மாறிகளுக்கான இருவகையான கட்டுப்பாட்டு வரைபடங்கள் :
(i) சராசரி வரைபடங்கள் ( \(\bar X\) )
(ii) வீச்சு வரைபடங்கள்(R)

சமவாய்ப்பு மாறி Z = (X–μ)/σ என்பது திட்ட இயல்நிலை பரவலைப் பின்பற்றுமானால் Z என்பது திட்ட இயல்நிலை மாறி என அழைக்கப்படுகிறது. மேலும் அதனுடைய சராசரி 0 மற்றும் திட்டவிலக்கம் 1 ஆகும் அதாவது Z ~ N(0,1) அதன் நிகழ்தகவு அடர்த்திச் சார்பு :
\((z)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} -\infty<\mathrm{z}<\infty\)

(27, 25, 23, 32) இன் மீச்சிறு மதிப்பு = 23. எனவே E3 என்பது சிறந்த மாற்று நடவடிக்கையாகும்

ஒரு தனித்த சமவாய்ப்பு மாறி X-இன் நிகழ்தகவு நிறை சார்பு p(x) எனில் அதன் எதிர்பார்க்கும் மதிப்பு 
\(\mathrm{E}(\mathrm{X})=\sum_x x p(x) \)
தனித்த சமவாய்ப்பு மாறி X - இன் நிகழ்தகவு நிறை சார்பு p(x) எனில்
\(\operatorname{Var}(\mathrm{X})=\Sigma[x-\mathrm{E}(\mathrm{X})]^2 \mathrm{p}(x)\)

கூறின் அளவு n = 50
மாதிரியின் திட்டவிலக்கம் S.D s = 6.3
முழுமைத் தொகுதியின் திட்டவிலக்கம் S.D σ = 6
மாதிரியின் திட்டப்பிழை
\(S.E=\sqrt { \frac { { \sigma }^{ 2 } }{ 2n } } =\frac { 6 }{ \sqrt { 2(50) } } =\frac { 6 }{ \sqrt { 100 } } =0.6\)
∴ மாதிரியின் திட்டப்பிழை S.D = 6

\(\Gamma \left( \frac { 7 }{ 2 } \right) \)=\(\frac { 5 }{ 2 } \Gamma \left( \frac { 5 }{ 2 } \right) \)
=\(\frac { 5 }{ 2 } \frac { 3 }{ 2 } \Gamma \left( \frac { 3 }{ 2 } \right) \)
=\(\frac { 5 }{ 2 } \frac { 3 }{ 2 } \frac { 1 }{ 2 } \Gamma \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \)
=\(\frac { 5 }{ 2 } \frac { 3 }{ 2 } \frac { 1 }{ 2 } \sqrt { \pi } =\frac { 15 }{ 8 } \sqrt { \pi } \)
 

கொடுக்கப்பட்டுள்ள விவரங்களுக்கு முன்நோக்கு வேறுபாட்டின் அட்டவணை

\(\frac { dy }{ dx } +\frac { y }{ x } \)=xe^x
இது \(\frac{d y}{d x}+P y=\mathrm{Q}\) என்ற அமைப்பில் உள்ளது
இங்கு,\(\mathrm{P} =\frac{1}{x}, \mathrm{Q}=x \mathrm{e}^x \)
\(\int P d x =\int \frac{d x}{x}=\log x \)
தொ.கா.\( =e^{\int P d x}=\mathrm{e}^{\log x}=x \)
\(y e^{\int P d x} =\int Q e^{\int P d x} d x+c \)
\(\mathrm{y} x =\int x^2 e^x d x+c \)
\(\begin{array}{|c|c|} \hline \mathrm{u}=x^2 & \int d v=\int e^x d x \\ u^{\prime}=2 x & \mathrm{v}=\mathrm{e}^x \\ u^{\prime \prime}=2 & \mathrm{v}_1=\mathrm{e}^x \\ & \mathrm{v}_2=\mathrm{e}^x \\ \hline \end{array}\)
\( x y=\mathrm{uv}-u^{\prime} \mathrm{v}_1+u^{\prime\prime} \mathrm{v}_2 \)
\( x y=x^2 \mathrm{e}^x-2 x \mathrm{e}^x+2 \mathrm{e}^x+\mathrm{c} \)
xy=e^x(x²-2x+2)+c

\(\mathrm{MR} =6=3 x^2-x^3 \)
\(\mathrm{R} =\int\left(6-3 x^2-x^3\right) d x \)
\(\mathrm{R} =6 x-\frac{3 x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+k \)
x  =0,R=0 எனில்  k=0
\(\mathrm{R}  =6 x-x^3-\frac{x^4}{4} \)
\(\mathrm{p}  =\frac{R}{x}=6-x^2-\frac{x^3}{4} \)

A=\(\left( \begin{matrix} 1 & 5 \\ 3 & 9 \end{matrix} \right) \)என்க
A-ன் வரிசை 2 x 2 ∴ ρ(A) ≤2
இரண்டாம் வரிசை சிற்றணிக்கோவையை கருத, நாம் பெறுவது
\(\left| \begin{matrix} 1 & 5 \\ 3 & 9 \end{matrix} \right| \)=-6≠0 ஆகும்.
⇒ பூச்சியமற்ற சிற்றணிக்கோவையின் வரிசை 2 ஆகும்.  ∴ ρ(A) ≤2

இங்கே, அடிப்படை ஆண்டு அளவு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. எனவே மொத்த செலவு முறையைப் பயன்படுத்தலாம்.

வாழ்க்கை குறியீட்டு எண்  \(=\frac { \sum { { p }_{ 1 }{ q }_{ 0 } } }{ \sum { { p }_{ 0 }{ q }_{ 0 } } } \times 100=\frac { 95225 }{ 84562.5 } \times 100=112.609\)
எனவே, 2015 ஆம் ஆண்டை, 2010 ஆண்டு உடன் ஒப்பிடுகையில், வாழ்க்கை குறியீட்டு எண் 12.609% அதிகரித்துள்ளது.

(i) மீச்சிறுவின் மீப்பெரு

(5, 7, 9, 8)இன் மீப்பெரு மதிப்பு = 9, எனவே A₃ சிறந்த செயல் ஆகும்.
(ii) மீப்பெருவின் மீச்சிறு

(14, 11, 11, 13) - இன் மீச்சிறு மதிப்பு = 11
எனவே A₂ மற்றும் A₃  சிறந்த செயல் ஆகும்.

இங்கு μ என்பது உதிரிபாகங்களின் முழுமைத்தொகுதி சராசரி உயரம் ஆகும்.
μ -ஐ மதிப்பீடு செய்வதற்கான 95% எல்லைகள்
\(\bar { x } -{ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\frac { \sigma }{ \sqrt { n } } <\mu \bar { x } +{ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\frac { \sigma }{ \sqrt { n } } \)
இங்கு \(\sigma =1.6,{ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }=1.96,\bar { x } =90\)மற்றும் n=64
திட்டப்பிழை \(S.E=\frac { \sigma }{ \sqrt { n } } =\frac { 1.6 }{ \sqrt { 64 } } =0.2\)
எனவே, 90-(1.96 x 0.2)\(\le \mu \le\)90+(1.96 x 0.2)
(89.61 \(\le \mu \le\) 90.39)
உதிரிபாகங்களின் முழுமைத்தொகுதி சராசரி உயரங்களின் உண்மை மதிப்பு (89.61, 90.39) என்ற 95% நம்பிக்கை இடைவெளியில் உள்ளது. எனவே 95% நம்பிக்கை இடைவெளியில் உள்ள உதிரிப்பாகங்களை வாடிக்கையாளர்கள் ஏற்றுக்கொள்வார்கள்.

பேருந்து தாமதமாக வருவதற்கான நிகழ்தகவு p எனக்குறிக்கப்படுகின்றது,
அதன் மதிப்பு p = 1-0.8 = 0.2
பேருந்து சரியாக இயக்கப்படுவதற்கான நிகழ்தகவு q = 0.8
n = 10
ஈருறுப்பு பரவல் p(x)=10C_x(0.2)^x(0.8)^10-x
(i) சரியாக ஒரு பேருந்து தாமதமாக இயக்கப்படுவதற்கான நிகழ்தகவு
P(x=1) = 10C₁ pq⁹
= 10C₁(0.2)(0.8)⁹
 (ii) குறைந்தபட்சம் ஒரு பேருந்து தாமதமாக இயக்கப்படுவதற்கான நிகழ்தகவு
= 1 - தாமதமாக எந்த ஒரு பேருந்தும் இயக்கப்படவில்லை
= 1 - p(x=0)
= 1- (0.8)¹⁰

\(\int _{ -\infty }^{ \infty }{ f(x)dx=1 } \) என்பதை நாம் அறிவோம்.
\(\int _{ 0 }^{ 1 }{ axdx=1\Rightarrow a\int _{ 0 }^{ 1 }{ xdx } } =1\)
\(\Rightarrow a\left( \cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right) _{ 0 }^{ 1 }=1\)
\(\Rightarrow \frac { a }{ 2 } \left( 1-0 \right) =1\)
\(\Rightarrow a=2\)
\(P\left[ x\le \cfrac { 1 }{ 2 } \right] =\int _{ -\infty }^{ \frac { 1 }{ 2 } }{ f(x)dx } \)
= \(\int _{ 0 }^{ \frac { 1 }{ 2 } }{ axdx } \)
= \(\int _{ 0 }^{ \frac { 1 }{ 2 } }{ 2xdx } \)
= \(\cfrac { 1 }{ 4 } \)

\(\triangle ^{ 2 }\left( \frac { 1 }{ x } \right) =\triangle \left( \triangle \left( \frac { 1 }{ x } \right) \right) \)
இங்கு 
\(\triangle \left[ \frac { 1 }{ x } \right] =\frac { 1 }{ x+1 } -\frac { 1 }{ x } \)
\(∴ \triangle ^{ 2 }\left( \frac { 1 }{ x } \right) =\triangle \left( \frac { 1 }{ x+1 } -\frac { 1 }{ x } \right) \)
=\(\triangle \left( \frac { 1 }{ x+1 } \right) -\triangle \left( \frac { 1 }{ x } \right) \)
 \(\Rightarrow \triangle ^{ 2 }\left( \frac { 1 }{ x } \right) =\frac { 2 }{ x(x+1)(x+2) } \)

\(\mathrm{y}(1-x)-x \frac{d y}{d x} =0 \)
\(\mathrm{y}(1-x) =x \frac{d y}{d x} \)
\(\frac{(1-x)}{x} d x =\frac{d y}{y} \)
\(\int\left(\frac{1}{x}-\frac{x}{x}\right) d x =\int \frac{d y}{y}\)
\(\log x-x =\log \mathrm{y}+\mathrm{c} \)

(i) கொடுக்கப்பட்ட MC=2+5e^x 
C=\(\int { MC } dx+k\)
=\(\int { (2+5{ e }^{ x }) } dx+k\)
=2x+5e^x+k
x=0, C=100 ⇒100=2(0)+5(e⁰)+k
k=95
∴ C=2x+5e^x+95
(ii) சராசரி விலை =\(\frac { C }{ x } =\frac { 2x+{ 5e }^{ x }+95 }{ x } \)
AC=\(2+\frac { 4e^{ x } }{ x } +\frac { 95 }{ x } \).

\(\int \left( \frac { \cos 2x+2\sin ^{ 2 } x }{ \cos ^{ 2 } x } \right) dx\)=\(\int \frac { 1-2\sin ^{ 2 } x+2\sin ^{ 2 } x }{ \cos ^{ 2 } x } dx\)
\(=\int \frac { dx }{ \cos ^{ 2 } x } =\)\(\int \sec ^{ 2 } xdx=\tan x+c\)
 

A-யின் வரிசை 3 x 4
∴ ρ(A) ≤3.
அணி A-ஐ, ஏறுபடி வடிவத்திற்கு மாற்றியமைக்க,

ஏறுபடிவ அணியில் உள்ள பூச்சியமற்ற நிரைகளின் எண்ணிக்கை 3 ஆகும். ∴ ρ(A) =3.

\( \overline{\bar{X}}=\frac{\Sigma \bar{X}}{n}=\frac{106.6}{10}=10.66 \)
\(\bar{R}=\frac{1}{n} \Sigma R=\frac{63}{10}=6.3 \)
\(\bar{X}\) வரைபடத்தின் கட்டுப்பாடு வரம்புகள்
\(\text { UCL }  =\overline{\bar{X}}+A_2 \bar{R} \)
=10.66+(0.58)(6.3)
 =10.66+3.654=14.31
\(\text { LCL }  =\bar{X}-A_2 \bar{R}\)
 =10.66-3.654=7.006 
\(\text { CL }  =\bar{X}=10.66\)
வீச்சு வரைபடக் கட்டுப்பாடு வரம்புகள்
\(\mathrm{UCL}  =D_4 \bar{R}=2.115(6.3)=13.32 \)
\(\mathrm{CL}  =\bar{R}=6.3 \)
\(\mathrm{LCL}  =D_3 \bar{R}=0\)
சராசரி மற்றும் வீச்சின் அனைத்து புள்ளிகளும் கட்டுப்பாட்டு வரம்புக்குள் இருப்பதால் செயல்முறையானது கட்டுப்பாட்டில் உள்ளது.

\(P(X \leq 0) =P(X=-2)+P(X=0) \)
\(=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)

உலர் மின்கலங்களின் ஆயுட்காலம் X என்க. இது இயல்நிலைப் பரவலைப் பின்பற்றி சராசரி 12 மற்றும் திட்டவிலக்கம் 3 மணி என்க.
(i) 13 மணி நேரத்திற்கும் மேலாக
P(X > 13)
X = 13 எனில்
Z =\(\frac { X-\mu }{ \sigma } =\frac { 13-12 }{ 3 } \)=0.333
P(X > 13) = P(Z > 0.333) = 0.5 - 0.1293 = 0.3707


13 மணி நேரத்திற்கும் மேலாக ஆயுட்காலம் கொண்ட உலர் மின்கலங்களின் எதிர்பார்க்கப்படும் சதவீதம் =125 × 0.3707 =46.34%
(ii) 5 மணி நேரத்திற்கும் குறைவாக P(X < 5)
X = 5 எனில், Z=\(\frac { X-\mu }{ \sigma } =\frac { 5-12 }{ 3 } \)=-2.333
P(X < 5) = P(Z < -2.333) = P(Z > 2.333)
= 0.5 - 0.4901 = 0.0099
5 மணி நேரத்திற்கும் குறைவாக ஆயுட்காலம் கொண்ட உலர் மின்கலங்களின் எதிர்பார்க்கப்படும் சதவீதம் 125 × 0.0099 =1.23%.

(iii) 9 மற்றும் 14 மணி நேரத்திற்கு இடையில் X = 9 எனில்,
Z =\(\frac { X-\mu }{ \sigma } =\frac { 9-12 }{ 3 } \)=-1
X = 14 எனில்,
Z =\(\frac { X-\mu }{ \sigma } =\frac { 14-12 }{ 3 } \)=0.667
P(9 < X < 14) = P(-1 < Z < 0.667)
= P(0 < Z < 1) + P(0 < Z < 0.667)
= 0.3413 + 0.2486
= 0.5899
9 மற்றும் 14 மணி நேரத்திற்கிடையில் ஆயுட்காலம் கொண்ட உலர் மின்கலங்களின் எதிர்பார்க்கப்படும் சதவீதம் 125 x 0.5899 =73.73%

கொடுக்கப்பட்ட போக்குவரத்து அட்டவணை 

அதாவது, மொத்த அளிப்புகள் = மொத்த தேவைகள் கொடுக்கப்பட்ட கணக்கானது சமநிலை போக்குவரத்து கணக்காகும்.
முதல் ஒதுக்கீடு :

இரண்டாம் ஒதுக்கீடு:

மூன்றாம் ஒதுக்கீடு:

நான்காம் ஒதுக்கீடு:

ஐந்தாம் ஒதுக்கீடு:

இறுதி ஒதுக்கீடு :

போக்குவரத்து விவரம் :
O₁⟶ D₁, O₁⟶ D₂, O₂⟶ D₃, O₃⟶ D₂, O₃⟶ D₄
மொத்த போக்குவரத்து செலவு
\( = (30 \times 6)+(5 \times 5)+(28 \times 11)+ (7 \times 9)+(25 \times 7)+(25 \times 13) \)
= 180 + 25 + 308 + 63 + 175 + 325  
= Rs. 1076

கொடுக்கப்பட்ட விவரங்களிலிருந்து, கூறு அளவு n=50, கூறு சராசரி \(\bar { x } \)=10கி.மீ,
கூறின் திட்டவிலக்கம் s=3.5 கி.மீ 
முழுமைத்தொகுதி சராசரி μ=9.5 கி.மீ
முழுமைத்தொகுதியின் திட்டவிலக்கம் σ கொடுக்கப்படவில்லையாதலால் σ=s எனக் கொள்வோம்.
இது பெருங்கூறாதலால் Z-சோதனையைப் பயன்படுத்தலாம். சோதனை அளவை Z ஆனது திட்ட இயல்நிலை மாறியாகும்.
இன்மை கருதுகோள், கூறு சராசரிக்கும் முழுமைத் தொகுதி சராசரிக்கும் இடையே குறிப்பிடத்தக்க சிறப்பான வித்தியாசம் இல்லை அதாவது H₀ : μ = 9.5 என்பதாகும்.
மாற்று எடுகோள் : கூறு சராசரி மற்றும் நிறுவனத்தின் சராசரிக்கும் வித்தியாசம் உள்ளது. அதாவது H₁ : μ ≠ 9.5 (இருமுனை சோதனை)
மிகைகாண் நிலை ∝ = 5% = 0.05
கூறுபண்பளவைச் சோதனை கணக்கிடுதல்
\(Z=\frac { \bar { x } -\mu }{ \frac { \sigma }{ \sqrt { n } } } \sim N(0,1);Z=\frac { 10-9.5 }{ \frac { 3.5 }{ \sqrt { 50 } } } \sim N(0,1)=\frac { 0.5 }{ 0.495 } =1.01\)
கணக்கிடப்பட்ட Z-ன் மதிப்பு Z = 1.01 மற்றும் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு அல்லது அட்டவணை மதிப்பு \({ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\)=1.96. கணக்கிடப்பட்ட மதிப்பை அட்டவணை மதிப்போடு ஒப்பிடும்போது Z<\({ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\) அதாவது 1.01<1.96.
அதாவது 1.01 < 1.96.
முடிவு: கணக்கிடப்பட்ட Z மதிப்பானது அட்டவணை மதிப்பை \({ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\) விட குறைவாக உள்ளதால் Z<\({ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\). 5% மிகைகாண் நிலையில் இன்மை கருதுகோள் H₀ ஏற்றுக் கொள்ளப்படுகிறது. ஆகவே நிறுவனத்தின் அறிவிப்பின்படி புதிய மகிழுந்தின் எரிபொருள் பயன்பாடு 9.5 கி.மீ/லி என்பதை ஏற்றுக்கொள்ளலாம்.

இங்கு ∑a_i=∑b_j=950
அதாவது, மொத்த இருப்புகள் = மொத்த தேவைகள். எனவே கொடுக்கப்பட்ட கணக்கானது சமநிலை போக்குவரத்து கணக்காகும்.
முதலில் ஒவ்வொரு நிரை மற்றும் நிரலில் காணப்படும் அடுத்தடுத்த இரண்டு சிறிய எண்களின் வித்தியாசத்தை கண்டுபிடித்து அதற்குரிய நிரை மற்றும் நிரலுக்கு நேராக அடைப்புக்குறிக்குள் எழுதவும்.

அதிக வித்தியாசமான 5-ஆனது நிரல் D₁ மற்றும் D₂.-க்கு நேராக உள்ளது. இங்கு நமது விருப்படி D1 தேர்ந்தெடுக்கவும். தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட D1 நிரலில் குறைந்த செலவு கொண்ட சிற்றறை (S1, D1) தேர்ந்தெடுத்து அங்கு அதிகபட்சமாக அதாவது (250,200) –ன் சிறும மதிப்பான 200 அலகுகளை ஒதுக்கீடு செய்யவும்.
குறைக்கப்பட்ட போக்குவரத்து அட்டவணை

வித்தியாசமான 5-ஆனது நிரல் D₂.-க்கு நேராக உள்ளது. தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட D₂ நிரலில் குறைந்த செலவு கொண்ட சிற்றறை (S₁, D₂).) தேர்ந்தெடுத்து அங்கு அதிகபட்சமாக அதாவது (50,175) –ன் சிறும மதிப்பான 50 அலகுகளை ஒதுக்கீடு செய்யவும்.
குறைக்கப்பட்ட போக்குவரத்து அட்டவணை

வித்தியாசமான 6-ஆனது நிரல் D₂-க்கு நேராக உள்ளது. தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட D₂. நிரலில் குறைந்த செலவு கொண்ட சிற்றறை (S₂, D₂) தேர்ந்தெடுத்து அங்கு அதிகபட்சமாக அதாவது (300,175) –ன் சிறும மதிப்பான 175 அலகுகளை ஒதுக்கீடு செய்யவும்.
குறைக்கப்பட்ட போக்குவரத்து அட்டவணை

வித்தியாசமான 4-ஆனது நிரை S₂ நேராக உள்ளது. தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட S₂ நிரையில் குறைந்த செலவு கொண்ட சிற்றறை (S₂, D₄) தேர்ந்தெடுத்து அங்கு அதிகபட்சமாக அதாவது (125,250) இன் சிறும மதிப்பான 125 அலகுகளை ஒதுக்கீடு செய்யவும்.
குறைக்கப்பட்ட போக்குவரத்து அட்டவணை மற்றும் ஒதுக்கீடுகள்


அனைத்து ஒதுக்கீடுகளும் ஒரே அட்டவணையில் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

போக்குவரத்து விபரம் :
S₁⟶ D₁, S₁⟶ D₂, S₂⟶ D₂, S₂⟶ D₄, S₃⟶ D₃, S₃⟶ D₄
போக்குவரத்து செலவு 
=(200×11)+(50×13)+(175×18)+(125×10)+(275×13)+(125×10)
= ரூ. 12,075

இது நிகழ்தகவு நிறை சார்பு என்பதால் 
\(\sum_{i=1}^{\infty} p\left(x_i\right) =1 \)
\(\sum_{i=0}^{7} p\left(x_i\right) =1 \)
⇒ 0+k+2k+2k+3k+k²+2k²+7k²+k = 1
⇒ 10k²+9k = 1
⇒10k²+9k-1 = 0
(k+1)(10k-1) = 0 ⇒k = -1
⇒ k = \(\frac{1}{10}\)
\([\because p(x_i) \ge 0 ]\)
ii) \(P(X<6) =1-P(X \geq 6) \)
\( =1-[P(X=6)+P(X=7)] \)
\( =1-\left(2 k^2+7 k^2+k\right) \)
\( =1-\left(9 k^2+k\right) \)
\( =1-\left(\frac{9}{100}+\frac{1}{10}\right)=1-\frac{9}{100}-\frac{1}{10} \)
\( =\frac{100-9-10}{100}=\frac{81}{100} \)
\(P(X \geq 6)=P(X=6)+P(X=7) \)
\( =2 k^2+7 k^2+k=9 k^2+k \)
\( =\frac{9}{100}+\frac{1}{10}=\frac{9+10}{100}=\frac{19}{100} \)
P(0X<5) = P(X = 1)+P(X = 2)+P(X = 3)+P(X = 4)
= k+2k+2k+3k
\(8k=\left( \frac { 8 }{ 10 } \right) =\frac { 4 }{ 5 } \)
iii) சோதனை மற்றும் பிழை முறைப்படி x இன் குறைந்தபட்ச மதிப்பு 
\( P(X \leq 0)=0<\frac{1}{2} ; P(X \leq 1)=\frac{1}{10}<\frac{1}{2} \)
\(P(X \leq 2)=\frac{3}{10}<\frac{1}{2} ; P(X \leq 3)=\frac{5}{10}=\frac{1}{2} \)
\(P(X\le 4 ) =\frac { 8 }{ 10 } =\frac { 4 }{ 5 } >\frac { 1 }{ 2 } \)
\(\therefore P(X\le x )\frac { 1 }{ 2 } \) - க்கான x இன் குறைந்தபட்ச மதிப்பு 4 ஆகும் 

x₀ = 1974, x₁ = 1978, x₂ = 1982, x₃ = 1990
y₀ = 25, y₁ = 60, y₂ = 80, y₃ = 170, x = 1986.
∴ y = f(x) = \(\frac { (x-{ x }_{ 1 })(x-{ x }_{ 2 })(x-{ x }_{ 3 }) }{ ({ x }_{ 0 }-{ x }_{ 1 })({ x }_{ 0 }-{ x }_{ 2 })({ x }_{ 0 }-{ x }_{ 3 }) } \times { y }_{ 0 }+\frac { (x-{ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 2 })(x-{ x }_{ 3 }) }{ ({ x }_{ 1 }-{ x }_{ 0 })({ x }_{ 1 }-{ x }_{ 2 })(x_{ 1 }-{ x }_{ 3 }) } \times { y }_{ 1 }+\frac { (x-{ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 1 })(x-{ x }_{ 3 }) }{ ({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 0 })({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 })({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 3 }) } \times { y }_{ 2 }+\frac { (x-{ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 1 })(x-{ x }_{ 2 }) }{ ({ x }_{ 3 }-{ x }_{ 0 })({ x }_{ 3 }-{ x }_{ 1 })({ x }_{ 3 }-{ x }_{ 2 }) } \times { y }_{ 3 }\)
\( =\frac{(8)(4)(-4)}{(-4)(-8)(-16)} 25+\frac{(12)(4)(-4)}{(4)(-4)(-12)} 60+ \frac{(12)(8)(-4)}{(8)(4)(-8)} 80+\frac{(12)(8)(4)}{(16)(12)(8)} 170 \)
\( =\frac{25}{4}-60+120+\frac{170}{4}=\frac{195}{4}+60 \)
 =48.75+60=108.75 (ஆயிரம் டன்கள்)

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & y & \nabla_y & \nabla^2 y & \nabla^3 y \\ \hline 0 & 1 & & & \\ \hline & & 1 & & \\ \hline 1 & 2 & & 8 & \\ \hline & & 9 & & 6 \\ \hline 2 & 11 & & 14 & \\ \hline & & 23 & & \\ \hline 3 & 34 & & & \\ \hline \end{array}\)
x = 2.8
நியூட்டனின் பின்நோக்கு இடைச்செருகல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த
x_n + nh = 2.8 ⇒ 3 + n (1) = 2.8
⇒  n = 2.8 - 3 = -0.2
\( \mathrm{y}=y_n+\frac{n}{1 !} \nabla y_n+\frac{n(\mathrm{n}+1)}{2 !} \nabla^2 y_n +\frac{n(n+1)(\mathrm{n}+2)}{3 !} \nabla^3 y_n+\ldots \)
\(y=34+\frac{(-0.2)}{1 !}(23)+\frac{(-0.2)(0.8)}{2 !}(14) +\frac{(-0.2)(0.8)(1.8)}{3 !}(6) \)
\(y=34-4.6-1.12-0.288=27.992 \)
= 22.0948

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை \(\frac { dy }{ dx } +\frac { 1 }{ cos^{ 2 }x } y=\frac { tanx }{ cos^{ 2 }x } \) என எழுதலாம்.
அதாவது, \(\frac { dy }{ dx } \)+y sec²x=tanxsec²x
இது \(\frac { dy }{ dx } \)+Py=Q என்ற வடிவில் உள்ளது.
இங்கு P=sec²x, Q=tanxsec²x
\(\int { P } dx=\int { sec^{ 2 }x } dx=tanx\)
I.F=\(e^{ \int { p.dx } }=e^{ tanx }\)
தேவையான தீர்வு: y(I.F)=\(\int { Q(I.F)dx } +c\)
yetanx=\(\int { \tan x \sec^{ 2 } } xe^{ \tan x }dx+c\)
tanx-=t என்க.
sec²xdx=dt
∴ ye^tanx=\(\int { te^{ t } } dt+c\)
=\(\\ \int { td } (e^{ t })+c\)
=te^t-e^t+c
=tanxe^tanx-e^tanx+c
ye^tanx=e^tanx(tanx-1)+c

சமநிலையில் P_d = P_s 
\(20-5 x  =4 x+8 \)
\(12  =9 x \Rightarrow x=\frac{4}{3} \)
\(\mathrm{p} =20-\frac{20}{3}=\frac{40}{3}\)
நுகர்வோர் உபரி 
\(\mathrm{CS}=\int_0^{x_2} f(x) \mathrm{d} x-p_0 x_0\)
\(=\int_0^{4/3}(20-5 x) \mathrm{d} x-\frac{160}{9} \)
\( =\left[20 x-\frac{5 x^2}{2}\right]_0^{4 / 3}-\frac{160}{9}\)
\( =\frac{80}{3}-\frac{40}{9}-\frac{160}{9} \)
\( =\frac{80}{3}-\frac{200}{9} \)
\( =\frac{40}{9}\)அலகுகள் 
உற்பத்தியாளர் உபரி PS \(=p_0 x_0-\int_0^{x_0} g(x) \mathrm{d} x\)
\( =\frac{160}{9}-\int_0^{4 / 3}(4 x+8) \mathrm{d} x \)
\( =\frac{160}{9}-\left[\frac{4 x^2}{2}+8 x\right]_0^{4 / 3} \)
\( =\frac{160}{9}-\frac{32}{9}-\frac{32}{3} \)
\(=\frac{128}{9}-\frac{32}{3}\)
P.S=\(\frac{32}{9}\) அலகுகள்

\(\int _{ 1 }^{ 4 }{ f(x) } dx=\int _{ 1 }^{ 3 }{ f(x) } dx+\int _{ 3 }^{ 4 }{ f(x) } dx\)
=\(\int _{ 1 }^{ 3 }{ (7x+3) } dx+\int _{ 3 }^{ 4 }{ 8x } dx\)
=\(\left[ \frac { 7x^{ 2 } }{ 2 } +3x \right] _{ 1 }^{ 3 }+\left[ \frac { 8x^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ 3 }^{ 4 }\)
=\(\frac { 63 }{ 2 } +9-\frac { 13 }{ 2 } \)+64-36
=62

\(\int { \left[ \frac { 1 }{ \log x } -\frac { 1 }{ (\log x)^{ 2 } } \right] } dx\)=\(\int { \left[ \frac { 1 }{ z } -\frac { 1 }{ { z }^{ 2 } } \right] { e }^{ z } } \)
=\(\int { e^{ z } } \)[f(z)+f'(z)]dz
= e^zf(z)+c
= e^z\(\left[ \frac { 1 }{ z } \right] \)+c
=\(\frac { x }{ \log x } \)+c

இங்கு Δ=\(\left| \begin{matrix} 4 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \end{matrix} \right| \)=13≠0
∴ கிரேமரின் விதிப்படி, தொகுப்பு ஒருங்கமைவு உடையது மற்றும் ஒரே ஒரு தீர்வை பெற்றிருக்கும்.
Δ_x =\(\left| \begin{matrix} 4 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \end{matrix} \right| \)=-13, Δ_y=\(\left| \begin{matrix} 1 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & -1 \end{matrix} \right| \)=39, Δ_z =\(\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 4 \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix} \right| \)=26
∴ கிரேமரின் விதிப்படி
x =\(\frac { \triangle x }{ \triangle } =\frac { -13 }{ 13 } \)=-1, y =\(\frac { \triangle y }{ \triangle } =\frac { 39 }{ 13 } \)=3, z =\(\frac { \triangle z }{ \triangle } =\frac { 26 }{ 13 }\)=2
∴ தீர்வு {x,y,z} = {-1,3,2}

\( \mu=240, \sigma=40 \)
\( Z=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{180-240}{40}=-1.5\)

\(P(X < 180) =P(Z<-1.5)=0.5-P(0<Z<1.5) \)
=0.5-0.4332=0.0668 \simeq 0.067

\(\mathrm{E}[\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})] =E(X-\bar{X})=\sum(x-\bar{x}) p_i\)
\(=\Sigma x_i p_i-\bar{x} \sum p_i \)
\(=\bar{x}-\bar{x}=0 \quad\left(\because \sum p_i=1\right) \)

சிறப்புத் தொகை \(\text { P.I } =\frac{1}{3 D^2+D-14}\left(13 \mathrm{e}^{2 x}\right) \)
D=2 எனில், \(3 \mathrm{D}^2+\mathrm{D}-14=0\)
\( =x\left(\frac{1}{6 D+1}\right) 13 e^{2 x} \)
\( =\frac{13 x e^{2 x}}{13}=x \mathrm{e}^{2 x}\)

\(\frac{d x}{d y} =-\mathrm{p} x \Rightarrow \int \frac{d x}{x}=-\mathrm{p} \int d y \)
\(\log x =-\mathrm{py}+\log \mathrm{c} \)
\(\log \frac{x}{c} =-\mathrm{py} \Rightarrow x=\mathrm{ce}^{-\mathrm{p}} \)

பரப்பு \(=\int_0^1 e^x d x=\left[e^x\right]_0^1=e^1-e^0=\mathrm{c}-1\)

 \(\Gamma \)8 = 7! = 5040

\(\int _{ 0 }^{ 4 }{ \left( \sqrt { x } +\frac { 1 }{ \sqrt { x } } \right) } \)dx \(=\int _{ 0 }^{ 4 }{ \left( { x ^ {1/2}} +{ x^{ -1/2} } \right) } dx \)
\(= \left [ \frac {x^{3/2}}{3/2} + \frac{x^{1/2}}{1/2} \right]^4_0\)
\(=2 \left [ \frac {4^{3/2}}{3} + 4^{1/2}\right]\)
\(=2 \left [ \frac {8}{3} + 2\right] = \frac{28}{3}\)

A = \(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \end{matrix} \right) \)
~ \(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 8 \end{matrix} \right)R_2 \rightarrow R_2 - R_1\\ \quad \quad \quad \quad \quad R_3\rightarrow R_3 -R_1 \)
 

~ \(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} \right)R_3 \rightarrow R_3 - 3R_2\)
ρ(A)= 3