A ன் வரிசை 1 x 3
A^T - ன் வரிசை 3 x 1
A A^T - ன் வரிசை 1 x 1
∴ A A^T - ன் தரம் = 1

சமநிலையில் 
 = (A B)
0.4A + 0.2B = A
0.4A + 0.2(1 - A) = A
0.4A + 0.2-0.2A = A
0.2 = A –0.2A
0.2 = 0.8A
A = 2/8 = 1/4

A =\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) (1\ \ 2 \ \ 3)\)
\(=\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{matrix} \right) \)
~ \(\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix} \right)R_2 \rightarrow R_2 /2\\ \quad \quad \quad \quad \quad R_3\rightarrow R_3 /3\)
~ \(\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right)R_2 \rightarrow R_2 - R_1\\ \quad \quad \quad \quad \quad R_3\rightarrow R_3 -R_1 \)
ρ(A)= 1

0.6 + x = 1 ⇒ x = 1 - 0.6 = 0.4

4x + 6y=5
÷2 ⇒ 2x + 3y = 5/2
6x + 9y =7
÷3 ⇒ 2x + 3y =7/3
சமன்பாட்டுத் தொகுப்பிலுள்ள கொடுக்கல் இணையானவை,எனவே தீர்வு இல்லை.

\([ A,\ B ]=\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 3 & 2 \\ 5 & 5 & 9& 4 \end{matrix} \right) \)
~ \(\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & -3 & -3 & 0 \\ 0 & -5 & -6 & -1 \end{matrix} \right)R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1\\ \quad \quad \quad \quad \quad R_3\rightarrow R_3 -5R_1 \)
~ \(\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 1\\ 0 & -3 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & -3 \end{matrix} \right)R_3 \rightarrow 3R_3 - 5R_2\)
ρ(A, B ) = ρ(A) = 3
சமன்பாட்டுத் தொகுப்பிற்கு ஒரே ஒரு தீர்வு உண்டு

|adjA|= |A|^n-1
243 = 3^{n - 1}
3⁵ = 3^n-1
n - 1 = 5 ⇒ n = 6

t = log x என்க.\(\Rightarrow dt = \frac { 1 }{ x } dx\)
\(\int \frac { \log x }{ x } dx =\int tdt = { \frac { { t }^{ 2 } }{ 2 } } +c = \frac {1}{2}(\log x ) ^ 2+c \)

t = e^x என்க.
⇒ dt = e^x dx
\(\int { \frac { { e }^{ x } }{ \sqrt { 1+{ e }^{ x } } } dx }=\int \frac {dt }{\sqrt {1+ t}} = \int (1+ t )^{-1/2}dt \)
\(= \frac {(1+ t )^{-1/2}}{1/2} =2\sqrt { 1+{ e }^{ x } } +c\)

t = e^x என்க. ⇒ dt = e^x dx ⇒ \(dx = \frac {dt}{e^x} = \frac {dt}{t }\)
\(\int \sqrt {e^ x }dx = \int \sqrt {t } \frac {dt}{t} = \int \frac {dt}{ \sqrt t} \)
\(= \int t^ {\frac {-1}{2}}dt = 2\sqrt {t} \)
= 2\(\sqrt { { e }^{ x } } +c\)

\(∵ \int \frac {f '(x)}{f (x )} dx = \log |f (x )|+c \)
இங்கு f (x ) = e^x + 1 ; f'(x ) = e^x 
∴ \(\int { \frac { { e }^{ x } }{ { e }^{ x }+1 } } \)dx = log|e^x+1|+c

\(\int _{ 0 }^{ 1 }{ (2x+1) } dx ={ { \left[ \frac { { 2x }^{ 2 } }{2 }+ x \right] }^{ 1 }_{ 0 } }\) 
=1+1=2

\(\int _{ 0 }^{ - }{ { e }^{ -ex } } dx= \left [\frac {e ^ {-2x }}{-2}\right ]^ \infty _ {0}\)
\(=-\frac {1}{2} [e ^ {-\infty} - e ^0] =\frac {-1}{2} [0-1] =\frac {1}{2} \)

t = x⁴ என்க.⇒ dt = 4x³ dx ⇒ dt/4 = x³ dx 
இங்கு x = 1 எனில் t = 1
x = -1 எனில் t = 1
\(\int _{ 0 }^{ 1 }{ { x }^{ 3 }{ e }^{ { x }^{ 4 } } } dx =\frac {1}{4}\int _{ 1 }^{ 1 }e ^{t} dt = 0\)

\(\int _{ -\frac { \pi }{ 2 } }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \cos x } dx=2\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \cos x } dx\)
( cos x ஒரு இரட்டைச் சார்பு)
\(= [\sin x]^{\pi/2}_ 0 = 2[1-0]= 2\)

\(\int _{ 2 }^{ 3 }{ f(5-x) } dx-\int _{ 2 }^{ 3 }{ f(x) } dx\)
\(\int _{ 2 }^{ 3 }{ f(5-x) } dx-\int _{ 2 }^{ 3 }{ f(2+3-x) } dx\)
\(​​\left[∵ \int _{ 0 }^{ a }{ f(x) } dx=\int _{ 0 }^{ a }{ f(a+b-x)dx } \right] \)

\(\int _{ 0 }^{ 4 }{ \left( \sqrt { x } +\frac { 1 }{ \sqrt { x } } \right) } \)dx \(=\int _{ 0 }^{ 4 }{ \left( { x ^ {1/2}} +{ x^{ -1/2} } \right) } dx \)
\(= \left [ \frac {x^{3/2}}{3/2} + \frac{x^{1/2}}{1/2} \right]^4_0\)
\(=2 \left [ \frac {4^{3/2}}{3} + 4^{1/2}\right]\)
\(=2 \left [ \frac {8}{3} + 2\right] = \frac{28}{3}\)

\(\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 3 } }{ \tan x } dx = [ \log \sec x ]^ \frac { \pi }{ 3 }_ 0\)
= log sec π/3 - log sec 0
= log2 - log1 = log 2

 \(\Gamma \)8 = 7! = 5040

\(\Gamma \)(1) = 0! = 1

\(\Gamma \left( \frac { 3 }{ 2 } \right) = \frac {1}{2} \Gamma(\frac {1}{2})= \frac {1}{2}\sqrt \pi = \frac {\sqrt \pi }{2}\)

\(\left[ \because \int _{ 0 }^{ \infty }{ { x }^{ n }{ e }^{ -ax }dx=\frac { n! }{ { a }^{ n+1 } } } \right] \)
இங்கு n = 4,a = 1
\(\int _{ 0 }^{ \infty }{ x^{ 4 }{ e }^{ -x } } dx =\frac { 4! }{ { 1 }^{ 3 } }= 4! \)

பரப்பு \(=\int_0^4\left(4 x-x^2\right) d x=\left[\frac{4 x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^4 \)
\(=32-\frac{64}{3}=\frac{32}{3} \)ச.அலகுகள்

பரப்பு \( =\int_0^{\infty} e^{-2 x} d x=\left[\frac{e^{-2 x}}{-2}\right]_0^x \)
\( =\frac{-1}{2}\left[e^{-\infty}-e^0\right]=\frac{1}{2} \)  ச.அலகு

\(\mathrm{D}(x) =\mathrm{S}(x) \)
\(16-x^2 =2 x^2+4 \)
\(12 =3 x^2 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=2 \)

இலாபச் சார்பு \(\mathrm{P} =\int(M R-M C) d \)
\(=\int(54-9 x) d x \)
\( =\left[54 x-\frac{9 x^2}{2}\right]+k \)

\(\mathrm{D}(x) =\mathrm{S}(x) \)
\(20-5 x =4 x+8 \)
\(12 =9 x \Rightarrow x=\frac{4}{3} \)
\(\mathrm{D} =20-\frac{20}{3}=\frac{40}{3} \)

\(\mathrm{R} =\int\left(35+7 x-3 x^2\right) d x \)
\( =35 x+\frac{7 x^2}{2}-\frac{3 x^3}{3}+k \)
x = 0 மற்றும் R = 0 எனில் k = 0
\(\mathrm{R}=35 x+\frac{7 x^2}{2}-x^3\)
சராசரி வருவாய்ச் சார்பு
\(\mathrm{AR}=\frac{R}{x}=35+\frac{7 x}{2}-x^2\)

\(\mathrm{CS}=\int^{x_2}_ 0 f(x) d x-x_0 p_0=\int^5_ 0\left(28-x^2\right) d x-15\)
\( =\left[28 x-\frac{x^3}{3}\right]_{10}^5-15 \)
\( =140-\frac{125}{3}-15=\frac{250}{3} \) அலகுகள்

பரப்பு \( =\int_c^d x d y=\int_1^2 y d y \)
\(=\left[\frac{y^2}{2}\right]_1^2=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} \) ச.அலகுகள்

உற்பத்தியாளர் உபரி
\(PS =\mathrm{p}_0 x_0-\int_0^{x_0} g(x) d x \)
\( =18-\int_0^3(3+x) d x=18-\left[3 x+\frac{x^2}{2}\right]_0^3 \)
\( =18-\left[9+\frac{9}{2}\right]=9-\frac{9}{2}=\frac{9}{2}\)அலகுகள் 

\(\mathrm{D}(x) =\mathrm{S}(x) \)
\(25-2 x =\frac{10+x}{4} \)
\(100-8 x =10+x\)
\(9 x =90 \Rightarrow x=10 \)
\(\mathrm{p} =25-20=5 \)

கொடுக்கப்பட்டது : \(\int { \frac { dp }{ p } } =k\int { \frac { dx }{ x } } \) ...(1) 
நமக்கு தெரிந்தது, \(-\int { \frac { dp }{ p } } =\frac { 1 }{ { \eta }_{ d } } \int { \frac { dx }{ x } } \) ...(2)
(1) மற்றும் (2) ஐ ஒப்பிட k = \(\frac { -1 }{ { \eta }_{ d } } \)

பரப்பு \(=\int_0^1 e^x d x=\left[e^x\right]_0^1=e^1-e^0=\mathrm{c}-1\)

\(y^2=4 x\)
இங்கு \(4 \mathrm{a}=4 \Rightarrow \mathrm{a}=1\)
பரப்பு \(=\frac{8 a^2}{3}=\frac{8}{3}\) ச.அலகுகள்