A =\(\left( \begin{matrix} 5 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & -4 \\ -2 & -4 & 8 \end{matrix} \right) \)என்க.
A-ன் வரிசை 3 x 3 ∴ ρ(A) ≤3
வரிசை மூன்று உடைய சிற்றணிக்கோவையை கருத, நாம் பெறுவது \(\left| \begin{matrix} 5 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & -4 \\ -2 & -4 & 8 \end{matrix} \right| \)=0
∴ மூன்றாம் வரிசைக் கொண்ட சிற்றணிக்கோவை பூச்சியமாவதால், ρ(A)≠ 3 ஆகும்.
இரண்டாம் வரிசை கொண்ட ஒரு சிற்றணிக்கோவையை கருத, நாம் பெறுவது \(\left| \begin{matrix} 5 & 3 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right| \)=7≠ 0 ஆகும்.
⇒ பூச்சியமற்ற சிற்றணிக்கோவையின் வரிசை 2 ஆகும்.  ∴ ρ(A) =3

இறுதிநிலை வருவாய்ச் சார்பு
\(R^{\prime}(\mathrm{x})=1500-4 x-3 x^2\)
வருவாய்ச் சார்பு: \(\mathrm{R}=\int\left(1500-4 \mathrm{x}-3 \mathrm{x}^2\right) d x\)
\(=1500 x-\frac{4 x^2}{2}-\frac{3 x^3}{3}+k\)
x  =0, R=0 எனில்,  k =0
வருவாய்ச் சார்பு: \(\mathrm{R}=1500 x-2 x^2-x^3\)
சராசரி  வருவாய்ச் சார்பு:
\(\mathrm{AR}=\frac{R}{x}=1500-2 x-x^2\)

\(\frac { dy }{ dx } \)+2y=x³
வரிசை = 1; படி = 1

x₀=3, x₁ = 7, x₂ = 11, x₃ = 19, x = 15
y₀ = 42, y₁ = 43, y₂ = 47, y₃ = 60
\(y= \frac{\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)}{\left(x_0-x_1\right)\left(x_0-x_2\right)\left(x_0-x_3\right)} y_0 +\frac{\left(x-x_0\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)}{\left(x_1-x_0\right)\left(x_1-x_2\right)\left(x_1-x_3\right)} y_1 +\frac{\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right)\left(x-x_3\right)}{\left(x_2-x_0\right)\left(x_2-x_1\right)\left(x_2-x_3\right)} y_2 +\frac{\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)}{\left(x_3-x_0\right)\left(x_3-x_1\right)\left(x_3-x_2\right)} y_3 \)
\(= \frac{(8)(4)(-4)}{(-4)(-8)(-16)}(42)+\frac{(12)(4)(-4)}{(4)(-4)(-12)}(43) +\frac{(12)(8)(-4)}{(8)(4)(-8)}(47)+\frac{(12)(8)(4)}{(16)(12)(8)}(60)\)
\(= \frac{42}{4}-43+\frac{47(3)}{2}+15 = 10.5-43+70.5+15=53 \)

\(\Gamma \left( \frac { 7 }{ 2 } \right) \)=\(\frac { 5 }{ 2 } \Gamma \left( \frac { 5 }{ 2 } \right) \)
=\(\frac { 5 }{ 2 } \frac { 3 }{ 2 } \Gamma \left( \frac { 3 }{ 2 } \right) \)
=\(\frac { 5 }{ 2 } \frac { 3 }{ 2 } \frac { 1 }{ 2 } \Gamma \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \)
=\(\frac { 5 }{ 2 } \frac { 3 }{ 2 } \frac { 1 }{ 2 } \sqrt { \pi } =\frac { 15 }{ 8 } \sqrt { \pi } \)
 

ஒரு புள்ளியியல் அளவையின் கூறெடுப்பு பரவலின் திட்டவிலக்கமே திட்டப்பிழை எனப்படும்.

சாரசரி  =n p=4 
பரவற்படி  =npq=3
\(4 q  =3 \Rightarrow q=\frac{3}{4} \)
\(p  =1-{q}=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4} \)
\(n p  =4 \Rightarrow n\left(\frac{1}{4}\right)=4 \Rightarrow n=16\)
ஈருறுப்புப் பரவல்
\(\mathrm{P}(\mathrm{X}=x) =\mathrm{nC}_x \mathrm{p}^x \mathrm{q}^{\mathrm{n}-x} \)
\(=16 \mathrm{C}_x\left(\frac{1}{4}\right)^x\left(\frac{3}{4}\right)^{16-x}\)
\(P(X=15) =16 C_{15}\left(\frac{1}{4}\right)^{15}\left(\frac{3}{4}\right) \)
\(=16 C_1 \frac{3}{4^2 \times 4^{14}} \)
\(=16\left(\frac{3}{16 \times 4^{14}}\right)=\frac{3}{4^{14}} \)

\(\mathrm{E}(\mathrm{X}) =\int_{-\infty}^{\infty} x f(x) d x=\int_0^1 2 x^2 d x \)
\( =2\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac{2}{3}(1-0)=\frac{2}{3} \)

கொடுக்கப்பட்ட போக்குவரத்து அட்டவணை 

மொத்த தேவைகள் = மொத்த இருப்புகள் = 21
எனவே கொடுக்கப்பட்ட கணக்கானது சமநிலை போக்குவரத்து கணக்காகும்.
முதல் ஒதுக்கீடு :

இரண்டாம் ஒதுக்கீடு :

மூன்றாம் ஒதுக்கீடு:

நான்காம் ஒதுக்கீடு:

ஐந்தாம் ஒதுக்கீடு :

இறுதி ஒதுக்கீடு :

போக்குவரத்து விவரம்
P → A, P → Q,Q → B, Q → C, Q → D, R → D, R → E
மொத்த போக்குவரத்து செலவு 
\( =(3 \times 2)+(1 \times 11)+(2 \times 4)+(4 \times 7)+ (2 \times 2)+(3 \times 8)+(6 \times 12) \)
= 6 + 11 + 8 + 28 + 4 + 24 + 72 = ரூ. 153 

ஐந்து ஆண்டு காலத்தைக் கொண்டே நகரும் சராசரி

அணி சமன்பாடு
\(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 7 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 6 \\ 14 \\ 30 \end{matrix} \right) \)
A X = B

 கடைசி சமான அணி ஏறுபடி வடிவில் உள்ளது. இதில் இரண்டு பூச்சியமற்ற நிரைகள் உள்ளன.
∴ ρ(A)=ρ([A,B])=2
இங்கு, ρ(A)=ρ([A,B])=2 < மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை
எனவே, கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பு ஒருங்கமைவு உடையது. மேலும் எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகள் உண்டு.
கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பிற்கு சமானமான அணி சமன்பாடு
\(\\ \left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 6 \\ 8 \\ 0 \end{matrix} \right) \)
x+y+z = 6   .....(1)
y+2z=8      .....(2)
(2) ⇒ y=8-2z
(1) ⇒ x=6-y-z=6-(8-2z)-z=z-2
z=k, k\(\in \)R எனக் கொண்டால் வெவ்வேறு தீர்வுகளை நாம் பெறலாம். எனவே கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பு எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகளைப் பெற்றிருக்கும்.

\(\therefore \int _{ 0 }^{ \infty }{ f\left( x \right) dx } =0\int _{ 0 }^{ \infty }{ { x }^{ 2 } } { e }^{ -2x }dx\)
இங்கு  n = 2 and a = 2
\(\left[ \because \int _{ 0 }^{ \infty }{ { x }^{ n }{ e }^{ -ax }dx=\frac { n! }{ { a }^{ n+1 } } } \right] \)
\(\therefore \int _{ 0 }^{ \infty }{ f\left( x \right) dx } =\frac { 2! }{ { 2 }^{ 2+1 } } =\frac { 2! }{ { 2 }^{ 3 } } \)

\(\therefore \int _{ 0 }^{ \infty }{ f\left( x \right) } dx=\frac { 1 }{ 4 } \)

\(I=\int _{ -1 }^{ 1 }{ { x }^{ 2 } } e^{ -2x }dx\)
u = x²    dv = e-^2x
u¹ = 2x    \(v=\cfrac { { e }^{ -2x } }{ -2 } =\cfrac { -e^{ -2x } }{ 2 } \)
u⁴ = 2  \({ v }_{ 1 }=+\cfrac { { e }^{ -2x } }{ 4 } \)
\({ v }_{ 2 }=-\cfrac { { e }^{ -2x } }{ 8 } \)
I = uv = u¹v₁ + u⁴v₂
= \(\left[ \left( \cfrac { { x }^{ 2 }e^{ -2x } }{ -2 } \right) -2x\left( \cfrac { { e }^{ -2x } }{ 4 } \right) +2\left( \cfrac { e^{ -2x } }{ -8 } \right) \right] _{ -1 }^{ 1 }\)
\(=- \left[ \cfrac { e^ {-2} }{ 2 } -\cfrac { e^ {-2} }{ 2 } -\cfrac { e^ {-2} }{ 4 } \right] - \left[ \cfrac { e^ {2} }{ 2 } -\cfrac { e^ {+2} }{ 2 } -\cfrac { e^ {2} }{ 4 } \right]\)
\(\left( { e }^{ -2x }\left[ \cfrac { -{ x }^{ 2 } }{ 2 } -\cfrac { x }{ 2 } -\cfrac { 1 }{ 4 } \right] \right) \)
= \({ e }^{ -2 }\left( -\cfrac { 5 }{ 4 } \right) -{ e }^{ 2 }\left( -\cfrac { 1 }{ 4 } \right) \)
= \(\cfrac { -5 }{ 4 } { e }^{ -2 }+\cfrac { 1 }{ 4 } { e }^{ 2 }\)
= \(\cfrac { 1 }{ 4 } \left( { e }^{ 2 }-\cfrac { 5 }{ { e }^{ 2 } } \right) =\cfrac { 1 }{ 4 } \left( \cfrac { { e }^{ 4 }-5 }{ { e }^{ 2 } } \right) \)

வட்டத்தின் சமன்பாடு, x²+y²=a²    .....(1)
y=0 என (1) -ல் பிரதியிட x²=a²
⇒ x=±a
கொடுக்கப்பட்ட வளைவரை ஆனது இரு அச்சுகளைப் பொறுத்து சமச்சீர் ஆகும். எனவே தேவைப்படும் பரப்பு = 4 [முதல் கால்பகுதியில் x = 0, x = a எனும் எல்லைக்குள் வரையறுக்கப்படும் அரங்கத்தின் பரப்பு]
=\(4\int _{ 0 }^{ a }{ y } dx\\ \)
=\(4\int _{ 0 }^{ a }{ \sqrt { a^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } } dx=4\left[ \frac { x }{ 2 } \sqrt { a^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } +\frac { { a }^{ 2 } }{ 2 } \sin^{ -1 }\frac { x }{ a } \right] _{ 0 }^{ a }\)
=\(\left[ 0+\frac { { a }^{ 2 } }{ 2 } \sin^{ -1 }\left( \frac { a }{ a } \right) \right] =4\left( \frac { { a }^{ 2 } }{ 2 } \sin^{ -1 }(1) \right) =4\frac { { a }^{ 2 } }{ 2 } \frac { \pi }{ 2 } \)
= πa²

\(\frac{d y}{d x} =\frac{x-a}{y-b} \) [ சாய்வு = dy/dx]
\(\int(y-b) d y =\int(x-a) d x \)
\(\frac{y^2}{2}-b y =\frac{x^2}{2}-a x+c \)
இது ஆதி வழிச் செல்வதால், c = 0
\(\frac{y^2}{2}-b y=\frac{x^2}{2}-a x \)
\(y^2-2 b y=x^2-2 a x \)
\(x^2-2 a x-\left(y^2-2 b y\right)=0 \)
\(x^2-2 a x+a^2-a^2-\left(y^2-2 b y+b^2-b^2\right)=0 \)
\((x-a)^2-(y-b)^2+b^2-a^2=0\)
\(\therefore(x-a)^2+b^2-a^2=(y-b)^2 \)
(y-b)²=(x-a)²+b²-a²

f(x) -ல் ஐந்து மதிப்புகள் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால், f(x) ஒரு நான்காம்படி பல்லுறுப்புக்கோவை என எடுத்துக் கொள்வோம். 
\( \Delta^5 \mathrm{y}_0=0 \Rightarrow(\mathrm{E}-1)^5 \mathrm{y}_0=0 \)
\(\left(\mathrm{E}^5-5 \mathrm{E}^4+10 \mathrm{E}^3-10 \mathrm{E}^2+5 \mathrm{E}-1\right) \mathrm{y}_0= 0 \)
\( \mathrm{E}^5 \mathrm{y}_0-5 \mathrm{E}^4 \mathrm{y}_0+10 \mathrm{E}^3 \mathrm{y}_0-10 \mathrm{E}^2 \mathrm{y}_0+5 \mathrm{Ey}_0-\mathrm{y}_0=0 \)
\( \mathrm{y}_5-5 \mathrm{y}_4+10 \mathrm{y}_3-10 \mathrm{y}_2+5 \mathrm{y}_1-\mathrm{y}_0=0 \)
\( 501-5(467)+10 \mathrm{y}_3-10(421)+5(391)-363=0 \)
\( 501-2335+10 \mathrm{y}_3-4210+1955-363=0 \)
\( 10 \mathrm{y}_3=4452 \Rightarrow y_3=445.2 \)
= 445.2 இலட்சங்கள்

ஈருறுப்புப் பரவலின் பண்பளவைகள் n மற்றும் p ஆகும்.
ஈருறுப்புப் பரவலின் சராசரியின் மதிப்பு np = 20
திட்டவிலக்கம் = \(\sqrt { npq } \)=4
∴ npq = 16
⇒ \(\frac { npq }{ np } =\frac { 16 }{ 20 } =\frac { 4 }{ 5 } \)
q=\(\frac { 4 }{ 5 } \)
⇒ p=1-q = 1-\(\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) =\frac { 1 }{ 5 } \)
np=20
n=\(\frac { 20 }{ p } \)
n=100

இது நிகழ்தகவு நிறை சார்பு என்பதால் 
\(\sum_{i=1}^{\infty} p\left(x_i\right) =1 \)
\(p(2)+p(4)+p(6)+p(8) =1 \)
\(2 k+4 k+6 k+k(8-2) =1 \)
\(2 k+4 k+6 k+6 k =1 \)
\(18 k =1 \)
\(k =\frac{1}{18}\) எனவே நிறுவப்பட்டது.

\(E\left( X \right) =\int _{ -\infty }^{ \infty }{ xf(x)dx } \) என்பது நமக்குத் தெரியும் 
= \(\int _{ 0 }^{ \infty }{ x3{ e }^{ -3x }dx } \)
= \(3\int _{ 0 }^{ \infty }{ x{ e }^{ -3x }dx } \)
= \(3\left\{ \left[ x\cfrac { e^{ -3x } }{ -3 } \right] -\int _{ 0 }^{ \infty }{ \left( \cfrac { { e }^{ -3x } }{ -3 } \right) dx } \right\} \left( \therefore udv=uv-\int { vdu } \right) \)
= \(\int _{ 0 }^{ \infty }{ { e }^{ -3x }dx } \)
= \(\cfrac { 1 }{ 3 } \)
எனவே, உபகரணபகுதியின் எதிர்பார்க்கத்தக்க செயல் வாழ்வு \(\cfrac { 1 }{ 3 } \) மணி நேரம் (ஆயிரத்தில் ஆகும்).

வாழ்க்கை குறியீட்டு எண் \(=\frac{\sum P V}{\sum V}=\frac{3284.77}{28}=117.31\)

x ,y ,z  என்பன X ,Y ,மற்றும் Z ஆகிய பொருட்களின் ஓர் அலகிற்கான விலையைக் குறிக்கட்டும் .
2x +3y-6z = 5000
3x-y+2z=2000
-x+3y+z =5500
கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பிற்கான அணிச் சமன்பாடு 
\(\left( \begin{matrix}2 & 3 & -6\\ 3&-1&2\\ -1& 3& 1\end{matrix} \right) \)\(\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)=\(\left( \begin{matrix} 5000\\2000\\ 5500\end{matrix} \right) \)
               AX = B
விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி 
(A,B)  = \(\left( \begin{matrix}2 & 3 & -6 &5000\\ 3&-1&2&2000\\ -1& 3& 1&5500\end{matrix} \right) \)
~ \(\left( \begin{matrix}2 & 3 & -6 &5000\\ 0&-11&22&-11,000\\ 0& 9& -4&16000\end{matrix} \right) \)R₂ ⟶ 2R₂ - 3R₁
                                                 R₃ ⟶ 2R₃ +R_1
~\(\left( \begin{matrix}2 & 3 & -6 &5000\\ 0&-1&2&-1,000\\ 0& 9& -4&16000\end{matrix} \right) \) \({ R }_{ 2 }\rightarrow \frac { { R }_{ 2 } }{ 11 } \)
~\(\left( \begin{matrix}2 & 3 & -6 &5000\\ 0&-1&2&-1,000\\ 0& 0& 14&7000\end{matrix} \right) \) R₃ ⟶R₃ +9R₂
ρ(A,B ) = ρ(A) = 3 = மாறிகளின் எண்ணிக்கை 
கடைசி சமான அணியின்  அணிச் சமன்பாடானது 
\(\left( \begin{matrix}2 & 3 & -6\\ 0&-1&2\\ 0&0& 14\end{matrix} \right) \)\(\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)=\(\left( \begin{matrix} 5000\\-1000\\ 7000\end{matrix} \right) \)
2x+3y-6z = 5000   ....(1)
 -y +2z = -1000 .....(2)
14z = 7000 .....(3)
(3)\(\Rightarrow \) z =\(\frac { 7000 }{ 14 } \) = 500
-y + 1000 = -1000
-y = -2000
y = 2000
2x+3y-6z = 5000
2x + 6000-3000 = 5000
2x = 5000-3000
2x = 2000
x= 1000
தீர்வு :
X -ன் ஓர் அலகிற்கான  விலை ரூ .1000/-
Y -ன் ஓர் அலகிற்கான  விலை ரூ .2000/-
Z -ன் ஓர் அலகிற்கான  விலை ரூ .500/-

இங்கு Δ=\(\left| \begin{matrix} 4 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \end{matrix} \right| \)=13≠0
∴ கிரேமரின் விதிப்படி, தொகுப்பு ஒருங்கமைவு உடையது மற்றும் ஒரே ஒரு தீர்வை பெற்றிருக்கும்.
Δ_x =\(\left| \begin{matrix} 4 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \end{matrix} \right| \)=-13, Δ_y=\(\left| \begin{matrix} 1 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & -1 \end{matrix} \right| \)=39, Δ_z =\(\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 4 \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix} \right| \)=26
∴ கிரேமரின் விதிப்படி
x =\(\frac { \triangle x }{ \triangle } =\frac { -13 }{ 13 } \)=-1, y =\(\frac { \triangle y }{ \triangle } =\frac { 39 }{ 13 } \)=3, z =\(\frac { \triangle z }{ \triangle } =\frac { 26 }{ 13 }\)=2
∴ தீர்வு {x,y,z} = {-1,3,2}

\(\eta _{ d }=\frac { p+2{ p }^{ 2 } }{ 100-p-{ p }^{ 2 } } \)
\(\frac { -p }{ x } \frac { dx }{ dp } =\frac { p(2p+1) }{ 100-p-{ p }^{ 2 } } \)
\(\frac { -dx }{ x } =\frac { -(2p+1) }{ { p }^{ 2 }+p-100 } dp\)
\(\int { \frac { dx }{ x } } =\int { \frac { 2p+1 }{ { p }^{ 2 }+p-100 } } dp\)
logx (p²+p-100)+logk
∴ x=k(p²+p-100)
இங்கு x=70, p=5,
70=k(25+5-100)
⇒ k=-1
எனவே, x=100-p-p²
R=px
வருவாய் சார்பு: R=p(100-p-p²)

சமநிலையில் \(p_d=p_s\)
\(25-3 x  =5+2 x \)
\(20  =5 x \Rightarrow x=4 \)
p  =5+8=13
நுகர்வோர் உபரி
\(\text { CS }  =\int_0^{x_0} f(x) d x-p_0\)
\(=\int_0^4(25-3 x) d x- 52\)
\(=\left[25 x-\frac{3 x^2}{2}\right]_0^4\)
=100-24-52
=24 அலகுகள் 
உற்பத்தியாளர் உபரி 
\(\text { PS } =\mathrm{p}_0 x_0-\int_0^{x_0} f(x) d x \)
\(=52-\int_0^4(5+2 x) d x \)
\( =52-\left[5 x+x^2\right]_0^4 \)
= 52-[20+16] 
= 52-36=16 அலகுகள் 
C.S=24 அலகுகள், P.S=16 அலகுகள்

(D²-2D+1)y=e^2x+e^x
துணைச் சமன்பாடு:
m²-2m+1=0
⇒ (m-1)(m-1)=0
m=1,1
C.F=(Ax+B)e^x
PI=\(\frac { 1 }{ \phi (D) } f(x)=\frac { 1 }{ { D }^{ 2 }-2D+1 } \)(e^2x+e^x)
இங்கு, P.I₁=\(\frac { 1 }{ { D }^{ 2 }-2D+1 } \)e^2x
=\(\frac { 1 }{ 4-4+1 } \)e^2x (D க்கு பதிலாக 2 ஐ பிரதியிட)
=e^2x
மற்றும் P.I₂ =\(\frac { 1 }{ { D }^{ 2 }-2D+1 } \)ex
=\(\frac { 1 }{ (D-1)^{ 2 } } \)
D க்கு 1-ஐ பிரதியிட (D-1)²=0
∴ P.I₂=x.\(\frac { 1 }{ 2(D-1) } \)ex
D க்கு பதிலாக 1-ஐ பிரதியிட, 2(D–1) = 0
P.I₂=x²\(\frac{1}{2}\)ex
பொதுத் தீர்வு: y=C.F+P.I₁+P.I₂
y=(Ax+B)ex+e^2x+\(\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \)e^x

இங்கு பின்நோக்கு இடைச்செருகல் சூத்திரத்தை பயன்படுத்துவோம்.

y_(x=xn+nh)=\({ y }_{ n }+\frac { n }{ 1! } \triangle y_{ n }+\frac { n(n-1) }{ 2! } { \triangle }^{ 2 }{ y }_{ n }+\frac { n(n-1)(n-2) }{ 3! } { \triangle }^{ 0 }y_{ n }+....\)
x=7.5 ∴ x_n+nh=7.5, x_n=8, h=1 ⇒ n=-0.5
y_(x=7.5)=512\(\frac { 0.5 }{ 1! } 169+\frac { -0.5(-0.5+1) }{ 2! } 42+\frac { -0.5(-0.5+1)(-0.5+2) }{ 4! } (6)\)
=421.88

(i) நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பின் நிபந்தனையிலிருந்து
\(\sum _{ i=1 }^{ \infty }{ p({ x }_{ i })=1 } \)
ஃ \(\sum _{ i=1 }^{ \infty }{ p({ x }_{ i })=1 } \)
0+a+2a+2a+3a+a²+2a²+7a²+a = 1
10a²+9a–1 = 0
(10a–1)(a+1) = 0
\(a=\cfrac { 1 }{ 10 } \) அல்லது -1
ஆனால் p(x) ஆனது குறை மதிப்பைக் கொண்டிருக்க முடியாது என்பதால், a = – 1 ஆனது பொருந்தாது எனவே ,\(a=\cfrac { 1 }{ 10 } \) ஆகும்.
(ii) P(X<3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
=0+a+2a = 3a 
= \(\cfrac { 3 }{ 10 } \left( \therefore a=\cfrac { 1 }{ 10 } \right) \)
(iii) P(X>2)=1−P(X≤2)
= 1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)]
= \(1-\cfrac { 3 }{ 10 } \)
= \(\cfrac { 7 }{ 10 } \)
(iv) P(2  < X ≤ 5) = P (X = 3) +  P( X = 4 )+ P (X = 5)
= 2a+3a+a²
= 5a+a²
= \(\cfrac { 5 }{ 10 } +\cfrac { 1 }{ 100 } = \cfrac { 51 }{ 100 }\)

X என்ற சமவாய்ப்பு மாறியானது குறைபாடுகள் உள்ள திருகுமுறைகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது.
p = குறைபாடுகள் உள்ள திருகுமுறைகள் தேர்ந்தெடுக்கப்படும் நிகழ்தகவு = 18/100 = 0.18
\( \mathrm{q}=1-\mathrm{p}=1-0.18=0.82, \mathrm{n}=4\)
\( \mathrm{P}(\mathrm{X}=x)=\mathrm{nC}_x \mathrm{p}^x \mathrm{q}^{\mathrm{n}-x}\)
(i) \(\mathrm{P}(\mathrm{X}=1)=4 \mathrm{C}_1(0.18)^1(0.82)^3=0.3969\)
(ii) \(P(X=0)=4 C_0(0.18)^0(0.82)^4=0.45212\)
(iii) \(P(X \leq 2)  =\mathrm{P}(\mathrm{X}=0)+\mathrm{P}(\mathrm{X}=1)+\mathrm{P}(\mathrm{X}=2) \)
\(=0.3969+0.45212+ 4 \mathrm{C}_2(0.18)^2(0.82)^2\)
=0.84902+0.1307=0.9797
 

எளிய சராசரியின் மூலம் பருவகாலக் குறியீட்டை கணக்கிடுதல்.

மொத்த சராசரி = \(\frac { 1304.333 }{ 4 } =326.0833\)
முதல் காலண்டிற்கான பருவகால குறியீடு (S.I) = \(\frac { 243.83333 }{ 326.0833 } \times 100\) = 74.77;
இரண்டாம் காலண்டிற்கான பருவகால குறியீடு (S.I) = \(\frac { 312 }{ 326.0833 } \times 100=95.68\);
மூன்றாம் காலண்டிற்கான பருவகால குறியீடு (S.I) = \(\frac { 361.6667 }{ 326.0833 } \times 100=110.91\);
நான்காம் காலண்டிற்கான பருவகால குறியீடு (S.I) = \(\frac { 386.833 }{ 326.0833 } \times 100=118.63\)

இங்கு நிரல்களின் எண்ணிக்கையும் நிரைகளின் எண்ணிக்கையும் சமமாக உள்ளன. எனவே , கொடுக்கப்பட்ட கணக்கானது சமச்சீரான ஒதுக்கீடு கணக்காகும். தற்போது அதன் தீர்வைக் காணலாம்.
படி 1:
ஒவ்வொரு நிரையில் உள்ள மீச்சிறு மதிப்பை அந்த நிரையில் உள்ள அனைத்து மதிப்புகளிலிருந்தும் கழிக்க வேண்டும்.

ஒவ்வொரு நிரை மற்றும் நிரலிலும் குறைந்தபட்சம் ஒரு பூஜ்ஜியமாவது உள்ளதா என்பதை சோதிக்க. அவ்வாறு இல்லையெனில் படி 2 -க்கு செல்லவும்.
படி 2:
படி (1)-ல் கிடைத்த அணியில், ஒவ்வொரு நிரலில் உள்ள மீச்சிறு மதிப்பை அந்த நிரலில் உள்ள அனைத்து மதிப்புகளிலிருந்தும் கழிக்க வேண்டும்.

ஒவ்வொரு நிரை மற்றும் நிரலிலும் குறைந்தபட்சம் ஒரு பூஜ்ஜியம் உள்ளதால் ஒதுக்கிடுகளைச் செய்யலாம்.
படி 3 (ஒதுக்கீடு): (Assignment):
ஒவ்வொரு நிரையாக ஒரே ஒரு பூஜ்யம் உள்ளதா என சோதிக்கவும். முதல் நிரை A-ல் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட பூஜ்ஜியங்கள் உள்ளன. நிரை B-ல் ஒரே ஒரு பூஜ்ஜியம் உள்ளது. அந்த பூஜ்யத்தை 口 -ஆல் குறியிடுக. 口 குறியிட்ட நிரலில் உள்ள மற்ற அனைத்து பூஜ்யங்களையும் × -ஆல் குறியிடுக.

நிரை C-ல் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட பூஜ்ஜியங்கள் உள்ளன. அந்த பூஜ்யத்தை 口-ஆல் குறியிடுக. 口 குறியிட்ட நிரலில் உள்ள மற்ற அனைத்து பூஜ்யங்களையும் × -ஆல் குறியிடுக.

நிரை D-ல் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட பூஜ்ஜியங்கள் உள்ளன. அந்த பூஜ்யத்தை 口-ஆல் குறியிடுக. குறியிட்ட நிரலில் உள்ள மற்ற அனைத்து பூஜ்யங்களையும் × -ஆல் குறியிடுக.

நிரை E-ல் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட பூஜ்ஜியங்கள் உள்ளன. எனவே அடுத்து நாம் நிரலில் ஒதுக்கீடு செய்யலாம். நிரல் 1 ஒதுக்கீடு உள்ளது. நிரல் இரண்டில் ஒரே ஒரு பூச்சியம் உள்ளதால். அந்த பூஜ்யத்தை 口-ஆல் குறியிடுக. குறியிட்ட நிரலில் உள்ள மற்ற அனைத்து பூஜ்யங்களையும் × -ஆல் குறியிடுக.

நிரல் 3 மற்றும் நிரல் 4-கில் ஒதுக்கீடு உள்ளது. எனவே 5-வது நிரலில் ஒரே ஒரு பூஜ்யம் உள்ளது. அந்த பூஜ்யத்தை 口-ஆல் குறியிடுக. குறியிட்ட நிரையில் உள்ள மற்ற அனைத்து பூஜ்யங்களையும் × -ஆல் குறியிடுக.

அனைத்து ஒதுக்கீடுகளும் செய்யப்பட்டுள்ளன.
உகந்த ஒதுக்கீடு மற்றும் மொத்த சிறும செலவு:

உகந்த ஒதுக்கீடு மொத்த செலவு(சிறும செலவு) = ரூ. 9

கூறு அளவு n = 50
கூறு சராசரி \(\bar { x } \)=9.3 நிமிடங்கள் 
கூறு திட்டவிலக்கம் s = 1.6 நிமிடங்கள்
முழுமைத் தொகுதி சராசரி μ=8.9 நிமிடங்கள்
இன்மை கருதுகோள் H₀:μ=8.9
மாற்று கருதுகோள் H1:μ≠8.9(Two tail)
மிகைகாண் நிலை = α=0.05
கூறுபண்பளவை சோதனைக்கு \(Z=\frac { x-\mu }{ \frac { \sigma }{ \sqrt { n } } } \sim N(0,1)\)
\(Z=\frac { 9.3-8.9 }{ \frac { 1.6 }{ \sqrt { 50 } } } =\frac { 0.4 }{ 0.2263 } =1.7676\)
கணக்கிடப்பட்ட மதிப்பு Z=1.7676
5% மிகைகாண் நிலையில் தீர்மானமதிப்பு \({ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\)=1.96
முடிவு: கணக்கிடப்பட்ட மதிப்பானது அட்டவணை மதிப்பை விட குறைவாக உள்ளது. அதாவது, Z <\({ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\) 5% மிகைகாண் நிலையில் இன்மை கருதகோள் ஏற்கப்படுகிறது எனவே நோயுற்றோரை ஏற்றிச் செல்லும் வண்டி சேவை சராசரி 8.9 நிமிடங்களில் அவசர அழைப்பிடத்தை சேரும் என்ற கூற்று உண்மையாகிறது.

X என்பது சமவாய்ப்பு முறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்படும் மாணவர்களின் உயரம் 
\(\mu=68, \sigma=3\)
(i)  \(\mathrm{Z}=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{72-68}{3}=\frac{4}{3}=1.33\)

\(P(X>72) =P(Z>1.33) \)
= 0.5- P (0 <  Z  < 1.33)
= 0.5 – 0.4082 = 0.0918
72 அங்குலத்திற்கும் அதிகமான உயரம் உள்ள மாணவர்களின் எண்ணிக்கை 
=500 x 0.0918=45.9-46
\(\mathrm{Z}=\frac{64-68}{3}=-\frac{4}{3}=-1.33\)

\(P(X \leq 64)=P(Z \leq-1.33)\)
\(=0.5-P(0 \leq Z \leq 1.33)\)
=0.5-0.4082=0.0918
64 அங்குலத்திற்கும் குறைவான உயரம் உள்ள மாணவர்களின் எண்ணிக்கை 
=0.0918 x 500=45.9-46
(iii) \(Z=\frac{65-68}{3}=-1 \)
\(Z=\frac{71-68}{3}=1\)

P(65 =2 P(0 65 மற்றும் 71 அங்குலத்திற்கு இடைப்பட்ட உயரம் உள்ள மாணவர்களின் எண்ணிக்கை 
\(=0.6826 \times 500=341.3-341\)

ஃபிஷர்விலை குறியீட்டுஎண்
\({ P }_{ 01 }^{ F }=\left( \sqrt { \frac { \sum { { p }_{ 1 }{ q }_{ 10 } } \times \sum { { p }_{ 1 }{ q }_{ 1 } } }{ \sum { { p }_{ 0 }{ q }_{ 0 } } \times \sum { { p }_{ 0 }{ q }_{ 1 } } } } \right) \times 100=\left( \sqrt { \frac { 1341\times 1784 }{ 1220\times 1600 } } \right) \times 100=110.706\)
 

காலமாற்றுச் சோதனை : P₀₁×P₁₀=1
\({ P }_{ 01 }\times { P }_{ 10 }=\sqrt { \left( \frac { \sum { { p }_{ 1 }{ q }_{ 0 } } \times \sum { { p }_{ 1 }{ q }_{ 1 } } \times \sum { { p }_{ 0 }{ q }_{ 1 } } \times \sum { { p }_{ 0 }{ q }_{ 0 } } }{ \sum { { p }_{ 0 }{ q }_{ 0 } } \times \sum { { p }_{ 0 }{ q }_{ 1 } } \times \sum { { p }_{ 1 }{ q }_{ 1 } } \times \sum { { p }_{ 1 }{ q }_{ 0 } } } \right) } \)
\({ P }_{ 01 }\times { P }_{ 10 }=\sqrt { \left( \frac { 1341\times 1784\times 1600\times 1220 }{ 1220\times 1600\times 1784\times 1341 } \right) } \)
P₀₁×P₁₀=1
காரணி மாற்றுச் சோதனை
\({ P }_{ 01 }\times { Q }_{ 01 }=\frac { \sum { { p }_{ 1 }{ q }_{ 1 } } }{ \sum { { p }_{ 0 }{ q }_{ 0 } } } \)
\({ P }_{ 01 }\times { P }_{ 01 }=\sqrt { \left( \frac { \sum { { p }_{ 1 }{ q }_{ 0 } } \times \sum { { p }_{ 1 }{ q }_{ 1 } } \times \sum { { p }_{ 1 }{ q }_{ 0 } } \times \sum { { p }_{ 1 }{ q }_{ 1 } } }{ \sum { { p }_{ 0 }{ q }_{ 0 } } \times \sum { { p }_{ 0 }{ q }_{ 1 } } \times \sum { { p }_{ 0 }{ q }_{ 0 } } \times \sum { { p }_{ 0 }{ q }_{ 1 } } } \right) } \)
\({ P }_{ 01 }\times { P }_{ 10 }=\sqrt { \left( \frac { 1341\times 1784\times 1600\times 1784 }{ 1220\times 1600\times 1220\times 1341 } \right) } \)
\({ P }_{ 01 }\times { P }_{ 01 }=\sqrt { \left( \frac { 1784\times 1784 }{ 1220\times 1220 } \right) } =\frac { 1744 }{ 1220 } \Rightarrow { P }_{ 01 }\times { P }_{ 01 }=\frac { \sum { { p }_{ 1 }{ q }_{ 1 } } }{ \sum { { p }_{ 0 }{ q }_{ 0 } } } \)
 

எனவே, ஃபிஷர்விலைக் குறியீட்டு எண்ணா னது காலமாற்றுச் சோதனை , காரணி மாற்றுச் சோதனை ஆகியவற்றைப் பூர்த்திசெய்யும் என நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளன.

  \(\mathrm{E}(\mathrm{X})=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x) d x\)
\( =\int_0^1 x\left(3 x^2\right) d x=3 \int_0^1 x^3 d x \)
\( =3\left[\frac{x^4}{4}\right]_0^1=\frac{3}{4}(1-0)=\frac{3}{4} \)
\( \mathrm{E}\left(\mathrm{X}^2\right)=\int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) d x \)
\( =\int_0^1 x^2\left(3 x^2\right) d x=3 \int_0^1 x^4 d x \)
\(=3\left[\frac{x^5}{5}\right]_0^1=\frac{3}{5} \)
\( \mathrm{~V}(\mathrm{X})=\mathrm{E}\left(\mathrm{X}^2\right)-[\mathrm{E}(\mathrm{X})]^2\)
\( =\frac{3}{5}-\left(\frac{3}{4}\right)^2=\frac{3}{5}-\frac{9}{16} \)
\(=\frac{48-45}{80}=\frac{3}{80} \)
\( V(\mathrm{aX}+\mathrm{b})=\mathrm{a}^2 \mathrm{~V}(\mathrm{X}) \) என்பது தெரியும்
\(\mathrm{V}(3 \mathrm{X}-2)=9 \mathrm{~V}(\mathrm{X}) \)
\(=9\left(\frac{3}{80}\right)=\frac{27}{80} \)

\(\int { \frac { \sin2x }{ 2\sin x } } \)dx = \(\int { \frac { 2\sin \cos x }{ 2\sin x } } dx \)
= ∫cos x = ∫sin x + c

\(\int _{ 0 }^{ 1 }{ (2x+1) } dx ={ { \left[ \frac { { 2x }^{ 2 } }{2 }+ x \right] }^{ 1 }_{ 0 } }\) 
=1+1=2

\(\mathrm{D}(x) =\mathrm{S}(x) \)
\(16-x^2 =2 x^2+4 \)
\(12 =3 x^2 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=2 \)

பரப்பு \( =\int_c^d x d y=\int_1^2 y d y \)
\(=\left[\frac{y^2}{2}\right]_1^2=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} \) ச.அலகுகள்

\(\mathrm{y} =\mathrm{c} x+\mathrm{c}-\mathrm{c}^3 \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\mathrm{c} \)
\(\therefore \mathrm{y} =x \frac{d y}{d x}+\frac{d y}{d x}-\left(\frac{d y}{d x}\right)^3 \)

\(\alpha=-2, \beta=1\)
மூலங்கள் \(-2 \pm \mathrm{i}\)
மூலங்களின் கூடுதல்
\(=-2+\mathrm{i}+(-2-\mathrm{i})=-4\)
மூலங்களின் பெருக்கல்
\(=(-2+i)(-2-i)=4-i^2=5 \)
\(y_2+4 y_1+5 =0\)

\(\Delta \mathrm{f}(x) =\mathrm{f}(x+\mathrm{h})-\mathrm{f}(x)=\mathrm{f}(x+1)-\mathrm{f}(x) \quad[\because \mathrm{h}=1] \)
\( =(x+1)^2+2(x+1)+2-x^2-2 x-2 \)
\( =x^2+2 x+1+2 x+2+2-x^2-2 x-2 =2 x+3 \)

E (X- Y) = E(X)-E(Y) = 5-(-2) = 7

\(X \sim N(9,81)\)
இங்கு \(\mu=9\) மற்றும் \(\sigma^2=81 \Rightarrow \sigma=9\)
\(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{X-9}{9}\)

\( \mu=1295, \sigma=750 \)
\( Z=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{1500-1295}{750}=0.273\)

P(X>1500)  =P(Z>0.273) 
=0.5-P(0<Z<0.273)  
=0.5-0.1064=0.3936