணப்படும். எடுத்துக்காட்டாக, மழைக் காலங்களில் குடைகள் மற்றம் மழைக்குப் பயன்படுத்தப்படும் உடைகள் (Raincoat) விற்பனை, கோடைப் பருவத்தில் குளிர்பானங்களின் விற்பனை, தீபாவளிப் பண்டிகை நாள்களில் பட்டாசு விற்பனை, பண்டிகை காலங்களில் ஆடைகள் வாங்குதல், பொங்கல் திருநாள்களில் கரும்பு விற்பனை.

கணக்கின்படி: n =169, \(\bar { x } \)=1350 மணி, σ= 100 மணி மிகைக்காண் (100-90)% =10% ஆகும். ∝ is 0.1, 10% இல் மிகைக்காண்  \({ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\)=1.645
\(S.E.=\frac { \sigma }{ \sqrt { n } } =\frac { 100 }{ \sqrt { 169 } } =7.69\)
முழுமைத்தொகுதியின் சராசரியின் 90% நம்பிக்கை எல்லைகள்
\(\bar { x } -{ Z }_{ \frac { \sigma }{ 2 } }<\mu <\bar { x } +{ Z }_{ \frac { \sigma }{ 2 } }SE\)
\(1350-(1.645\times 7.69)\le \mu < 1350 + (1.645 × 7.69)\)
\(1337.35\le \mu \le 1362.65\)
மின் விளக்கு சராசரி ஆயுட்காலமானது 90% நம்பிக்கை இடைவெளியில் அமைகிறது. (1337.35, 1362.65) என்று அமைகிறது.

X - என்ற இயல்நிலைமாறி மாணவர்களின் மதிப்பெண்களின் சராசரி 45 மற்றும் திட்டவிலக்கம் 10 என காட்டுகிறது என்க.
(i) 35 மதிப்பெண்களுக்கும் குறைவாக
X = 35 எனும் போது
Z =\(\frac { X-\mu }{ \sigma } =\frac { 35-45 }{ 10 } \)=-1
P(X < 35) = P(Z < - 1)
P(Z > 1) = 0.5 – P(0 < Z < 1)
= 0.5 - 0.3413
= 0.1587
35 மதிப்பெண்களுக்கும் குறைவாக பெறும் மாணவர்களின் எதிர்பார்க்கப்படும் எண்ணிக்கை
0.1587 × 1300 = 206.31
= 206 மாணவர்கள் (தோராயமாக)

(ii) 65 மதிப்பெண்களுக்கு மேலாக
X = 65 எனும் போது
Z =\(\frac { X-\mu }{ \sigma } =\frac { 65-45 }{ 10 } \)=20
P(X > 65) = P(Z > 2.0)
0.5 – P(0 < Z < 2.0)
0.5 – 0.4772
= 0.0228
65 மதிப்பெண்களுக்கு மேலாக பெறும் மாணவர்களின் எதிர்பார்க்கப்படும் எண்ணிக்கை 0.0228 x 1300 = 30
= 30 மாணவர்கள் (தோராயமாக).

சமவாய்ப்பு மாறியின் எதிர்பார்த்தல்.
\(E\left( X \right) =\int _{ -\infty }^{ \infty }{ xf(x)dx } \)
= \(\int _{ 100 }^{ \infty }{ { xe }^{ \frac { x }{ 100 } }dx } \)
= \(\left\{ \left[ \left( \frac { { e }^{ \frac { x }{ 100 } } }{ -\frac { 1 }{ 100 } } \right) \right] _{ 100 }^{ \infty }-\int _{ 100 }^{ \infty }{ \left( \frac { { e }^{ \frac { x }{ 100 } } }{ -\frac { 1 }{ 100 } } \right) } dx \right\} \left( \therefore \int { udv=uv-\int { vdu } } \right) \)
= \(\left[ \left( 1000 \right) \left( { e }^{ -1 } \right) +\left( 1000 \right) \left( { e }^{ -1 } \right) \right] \)
= \(\left[ \left( 1000 \right) \left( 0.3679 \right) +\left( 1000 \right) \left( 0.3679 \right) \right] \)
= 7358 மணிகள்
எனவே, வானொலி குழலின்  சராசரி வாழ்நாள் 7,358 மணிகள் ஆகும்.

x ,y ,z என்பன முறையே வகை I ,II மற்றும் III ஆகியவற்றின் எடைகள் என்க.
எனவே , சமன்பாடுகள் 
x + 2y + 3z = 11
2x + 4y + 5z = 21
3x + 5y + 6z = 27
\(\Delta =\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6 \end{vmatrix}\)
    = 1(24-25)-2(12-15)+3(10-12)
    = -1+6-6
    =-1\(\neq \)0
\(\therefore \) கிரேமரின் விதியை பயன்படுத்தலாம் .
\(\Delta _{ x }=\begin{vmatrix} 11 & 2 & 3 \\ 21 & 4 & 5 \\ 27 & 5 & 6 \end{vmatrix}\)
      = 11(24-25)-2(126-135) + 3(105-108)
       = -11+18-9 = -2
\(\Delta _{ y }=\begin{vmatrix} 1 & 11 & 3 \\ 2 & 21 & 5 \\ 3 & 27 & 6 \end{vmatrix}\)
      = 1(126 -135)-11(12-15)+3(54-63)
       = -9+33-27 =-3
\(\Delta _{ z }=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 11 \\ 2 & 4 & 21 \\ 3 & 5 & 27 \end{vmatrix}\)
       = 1(108 -105)-2(54-63)+11(10-12)
       = 3+18-22 =-1
\(x=\cfrac { { \Delta }_{ x } }{ \Delta } =\cfrac { -2 }{ -1 } =2\)
\(y=\cfrac { { \Delta }_{ y } }{ \Delta } =\cfrac { -3 }{ -1 } =3\)
\(z=\cfrac { { \Delta }_{ z } }{ \Delta } =\cfrac { -1 }{ -1 } =1\)
தரங்கள்  I,II,மற்றும் III ஆகியவற்றின் எடைகள் முறையே 2,3 மற்றும் 1.

\(\begin{equation} \int\left(\frac{x}{2 x^{4}-3 x^{2}-2}\right) d x \end{equation}\)
2x⁴-3x²-2=2x⁴-4x²+x²-2
=2x⁴- (x²-2) + 1(x²-2)
= (2x² + 1)(x² - 2)
\(\int \frac{x d x}{(2 x^{2}+1)( x^{2}-2} )= \frac {1}{2}\frac {dt}{(2t + 1)(t -2)}\)
\(\frac {1}{(2t + 1)(t -2)} = \frac{A}{2t + 1}+ \frac{B }{t -2}\)

t = x2 dt=2xdx \(\frac{dt}{2}=xdx\)

1 = A (t - 2) + B (2t + 1) ... (1)
t = 2 எனில் 
1 = B ( 5) ⇒ B = \(\frac{1}{5}\)
(1) - ல், 't' - ன் கெழுக்களைக் சமப்படுத்த 
0 = A + 2B
\(A =-\frac {2}{5}\)
\(\frac{1}{(2 t+1)(t-2)} =-\frac{2}{5(2 t+1)}+\frac{1}{5(t-2)} \)
\( \int \frac{d t}{(2 t+1)(t-2)} =-\frac{2}{5} \int \frac{d t}{2 t+1}+\frac{1}{5} \int \frac{d t}{t-2}\)
\(=-\frac{1}{5} \int \frac{2 d t}{2 t+1}+\frac{1}{5} \log |t-2|+c \\ \)
\(=-\frac{1}{5} \log |2 t+1|+\frac{1}{5} \log |t-2|+c \\ \)
\(=\frac{1}{5} \log \left|\frac{t-2}{2 t+1}\right|+c \\ \)
\(\int \frac{x d x}{2 x^{4}-3 x^{2}-2} =\frac{1}{2}\left[\frac{1}{5} \log \left|\left(\frac{t-2}{2 t+1}\right)\right|\right]+c \)
\(=\frac{1}{10} \log \left|\frac{x^{2}-2}{2 x^{2}+1}\right|+c\)

சமநிலையில், தேவைச் சார்பு = அளிப்புச் சார்பு 
\(p_d =p_s \)
\(1600-x^2 =2 x^2+400 \)
\(1600-400 =3 x^2 \)
\(1200 =3 x^2 \)
\(x^2 =400 \Rightarrow x=20 \)
\(p =1600-400=1200 \)
உற்பத்தியாளர் உபரி 
\(\text { PS } =x_0 p_0-\int_0^{x_0} g(x) d x \)
\(=24000-\int_0^{20}\left(2 x^2+400\right) \mathrm{d} x \)
\(=24,000-\left[\frac{2 x^3}{3}+400 x\right]_0^{20} \)
\(=24,000-\left[\frac{16000}{3}+8000\right] \)
\( =16,000-\frac{16,000}{3} \)
\(=\frac { 32000 }{ 3 } \) அலகுகள்
 

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை \(\frac { dy }{ dx } +\frac { 1 }{ cos^{ 2 }x } y=\frac { tanx }{ cos^{ 2 }x } \) என எழுதலாம்.
அதாவது, \(\frac { dy }{ dx } \)+y sec²x=tanxsec²x
இது \(\frac { dy }{ dx } \)+Py=Q என்ற வடிவில் உள்ளது.
இங்கு P=sec²x, Q=tanxsec²x
\(\int { P } dx=\int { sec^{ 2 }x } dx=tanx\)
I.F=\(e^{ \int { p.dx } }=e^{ tanx }\)
தேவையான தீர்வு: y(I.F)=\(\int { Q(I.F)dx } +c\)
yetanx=\(\int { \tan x \sec^{ 2 } } xe^{ \tan x }dx+c\)
tanx-=t என்க.
sec²xdx=dt
∴ ye^tanx=\(\int { te^{ t } } dt+c\)
=\(\\ \int { td } (e^{ t })+c\)
=te^t-e^t+c
=tanxe^tanx-e^tanx+c
ye^tanx=e^tanx(tanx-1)+c

நிறை = x என்க. மாணவர்களின் எண்ணிக்கை = y என்க. கூட்டு நிகழ்வெண் பரவலில் மாற்றம் செய்த பிறகு கிடைக்கும் வேறுபாட்டு அட்டவணை.

x	y	Δy	Δ2y	Δ3y	Δ4y
40-க்குக் குறைவான	250
		120
60	370		-20
		100		-10
80	470		-30		20
		70		10
100	540		-20
		50
120	590

70 க்கு கீழ் நிறை கொண்ட மாணவர்களின் எண்ணிக்கையை காண நாம் முன்நோக்கு இடைவெளி சூத்திரத்தை பயன்படுத்துவோம்.
y_(x=x0+nh)=\({ y }_{ 0 }+\frac { n }{ 1! } \triangle y_{ 0 }+\frac { n(n-1) }{ 2! } { \triangle }^{ 2 }{ y }_{ 0 }+\frac { n(n-1)(n-2) }{ 3! } { \triangle }^{ 0 }y_{ 0 }+....\) 
x= 70 இடத்து y-ஐ காண வேண்டும்  
∴  x₀+nh=70, x₀=40, h=20
40+N(20)=70 ⇒ N=1.5
∴ Y_(x=70)=250+1.5(120)+\(\frac { (1.5)(0.5) }{ 2! } (-20)+\frac { (1.5)(0.5)(-0.5) }{ 3! } (-10)+\frac { (1.5)(0.5)(-0.5)(-1.5) }{ 4! } (20)\)
=250+180-7.5-0.625+0.46875
=423.59
=424
60-க்கும் 70-க்கும் இடைப்பட்ட நிறை கொண்ட மாணவர்களின் எண்ணிக்கை
=y(70)-y(60)=424-370=54

இது நிகழ்தகவு நிறை சார்பு என்பதால் 
\(\sum_{i=1}^{\infty} p\left(x_i\right) =1 \)
\(\sum_{i=0}^{7} p\left(x_i\right) =1 \)
⇒ 0+k+2k+2k+3k+k²+2k²+7k²+k = 1
⇒ 10k²+9k = 1
⇒10k²+9k-1 = 0
(k+1)(10k-1) = 0 ⇒k = -1
⇒ k = \(\frac{1}{10}\)
\([\because p(x_i) \ge 0 ]\)
ii) \(P(X<6) =1-P(X \geq 6) \)
\( =1-[P(X=6)+P(X=7)] \)
\( =1-\left(2 k^2+7 k^2+k\right) \)
\( =1-\left(9 k^2+k\right) \)
\( =1-\left(\frac{9}{100}+\frac{1}{10}\right)=1-\frac{9}{100}-\frac{1}{10} \)
\( =\frac{100-9-10}{100}=\frac{81}{100} \)
\(P(X \geq 6)=P(X=6)+P(X=7) \)
\( =2 k^2+7 k^2+k=9 k^2+k \)
\( =\frac{9}{100}+\frac{1}{10}=\frac{9+10}{100}=\frac{19}{100} \)
P(0X<5) = P(X = 1)+P(X = 2)+P(X = 3)+P(X = 4)
= k+2k+2k+3k
\(8k=\left( \frac { 8 }{ 10 } \right) =\frac { 4 }{ 5 } \)
iii) சோதனை மற்றும் பிழை முறைப்படி x இன் குறைந்தபட்ச மதிப்பு 
\( P(X \leq 0)=0<\frac{1}{2} ; P(X \leq 1)=\frac{1}{10}<\frac{1}{2} \)
\(P(X \leq 2)=\frac{3}{10}<\frac{1}{2} ; P(X \leq 3)=\frac{5}{10}=\frac{1}{2} \)
\(P(X\le 4 ) =\frac { 8 }{ 10 } =\frac { 4 }{ 5 } >\frac { 1 }{ 2 } \)
\(\therefore P(X\le x )\frac { 1 }{ 2 } \) - க்கான x இன் குறைந்தபட்ச மதிப்பு 4 ஆகும் 

ஈருறுப்புப் பரவலின் சராசரி np மற்றும் மாறுபாடு npq ஆகும்.
np + npq = 24; np(1 + q) = 24    ... (1)
np × npq = 128; n²p²q = 128       ... (2)
(1) லிருந்து np = 24/(1+q) ⇒ n²p² = (24/(1+q))²
(2) ல் பிரதியிட
\(\left( \frac { 24 }{ 1+q } \right) ^{ 2 }\)q=128 ⇒ 9q = 2(1+2q+q²)
(2q – 1)(q – 2) = 0
இங்கு q=\(\frac { 1 }{ 2 } \) மற்றும் p=\(\frac { 1 }{ 2 } \)
(1) ல் பிரதியிட, நாம் பெறுவது n = 32
ஈருறுப்பு பரவல் 32C_x\(\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ x }\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 32-x }\).

கூறின் அளவு n =100, கூறின் சராசரி \(\bar { x } \) = 390 பக்கங்கள் ,
முழுமைத்தொகுதி சராசரி μ = 400 பக்கங்கள்
முழுமைத்தொகுதி திட்ட விலக்கம் SD σ = 20 பக்கங்கள்
பெருங்கூறானதால் Z சோதனையை பயன்படுத்துகிறோம்.
இன்மை கருதுகோள்:
நிறுவனம் தயாரித்த போனான் (எழுதும்) ஆயுளின் கூறு சராசரிக்கும், முழுமைத்தொகுதி சராசரிக்கும் குறிப்பாக வித்யாசம் இல்லை. H₀:μ=400 என்க.
மாற்று கருதுகோள் : நிறுவனம் தயாரித்த பேனாவின் எழுதும் ஆயுளின் கூறு சராசரிக்கும் முழுமைத் தொகுதி சராசரிக்கும். குறிப்பிடத்தக்க வித்தியாசம் உள்ளது. H₁ : μ ≠ 400 (இருமுனை சோதனை)
மிகைகாண் நிலை ∝=1% =0.01
கூறுபண்பளவை சோதனைக்கேற்ப கணக்கிடல் 
\(Z=\frac { \bar { x } -\mu }{ \frac { \sigma }{ \sqrt { n } } } \sim N(0,1);Z=\frac { 390-400 }{ \frac { 20 }{ \sqrt { 100 } } } =\frac { -10 }{ 2 } =-5,\therefore |Z|=5\)
\({ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\)=2.58
கண்டறியப்பட்ட மதிப்பு |Z|=5 மற்றும் எதிர்பார்க்கும் மதிப்பு (அல்லது) அட்டவணை மதிப்பு \({ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\)=2.58, கணக்கிடப்பட்ட மதிப்பை அட்டவணை மதிப்போடு ஒப்பிடும்போது Z>\({ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\) அதாவது 5>2.58.
முடிவு: கணக்கிடப்பட்ட Z –இன் மதிப்பானது, அட்டவணை மதிப்பு \({ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\) விட அதிகமாக உள்ளதால், Z>\({ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\) முதல் 1%மிகைகாண் நிலையில், இன்மை கருதுகோள் H₀ நிராகரிக்கப்படுகிறது. எனவே μ≠400 என தீர்மானித்து நிறுவனத்தின் கூற்றை 1% நிலையில் நிராகரிக்கலாம்.

இங்கு நிரல்களின் எண்ணிக்கையும், நிரைகளின் எண்ணிக்கையும் சமமாக உள்ளன. எனவே கொடுக்கப்பட்ட கணக்கானது சமச்சீரான ஒதுக்கீடு கணக்காகும். தற்போது அதன் தீர்வைக் காணலாம்.
படி 1:

 

ஒவ்வொரு நிரையில் உள்ள மீச்சிறு மதிப்பை அந்த நிரையில் உள்ள அனைத்து மதிப்புகளிலிருந்தும் கழிக்க வேண்டும்.

 

படி 2: ஒவ்வொரு நிரலில் உள்ள மீச்சிறு மதிப்பை அந்த நிரலில் உள்ள அனைத்து மதிப்புகளிலிருந்தும் கழிக்க வேண்டும்.

 

அனைத்து ஒதுக்கீடுகளும் செய்யப்பட்டுள்ளன.
உகந்த ஒதுக்கீடு மற்றம் மொத்த நேரம்

மாதிரி எண்	மொத்தம்	சராசரி\(\bar X \)	வீச்சு\(\bar R \)
1	50.1	12.525	0.4
2	50.4	12.6	0.4
3	49.6	12.4	0.5
4	49.6	12.4	0.4
5	49.9	12.475	0.1
6	49.9	12.475	0.3
7	50.6	12.65	0.3
8	49.8	12.45	0.3
9	50	12.5	0.3
10	50.1	12.525	0.7
	மொத்தம்	125	3.7

\( \bar{X}=\frac{\Sigma \bar{X}}{n}=\frac{125}{10}=12.5 \)
\(\bar{R}=\frac{\Sigma R}{n}=\frac{3.7}{10}=0.37\)
\(\bar{X}\) வரைபடத்தின் கட்டுப்பாட்டு வரம்புகள்
\(\text { UCL } =\bar{X}+A_2 \bar{R} \)
\( =12.5+(0.58)(0.37) \)
\(=12.5+0.2146=12.71 \)
\(\text { LCL } =\bar{X}-A_2 \bar{R} \)
\( =12.5-0.2146=12.28 \)
\(\text { CL }  =12.5\)
(R) வீச்சு வரைபடக் கட்டுப்பாட்டு வரம்புகள்
\(\mathrm{UCL} =D_4 \bar{R}  =2.115(0.37)=0.78 \)
\(\mathrm{CL}  =0.37 \)
\(\mathrm{LCL} =D_0 \bar{R}=0\)

A = \(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \end{matrix} \right) \)
~ \(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 8 \end{matrix} \right)R_2 \rightarrow R_2 - R_1\\ \quad \quad \quad \quad \quad R_3\rightarrow R_3 -R_1 \)
 

~ \(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} \right)R_3 \rightarrow R_3 - 3R_2\)
ρ(A)= 3

0.6 + x = 1 ⇒ x = 1 - 0.6 = 0.4

t = 4 + x⁴ என்க.⇒ dt = x⁴ dx
\(\int { \frac { { 2x }^{ 3 } }{ 4+{ x }^{ 4 } } } \)dx \(= \int \frac {1}{2}{ \frac { { 4x }^{ 3 } }{ 4+{ x }^{ 4 } } } dx = \frac {1}{2} \int \frac {dt }{t }\)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \log \left| t \right| +c\)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \log \left| 4+{ x }^{ 4 } \right| +c\)

\(\int _{ 0 }^{ 1 }{ (2x+1) } dx ={ { \left[ \frac { { 2x }^{ 2 } }{2 }+ x \right] }^{ 1 }_{ 0 } }\) 
=1+1=2

\(\int _{ 0 }^{ 1 }{ \sqrt { { x }^{ 4 }(1-x)^{ 2 } } }\)dx = \(\int _{ 0 }^{ 1 }{ \sqrt { { x }^{ 2 }(1-x)^{ 2 } } }\)
\(=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-x^{ 3 } } }dx = \left[\frac{x^{3}}{3} \frac{x^4}{4}\right]^1_0\)
\(= \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4-3}{12} = \frac{1}{12}\)

பரப்பு \(=\int_0^1 e^x d x=\left[e^x\right]_0^1=e^1-e^0=\mathrm{c}-1\)

\(\mathrm{y} =\mathrm{c} x+\mathrm{c}-\mathrm{c}^3 \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\mathrm{c} \)
\(\therefore \mathrm{y} =x \frac{d y}{d x}+\frac{d y}{d x}-\left(\frac{d y}{d x}\right)^3 \)

y = mx + c 
\(\frac{d y}{d x}=\mathrm{m} \)  மற்றும் \(\frac{d^2 y}{d x^2}=0\)

சிறப்புத் தொகை \(\text { P.I } =\frac{1}{3 D^2+D-14}\left(13 \mathrm{e}^{2 x}\right) \)
D=2 எனில், \(3 \mathrm{D}^2+\mathrm{D}-14=0\)
\( =x\left(\frac{1}{6 D+1}\right) 13 e^{2 x} \)
\( =\frac{13 x e^{2 x}}{13}=x \mathrm{e}^{2 x}\)

\(\Delta \mathrm{f}(x) =\mathrm{f}(x+\mathrm{h})-\mathrm{f}(x) \)
\(\Delta\left(x^2\right) =(x+\mathrm{h})^2-x^2 {\left[\because \mathrm{f}(x)=x^2\right]} \)
\(=(x+1)^2-x^2=2 x+1 {[\because \mathrm{h}=1]} \)

\(\mathrm{P}(-3 <\mathrm{Z}<-0.5) \)
\(= \mathrm{P}(0<\mathrm{Z}<3)-\mathrm{P}(0<\mathrm{Z}<0.5)\)
=0.4987-0.1915=0.3072

\(P(Z>z) =0.8413 \)
0.5+P(-z<Z<0)  =0.8413
P(-z<Z<0)  =0.3413
z  =-1

ஃபிஷர் தனித்த குறியீட்டு எண் =\(\sqrt{110 \times 108} = \sqrt{11880} = 108.99 - 109\)