A =\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -2 \\ -7 \end{matrix} \right) \)என்க.
A -ன் வரிசை 3 x 4
∴ ρ(A) ≤3.
மூன்றாம் வரிசை கொண்ட சிற்றணிக்கோவைகளை கருத, நாம் பெறுவது
\(\left| \begin{matrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & 1 \\ 3 & 6 & 3 \end{matrix} \right| =0,\left| \begin{matrix} 1 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & -2 \\ 3 & 3 & -7 \end{matrix} \right| =0\)
\(\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & -2 \\ 3 & 6 & -7 \end{matrix} \right| =0,\left| \begin{matrix} 2 & -1 & 3 \\ 4 & 1 & -2 \\ 6 & 3 & -7 \end{matrix} \right| =0\) ஆகும்.
அனைத்து மூன்றாம் வரிசை கொண்ட சிற்றணிக்கோவைகளின் மதிப்புகளும் பூச்சியமாகும்.
ρ(A)≠3.
ஏதேனும் ஒரு இரண்டாம் வரிசை சிற்றணிக்கோவையை கருத, நாம் பெறுவது \(\left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ 4 & 1 \end{matrix} \right| \)=6≠0 ஆகும்.
⇒ பூச்சியமற்ற சிற்றணிக்கோவையின் வரிசை 2 ஆகும்.  ∴ ρ(A) = 2

\(\int { } \)x³e^xdx = \(\int { } \)udv
= uv − u'v₁ + u''v₂ − u'''v₃ + ...
= x³e^x −3x² e^x + 6xe^x −6e^x + c
= e^x (x³ −3x² +6x −6)+ c

அடுத்தடுத்து வகையிட	மீண்டும் மீண்டும் தொகையிட
u = x3 u' = 3x2 u'' = 6x u''' = 6	dv =ex dx v = ex v1= ex v2=ex v 3=ex

(i) கொடுக்கப்பட்ட MC=2+5e^x 
C=\(\int { MC } dx+k\)
=\(\int { (2+5{ e }^{ x }) } dx+k\)
=2x+5e^x+k
x=0, C=100 ⇒100=2(0)+5(e⁰)+k
k=95
∴ C=2x+5e^x+95
(ii) சராசரி விலை =\(\frac { C }{ x } =\frac { 2x+{ 5e }^{ x }+95 }{ x } \)
AC=\(2+\frac { 4e^{ x } }{ x } +\frac { 95 }{ x } \).

\(\frac { dy }{ dx } +\frac { y }{ x } \)y=x³
இது \(\frac { dy }{ dx } +\frac { 1 }{ x } y\)=Q என்ற வடிவில் உள்ளது.
இங்கு P=\(\frac { 1 }{ x } \), Q=x³
\(\int { P } dx=\int { \frac { 1 }{ x } } dx=logx\)
I.F=\(e^{ \int { pdx } }=e^{ logx }=x\)
தேவையான தீர்வு : y(I.F)=\(\int { Q(I.F)dx } +c\)
yx=\(\int { { x }^{ 3 }.xdx } +c\)
=\(\int { { x }^{ 4 }dx } +c\)
=\(\frac { { x }^{ 5 } }{ 5 } \)+c
∴ yx=\(\frac { { x }^{ 5 } }{ 5 } \)+c

f(x) -ல் நான்கு மதிப்புகள் கொடுக்கப்பட்டிருப்பதால், f(x) ஒரு மூன்றாம்படி பல்லுறுப்பைக்கோவை என எடுத்துக் கொள்வோம். 
∴ Δ⁴ (y₀) = 0
⇒ (E - 1)⁴ (y₀) = 0
⇒ (E⁴ - 4E³ + 6E² - 4E + 1) y₀ = 0
⇒ (E⁴ y₀ - 4E³ y₀ + 6E² y₀ - 4E y₀ + 1+ y₀ = 0
⇒ y₄ - 4y₃ + 6y₂ - 4y₁ +y₀ = 0
⇒ 81 - 4(y₃) + 6(9) - 4(3) + 1 = 0
⇒ 124 = 4y₃ = 0
⇒ y₃ = 31

மூன்று ஆண்டு நகரும் சராசரியை கணக்கிடுதல்

ஆண்டு	மாணவர்களின் எண்ணிக்கை	மூன்று ஆண்டு நகரும் கூடுதல்	மூன்று ஆண்டு நகரும் சராசரி
1995	332	---	---
1996	317	1006	335.33
1997	357	1066	355.33
1998	392	1151	383.67
1999	402	1199	399.67
2000	405	1217	405.67
2001	410	1242	414.00
2002	427	1272	424.00
2003	435	1300	433.33
2004	438	---	---

இங்கு μ என்பது உதிரிபாகங்களின் முழுமைத்தொகுதி சராசரி உயரம் ஆகும்.
μ -ஐ மதிப்பீடு செய்வதற்கான 95% எல்லைகள்
\(\bar { x } -{ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\frac { \sigma }{ \sqrt { n } } <\mu \bar { x } +{ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\frac { \sigma }{ \sqrt { n } } \)
இங்கு \(\sigma =1.6,{ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }=1.96,\bar { x } =90\)மற்றும் n=64
திட்டப்பிழை \(S.E=\frac { \sigma }{ \sqrt { n } } =\frac { 1.6 }{ \sqrt { 64 } } =0.2\)
எனவே, 90-(1.96 x 0.2)\(\le \mu \le\)90+(1.96 x 0.2)
(89.61 \(\le \mu \le\) 90.39)
உதிரிபாகங்களின் முழுமைத்தொகுதி சராசரி உயரங்களின் உண்மை மதிப்பு (89.61, 90.39) என்ற 95% நம்பிக்கை இடைவெளியில் உள்ளது. எனவே 95% நம்பிக்கை இடைவெளியில் உள்ள உதிரிப்பாகங்களை வாடிக்கையாளர்கள் ஏற்றுக்கொள்வார்கள்.

ஒரு நாணயம் சுண்டும் போது அமையும் சமவாய்ப்புகள்  (கூறுவெளி) \(\mathrm{S}={\mathrm{H}, \mathrm{T}}\) 
X  என்பத சமவா ய்ப்பு மாறியில் ஒருவர் வெற்றி பெறும் தொகை என்க.
\(\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 4 & -2 \\ \hline \mathbf{P}(\mathbf{X}=\boldsymbol{x}) & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \hline \end{array}\)
\(E(X)  =\sum_x x P_X(x) \)
\(=4\left(\frac{1}{2}\right)-2\left(\frac{1}{2}\right)=2-1=1\)
எதிர்பார்த்தல் = 1
\(E\left(X^2\right)  =\sum_x x^2 P_X(x) \)
\(=16\left(\frac{1}{2}\right)+4\left(\frac{1}{2}\right)=8+2=10 \)
\(\operatorname{Var}(X)  =E\left(X^2\right)-[E(X)]^2=10-1=9\)
மாறுபாடு  = 9

இங்கு நிரல்களின் எண்ணிக்கையும் நிரைகளின் எண்ணிக்கையும் சமமாக உள்ளன. எனவே கொடுக்கப்பட்ட கணக்கானது சமச்சீரான ஒதுக்கீடு கணக்காகும். தற்போது அதன் தீர்வைக் காணலாம்.

 

படி: 1 ஒவ்வொரு நிரையில் உள்ள மீச்சிறு மதிப்பை அந்த நிரையில் உள்ள அனைத்து மதிப்புகளிலிருந்தும் கழிக்க வேண்டும்.

U      V       W 

A	0	8	14	17
B	0	15	6	10
C	1	3	0	11

ஒவ்வொரு நிரை மற்றும் நிரலிலும் குறைந்தபட்சம் ஒரு பூஜ்ஜியமாவது உள்ளதா என்பதை சோதிக்க. இல்லையெனில், படி 2-க்கு செல்லவும்.
படி: 2
படி (1) -ல் கிடைத்த அணியில் ஒவ்வொரு நிரலில் உள்ள மீச்சிறு மதிப்பை அந்த நிரலில் உள்ள அனைத்து மதிப்புகளிலிருந்தும் கழிக்க வேண்டும்.

நேர்க்கோடுகளின் எண்ணிக்கை < நிரைகளின் எண்ணிக்கை, நேர்க்கோடுகள் வெட்டாத மதிப்புகளின் மீச்சிறு மதிப்பு 5.எனவே, அவற்றுடன் 5ஐ கழிக்க மற்றும் இரு கோடுகள் வெட்டும் மதிப்புடன் 5ஐ கூட்டுக.

அனைத்து ஒதுக்கீடுகளும் செய்யப்பட்டுள்ளன.
உகந்த ஒதுக்கீடு மற்றும் மொத்த சிறும செலவு

வேலை	இயந்திரம்	செலவு
A	V	25
B	U	10
C	W	11
	மொத்த செலவு	46

X - என்ற இயல்நிலைமாறி மாணவர்களின் மதிப்பெண்களின் சராசரி 45 மற்றும் திட்டவிலக்கம் 10 என காட்டுகிறது என்க.
(i) 35 மதிப்பெண்களுக்கும் குறைவாக
X = 35 எனும் போது
Z =\(\frac { X-\mu }{ \sigma } =\frac { 35-45 }{ 10 } \)=-1
P(X < 35) = P(Z < - 1)
P(Z > 1) = 0.5 – P(0 < Z < 1)
= 0.5 - 0.3413
= 0.1587
35 மதிப்பெண்களுக்கும் குறைவாக பெறும் மாணவர்களின் எதிர்பார்க்கப்படும் எண்ணிக்கை
0.1587 × 1300 = 206.31
= 206 மாணவர்கள் (தோராயமாக)

(ii) 65 மதிப்பெண்களுக்கு மேலாக
X = 65 எனும் போது
Z =\(\frac { X-\mu }{ \sigma } =\frac { 65-45 }{ 10 } \)=20
P(X > 65) = P(Z > 2.0)
0.5 – P(0 < Z < 2.0)
0.5 – 0.4772
= 0.0228
65 மதிப்பெண்களுக்கு மேலாக பெறும் மாணவர்களின் எதிர்பார்க்கப்படும் எண்ணிக்கை 0.0228 x 1300 = 30
= 30 மாணவர்கள் (தோராயமாக).

அணி சமன்பாடு
\(\left( \begin{matrix} 3 & -2 \\ 6 & -4 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 6 \\ 10 \end{matrix} \right) \)
AX=B

அணி A	விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி [A,B]	அடிப்படை உருமாற்றம்
\(\left( \begin{matrix} 3 & -2 \\ 6 & -4 \end{matrix} \right) \)	\(\left( \begin{matrix} 3 & -2 & 6 \\ 6 & -4 & 10 \end{matrix} \right) \)
~\(\left( \begin{matrix} 3 & -2 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right) \)	~\(\left( \begin{matrix} 3 & -2 & 6 \\ 0 & 0 & -2 \end{matrix} \right) \)	R2 ⟶ R2-2R1
ρ(A)=1	ρ([A,B])=2

∴  ρ([A,B])=2,  ρ(A)=1
 ρ(A) ≠ ρ([A,B])
∴  கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பு ஒருங்கமைவு அற்றது.

\(\int _{ 1 }^{ a }{ 3x^{ 2 }dx } =-1\) எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
\(\left[ x^{ 3 } \right] _{ 1 }^{ a }\)=-1
a³-1=-1
a³= 0 ⇒ a=0

இறுதிநிலை வருவாய்ச் சார்பு MR =14-6x+9x²
வருவாய்ச் சார்பு \(\mathrm{R} =\int\left(14-6 \mathrm{x}+9 \mathrm{x}^2\right) d x \)
\(\mathrm{R} =14 x-\frac{6 x^2}{2}+\frac{9 x^3}{3}+k \)
x = 0, R = 0 எனில்  k  =0
\(\mathrm{R}  =14 x-3 x^2+3 x^3 \)
தேவை சார்பு: \(\mathrm{p}  =\frac{R}{x} \)
\( =14-3 x+3 x^2\)

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \boldsymbol{x} & \boldsymbol{y} & \Delta \boldsymbol{y} & \Delta^2 \boldsymbol{y} & \Delta^3 \boldsymbol{y} \\ \hline-1 & 202 & & & \\ \hline & & -27 & & \\ \hline 0 & 175 & & -66 & \\ \hline & & -93 & & 132 \\ \hline 1 & 82 & & 66 & \\ \hline & & -27 & & \\ \hline 2 & 55 & & & \\ \hline \end{array}\)
x₀ =-1, h=1,x₀ + nh = 0.5
n  = 1.5
\(\mathrm{y}=y_0+\frac{n}{1 !} \Delta y_0+\frac{n(\mathrm{n}-1)}{2 !} \Delta^2 y_0 +\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)(\mathrm{n}-2)}{3 !} \Delta^3 y_0 \)
\(=202+\frac{1.5}{1 !}(-27)+\frac{(1.5)(0.5)}{2}(-66) +\frac{(1.5)(0.5)(-0.5)}{6} 132 \)
\(\mathrm{y}=202-40.5-24.75-8.25=128.5 \)

\(\frac{d^2 y}{d x^2}+y+\left(\frac{d y}{d x}-\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^{3 / 2}=0\)
\(\frac{d^2 y}{d x^2}+y=-\left(\frac{d y}{d x}-\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^{3 / 2}\)
இருபறமும் வர்க்கப்படுத்த
\(\left(\frac{d^2 y}{d x^2}+y\right)^2 =\left(\frac{d y}{d x}-\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^3 \)
வரிசை =3 ; படி =3

\(\mathrm{n} =1000, \bar{x}=120 \mathrm{lbs} \)
\(\hat{\sigma} =\mathrm{s}=30 \mathrm{lbs}, \varphi=119 \mathrm{lbs} \)
\(\mathrm{S} . \mathrm{E} =\frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{30}{\sqrt{1000}} =\frac{30}{31.623}=0.9487 \)

E(X) = 0
V(X) =E(X²) - [E(X)]²
= E(X²)-0² [∵ E(X)]²  [∵E(X) = 0]
var (X) = E(X²)
= E(X²) - 0 = E(X²) எனவே நிறுவப்பட்டது.

போக்குவரத்து கணக்கில் மொத்த போக்குவரத்துச் செலவை குறைக்கும் வகையில் ஒவ்வொரு ஆதியிலிருந்து ஒவ்வொரு சேரும் இடத்திற்கு அனுப்பக் கூடிய பொருள்களின் அளவை தீர்மானிப்பதாகும். அதே சமயம் ஒதுக்கீட்டு கணக்கில் மொத்த ஒதுக்கீட்டு செலவை குறைக்கும் வகையில் ஒரு வேலையை ஒரு இயந்திரத்திற்கு ஒதுக்கீடு செய்ய ஆகும் செலவு ஆகும்.
ஒதுக்கீட்டு கணக்கில் ஒவ்வொரு நிரை மற்றும் நிரலிலும் ஒரே ஒரு ஒதுக்கீடு மட்டுமே செய்யப்பட வேண்டும். ஆனால் போக்குவரத்து கணக்கில் எந்தவொரு நிரை மற்றும் நிரலிலும் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட ஒதுக்கீடுகள் இருக்கலாம்.

ஒதுக்கீடு கணக்கில் நிரல்களின் எண்ணிக்கையும் நிரைகளின் எண்ணிக்கையும் சமமாக இருக்க வேண்டும். ஆனால் போக்குவரத்து கணக்கில் அவ்வாறு இருக்க தேவையில்லை.

நோயின் - தாக்கம் ஏற்படுத்தும் இறப்புகளின் எண்ணிக்கையை சமவாய்ப்பு மாறி X என்க.
p = நோயின் - தாக்கம் ஏற்படுத்தும் இறப்பிற்கான் நிகழ்தகவு
\( =\frac{7}{1000} \)
\(\mathrm{n}  =400 \)
\(\lambda  =\mathrm{np}=400 \times \frac{7}{1000}=2.8 \)
\(\mathrm{P}(\mathrm{X}=x)  =\frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x !}=\frac{e^{-28}(2.8)^x}{x !} \)
\(\mathrm{P}(\mathrm{X}=2)  =\frac{e^{-2.8}(2.8)^2}{2 !}=\frac{(0.06) \times 7.84}{2} \)
=0.2352 .

கூறு	1	2	3	4	5	6	மொத்தம்
சராசரி	300	342	351	319	326	333	1971
வீச்சு	25	37	20	28	30	22	162

\(\overset {-}{X}\) வரைபடத்தின் கட்டுப்பாடு வரம்புகள்   
\(\overset { = }{ X } =\frac { \sum { \overset { - }{ X } } }{ n} =\frac { 1971 }{ 6 } =328.5\quad \quad \overset { - }{ R } =\frac { \sum { R } }{ n } =\frac { 162 }{ 6 } =27\)
இங்கே ‘n’ என்பது கூறுகளின் எண்ணிக்கை ஆகும்.
\(UCL=\overset { = }{ X } +{ A }_{ 2 }\overset { - }{ R } =328.5+0.483(27)=341.54\)
\(CL=\overset { = }{ X } =328.5\)
\(LCL=\overset { = }{ X } -{ A }_{ 2 }\overset { - }{ R } =328.5+0.483(27)=315.45\)

தரப்பட்ட சமன்பாட்டு தொகுப்புக்குரிய அணிச் சமன்பாடானது
\(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & a \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 6 \\ 10 \\ b \end{matrix} \right) \)
    A                        X       =         B

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி [A,B]	அடிப்படை உருமாற்றங்கள்
\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ a \end{matrix}\begin{matrix} 6 \\ 10 \\ b \end{matrix} \right) \)
~\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ a-1 \end{matrix}\begin{matrix} 6 \\ 4 \\ b-6 \end{matrix} \right) \)	R2 ⟶ R2 - R1 R3 ⟶ R3 - R1
~\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ a-3 \end{matrix}\begin{matrix} 6 \\ 4 \\ b-10 \end{matrix} \right) \)	R3 ⟶ R3 - R2

கடைசி சமான அணி ஏறுபடிவ வடிவில் உள்ளது.
நிலை (i) தீர்வு இல்லை:
ρ(A) ≠ ρ([A,B]) எனில் தொகுப்பிற்கு தீர்வு இல்லை. a-3=0 மற்றும் b-10≠0 எனும்போது மட்டுமே ρ(A) ≠ ρ([A,B]) ஆகும்.
∴ a=3, b≠10 எனும்போது தொகுப்பிற்கு தீர்வு இல்லை.
நிலை (ii) ஒரே ஒரு தீர்வு:
ρ(A) = ρ([A,B])=மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை, எனில் தொகுப்பிற்கு எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகள் உண்டு.
இங்கு a-3≠0, எனில் ρ(A) = ρ([A,B])=3
∴ a≠3 மற்றும் b\(\in \)R எனில் தொகுப்பிற்கு ஒரே ஒரு தீர்வு உண்டு.
நிலை (iii) எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகள்:
ρ(A) = ρ([A,B]) < மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை, எனில் தொகுப்பிற்கு எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகள் உண்டு.
இங்கு a-3=0, b-10=0 எனில் ρ(A) = ρ([A,B])=2<3
எனவே a=3 மற்றும் b =10 எனும் போது தொகுப்பிற்கு எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகள் உண்டு.

மாறுதல் நிகழ்தகவு அணி 
        A    B 
T = \(\underset { B }{ A } \left( \begin{matrix} 0.65 & 0.35 \\ 0.45 & 0.55 \end{matrix} \right) \)
ஓராண்டிற்கு பிறகு பங்கீடுகள் 
 (0.15  0.85) \(\left( \begin{matrix} 0.65 & 0.35 \\ 0.45 & 0.55 \end{matrix} \right) \)
= (0.0975+ 0.3825+0.0525+0.4675)
= (0.48 0.52)
ஓராண்டிற்குப் பிறகு 'A ' -ன் பங்கீடு 48% மற்றும் 'B ' -ன் பங்கீடு 52%
(A B ) \(\left( \begin{matrix} 0.65 & 0.35 \\ 0.45 & 0.55 \end{matrix} \right) \)= (A B )
(0.65 A + 0.45B 0.35 A +0.55 B) = (A B)
0.65 A + 0.45 B = A
இதில் A + B = 1
0.65A + 0.45 (1 - A) = A மேலும் B = 1 - A
0.65A + 0.45-0.45A = A
0.2A + 0.45 = A
0.45 = A - 0.2A
0.45 = 0.8A
\(A=\frac { 0.45 }{0.8 } \) = 0.5625
∴ B = 1 - A =1-0.5625 = 0.4375
'A'ன் பங்கீடு 56.25% மற்றும் ‘B' ன் பங்கீடு 43.75% எனும்போது சமநிலை எட்டப்படும்.

\(\int _{ a }^{ b }{ f(x)dx } =\underset { n\rightarrow \infty \\ h\rightarrow 0 }{ lim } \sum _{ r=1 }^{ n }{ h.f\left( a+rh \right) } \)
இங்கு  a = 0, b = 1
\(h=\cfrac { b-a }{ n } =\cfrac { 1-0 }{ n } =\cfrac { 1 }{ n } \)மற்றும்  f(x) = x²
\(f(a+rh)=f\left( 0+r.\cfrac { 1 }{ n } \right) =f\left( \cfrac { r }{ n } \right) \)
⁼ \(\left( \cfrac { r }{ n } \right) ^{ 2 }=\cfrac { { r }^{ 2 } }{ { n }^{ 2 } } \)
\(\therefore \int _{ 0 }^{ 1 }{ { x }^{ 2 }dx } =\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \sum _{ r=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ n } } \left( \frac { { r }^{ 2 } }{ { n }^{ 2 } } \right) \)
= \(\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \frac { 1 }{ { n }^{ 3 } } .\frac { n(n+1)(2n+1) }{ 6 } \)
\(=\underset { n\rightarrow \infty }{ \lim }\cfrac { 1 }{ 6n ^ 2 }[n(2 n^2 +3n+1)]\)
\(=\underset { n\rightarrow \infty }{ lim }[ \left( \cfrac { 1 }{ 3 } +\cfrac { 1 }{ 2n }+\cfrac { 1 }{ 6n ^2 } \right) ]\)
= \(\cfrac { 1 }{ 3 } \)

சமநிலையில், தேவைச் சார்பு = அளிப்புச் சார்பு 
\(p_d =p_s \)
\(1600-x^2 =2 x^2+400 \)
\(1600-400 =3 x^2 \)
\(1200 =3 x^2 \)
\(x^2 =400 \Rightarrow x=20 \)
\(p =1600-400=1200 \)
உற்பத்தியாளர் உபரி 
\(\text { PS } =x_0 p_0-\int_0^{x_0} g(x) d x \)
\(=24000-\int_0^{20}\left(2 x^2+400\right) \mathrm{d} x \)
\(=24,000-\left[\frac{2 x^3}{3}+400 x\right]_0^{20} \)
\(=24,000-\left[\frac{16000}{3}+8000\right] \)
\( =16,000-\frac{16,000}{3} \)
\(=\frac { 32000 }{ 3 } \) அலகுகள்
 

சமன்நிலை விலையில், Q_d=Q_s
⇒ 29-2p-5\(\frac { dp }{ dt } +\frac { d^{ 2 }p }{ dt^{ 2 } } \) =5+4p
⇒ 24-6p-5\(\frac { dp }{ dt } +\frac { d^{ 2 }p }{ dt^{ 2 } } \)=0
⇒ \(\frac { d^{ 2 }p }{ dt^{ 2 } } -\frac { dp }{ dt } -6p\)=-24
(D²-5D-6)p=-24
துணைச் சமன்பாடு :
m²-5m-6=0
(m-6)(m+1)=0
⇒ m=6,-1
C.F=Ae^6t+Be^-t
P.I=\(\frac { 1 }{ \phi (D) } f(t)\)
=\(\frac { 1 }{ { D }^{ 2 }-5D-6 } (-24)e^{ 0t }\)
=\(\frac { -24 }{ -6 } \) (D-க்கு பதிலாக 0 வை பிரதியிட)
=4
பொதுத் தீர்வு p=C.F+P.I
=Ae^6t+Be^-t+4

x₀ = 1974, x₁ = 1978, x₂ = 1982, x₃ = 1990
y₀ = 25, y₁ = 60, y₂ = 80, y₃ = 170, x = 1986.
∴ y = f(x) = \(\frac { (x-{ x }_{ 1 })(x-{ x }_{ 2 })(x-{ x }_{ 3 }) }{ ({ x }_{ 0 }-{ x }_{ 1 })({ x }_{ 0 }-{ x }_{ 2 })({ x }_{ 0 }-{ x }_{ 3 }) } \times { y }_{ 0 }+\frac { (x-{ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 2 })(x-{ x }_{ 3 }) }{ ({ x }_{ 1 }-{ x }_{ 0 })({ x }_{ 1 }-{ x }_{ 2 })(x_{ 1 }-{ x }_{ 3 }) } \times { y }_{ 1 }+\frac { (x-{ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 1 })(x-{ x }_{ 3 }) }{ ({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 0 })({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 })({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 3 }) } \times { y }_{ 2 }+\frac { (x-{ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 1 })(x-{ x }_{ 2 }) }{ ({ x }_{ 3 }-{ x }_{ 0 })({ x }_{ 3 }-{ x }_{ 1 })({ x }_{ 3 }-{ x }_{ 2 }) } \times { y }_{ 3 }\)
\( =\frac{(8)(4)(-4)}{(-4)(-8)(-16)} 25+\frac{(12)(4)(-4)}{(4)(-4)(-12)} 60+ \frac{(12)(8)(-4)}{(8)(4)(-8)} 80+\frac{(12)(8)(4)}{(16)(12)(8)} 170 \)
\( =\frac{25}{4}-60+120+\frac{170}{4}=\frac{195}{4}+60 \)
 =48.75+60=108.75 (ஆயிரம் டன்கள்)

இங்கு x -ன் மதிப்புகள் சம பிரிவற்றவை. எனவே இலெக்ராஞ்சியின் சூத்திரத்தை பயன்படுத்தவும்.
x₀=5, x₁=6, x₂=9, x₃=11
y₀=12, y₁=13, y₂=14, y₃=16
y=f(x)=\(\frac { (x-{ x }_{ 1 })(x-{ x }_{ 2 })(x-{ x }_{ 3 }) }{ (x_{ 0 }-{ x }_{ 1 })({ x }_{ 0 }-{ x }_{ 2 })({ x }_{ 0 }-{ x }_{ 3 }) } \times { y }_{ 0 }+\frac { (x-{ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 2 })(x-{ x }_{ 3 }) }{ (x_{ 1 }-{ x }_{ 0 })({ x }_{ 1 }-{ x }_{ 2 })({ x }_{ 1 }-{ x }_{ 3 }) } \times { y }_{ 1 }+\frac { (x-{ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 1 })(x-{ x }_{ 3 }) }{ (x_{ 2 }-{ x }_{ 0 })({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 })({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 3 }) } \times y_{ 2 }+\frac { (x-{ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 1 })(x-{ x }_{ 2 }) }{ (x_{ 3 }-{ x }_{ 0 })({ x }_{ 3 }-{ x }_{ 1 })({ x }_{ 3 }-{ x }_{ 2 }) } \times { y }_{ 3 }\)
=\(\frac { (x-6)(x-9)(x-11) }{ (5-6)(5-6)(5-11) } (12)+\frac { (x-5)(x-9)(x-11) }{ (6-5)(6-9)(6-9) } (13)+\frac { (x-5)(x-6)(x-11) }{ (9-5)(9-6)(9-11) } (14)+\frac { (x-5)(x-6)(x-9) }{ (11-5)(11-6)(11-9) } (16)\)
x = 10 என்க.
y(10)=f(10)=\(\frac { 4(1)(-1) }{ (-1)(-4)(-6) } (12)+\frac { (5)(1)(-1) }{ (1)(-3)(-5) } (13)+\frac { 5(4)(-1) }{ 4(3)(-2) } (14)+\frac { (5)(4)(1) }{ 6(5)(2) } (16)\)
=\(\frac { 1 }{ 6 } (12)-\frac { 13 }{ 3 } +\frac { 5(14) }{ 3\times 2 } +\frac { 4\times 16 }{ 12 } \)
=14.6663

x + 4y + 3z = 2,
2x−6y + 6z = −3,
5x− 2y + 3z = −5
\(\Delta =\left| \begin{matrix} 1 & 4 & 3 \\ 2 & -6 & 6 \\ 5 & -2 & 3 \end{matrix} \right| \)
= \(1\left| \begin{matrix} -6 & 6 \\ -2 & 3 \end{matrix} \right| -4\left| \begin{matrix} 2 & 6 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right| +3\left| \begin{matrix} 2 & -6 \\ 5 & -2 \end{matrix} \right| \)
= 1(-18 + 12) - 4(6 - 30) +3 (- 4 +30)
= 1(- 6) - 4(- 24) + 3(26)
= - 6 + 96 + 78 = 168 \(\neq \) 0
கிரேமரின் விதியைப் பயன்படுத்தலாம்.
\(\Delta x=\left| \begin{matrix} 2 & 4 & 3 \\ -3 & -6 & 6 \\ -5 & -2 & 3 \end{matrix} \right| \)
= \(2\left| \begin{matrix} -6 & 6 \\ -2 & 3 \end{matrix} \right| -4\left| \begin{matrix} -3 & 6 \\ -5 & 3 \end{matrix} \right| +3\left| \begin{matrix} -3 & -6 \\ -5 & -2 \end{matrix} \right| \)
= 2 (- 18 + 12) - 4(- 9 +30) + 3(6 -30)
= 2(- 6) - 4(21) + 3(- 24)
= -12-84-72 =-168
\(\Delta y=\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & -3 & 6 \\ 5 & -5 & 3 \end{matrix} \right| =1\left| \begin{matrix} -3 & 6 \\ -5 & 3 \end{matrix} \right| -2\left| \begin{matrix} 2 & 6 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right| +3\left| \begin{matrix} 2 & -3 \\ 5 & -5 \end{matrix} \right| \)
= 1 (-9+30)-2(6-30)+3(- 10+ 15)
= 1(21) - 2(- 24) + 3(5)
= 21 + 48 + 15 = 84
\(\Delta z=\left| \begin{matrix} 1 & 4 & 2 \\ 2 & -6 & -3 \\ 5 & -2 & -5 \end{matrix} \right| \)
= \(1\left| \begin{matrix} -6 & -3 \\ -2 & -5 \end{matrix} \right| -4\left| \begin{matrix} 2 & -3 \\ 5 & -5 \end{matrix} \right| +2\left| \begin{matrix} 2 & -6 \\ 5 & -2 \end{matrix} \right| \)
= 1(30-6)-4(-10+ 15)+2(-4+30)
= 24 - 4(5) + 2(26)
= 24 - 20 + 52 = 56


தீர்வு  : {x,y,z} = \(\left\{ -1,\frac { 1 }{ 2 } ,\frac { 1 }{ 3 } \right\} \).

கொடுக்கப்பட்ட போக்குவரத்து அட்டவணை 

மொத்த தேவைகள் = மொத்த இருப்புகள் = 30
எனவே கொடுக்கப்பட்ட கணக்கானது சமநிலை போக்குவரத்து கணக்காகும்.


போக்குவரத்து விவரம் : 
A → I,B → I, B → II, C → II,C → III 
மொத்த போக்குவரத்து செலவு 
= (7 ×1) + (3×0) + (9×4) + (1×1) + (10×5)
= 7 + 0 + 36 + 1 + 50 = ரூ.94

வருடம்	I காலாண்டு	II காலாண்டு	III காலாண்டு	IV காலாண்டு
2008	72	68	62	76
2009	78	74	78	72
2010	74	70	72	76
2011	76	74	74	72
2012	72	72	76	68
காலாண்டு கூடுதல்	372	358	362	364
காலாண்டு சராசரி	74.4	71.6	72.4	72.8
பருவகால குறியீடு	102.19	98.35	99.45	100

மொத்த சராசரி = \(\frac {74.4+ 71.6+ 72.4 + 72.8}{4}\) = \(\frac {291.2}{4}\) = 72.8

= \(\frac {74.4}{72.8}\) × 100 = 102.19
இதே போல் மற்ற பருவகால குறியீட்டு மதிப்புகளைப் பெறலாம்.

ஆண்டு  (X)	விற்பனையாளர்களின் எண்ணிக்கை Y	X = x -1994	X2	XY
1992	46	-2	4	-92
1993	48	-1	1	-48
1994	42	0	0	0
1995	56	1	1	56
1996	52	2	4	104
N = 5	244	0	10	20

\(\sum\)X = 0, a =\(\frac {\sum Y}{n}\) = \(\frac {244}{5}\) = 48.8
b = \(\frac {\sum XY}{\sum X^2}\) = \(\frac {20}{10}\) = 2
எனவே, தேவையான நேர்க்கோட்டு போக்குச் சமன்பாடானது
Y = a + bX
Y = 48.8 + 2X
Y = 48.8 + 2(x - 1994)
x = 1992 எனில்,
Yt = 48.8 + 2 (1992–1994)= 48.8 - 4 = 44.8
x = 1993 எனில்,
Yt = 48.8 + 2 (1993–1994)= 48.8 - 2 = 46.8
x = 1994 எனில், 
Yt = 48.8 + 2 (1994 - 1994) = 48.8
x = 1995 எனில்,
Yt = 48.8 + 2(1995-1994) = 48.8 + 2 = 50.8
x = 1996 எனில்,
Yt = 48.8 + 2 (1996 – 1994) = 48.8 + 4 = 52.8
x = 1997 எனில்,
Y = 48.8 + 2 (1997 – 1994) = 48.8 +6 = 54.8

தொலைபேசி அமைப்புகளின் எண்ணிக்கையை சமவாய்ப்பு மாறி X என்க.
சராசரி \(=\lambda=2.5\)
(i) \( \mathrm{P}(\mathrm{X}=x)=\frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x !} \)
\( \mathrm{P}(\mathrm{X}=0)=\frac{e^{-25}(2.5)^0}{0 !}=0.08208\)
(ii) \(P(X=3)  =\frac{e^{-2.5}(2.5)^3}{3 !}  =\frac{0.0821(15.625)}{6}=0.2138\)
(iii) \( P(X \geq 5)=1-\mathrm{P}(\mathrm{X}<5) \)
\(= 1-[\mathrm{P}(\mathrm{X}=0)+\mathrm{P}(\mathrm{X}=1)+ \mathrm{P}(\mathrm{X}=2)+\mathrm{P}(\mathrm{X}=3)+\mathrm{P}(\mathrm{X}=4)] \)
\(=1-\left[\frac{e^{-2.5}(2.5)^0}{0 !}+\frac{e^{-2.5}(2.5)^1}{1 !}+\frac{e^{-2.5}(2.5)^2}{2 !}\right. \left.+\frac{e^{-2.5}(2.5)^3}{3 !}+\frac{e^{-2.5}(2.5)^4}{4 !}\right]\)
\( =1-e^{-2.5}[1+2.5+3.125+2.6042+1.6275]\)
 =1-(0.08208)(10.8567) 
 =1-0.8911=0.1089

கூறின் அளவு n = 400
கூறு சராசரி \(\bar x \)= 67.47
முழுமைத்தொகுதி சராசரி μ = 67.39
முழுமைத்தொகுதி திட்டவிலக்கம் S.D σ = 1.30
இன்மை கருதுகோள் H₀:μ = 67.39
மாற்று கருதுகோள் H₁:μ # 67.39
கூறுபண்பளவை சோதனை
\(\mathrm{Z}  =\frac{\bar{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \sim \mathrm{N}(0,1)} \)
\(\mathrm{Z}  =\frac{67.47-67.39}{\frac{1.30}{\sqrt{400}}}=\frac{0.08}{0.065} \)
\(|\mathrm{Z}|  =1.2308\)
மறுக்கும் அளவு 5 % மிகைகாண் நிலை 
\(Z_{a / 2}=1.96 \)
|Z|=1.2308<1.96
முடிவு: கணக்கிடப்பட்ட மதிப்பானது அட்டவணை மதிப்பை விட குறைவாக உள்ளது. அதாவது, Z <  Z_α/2 .5% மிகைகாண் நிலையில் இன்மை கருதகோள் H₀ ஏற்றுக் கொள்ளப்படுகிறது.
எனவே கூறானது முழுமைத் தொகுதியிலிருந்து எடுக்கப்பட்டதாகும்,

\(E(X)=\int _{ -\infty }^{ \infty }{ xf\left( x \right) } dx\) என்பது நமக்குத் தெரியும் 
= \(\int _{ 0 }^{ 1 }{ x4{ x }^{ 3 }dx } \)
= \(4\left[ \cfrac { { x }^{ 5 } }{ 5 } \right] _{ 0 }^{ 1 }\)
= \(E(X)=\cfrac { 4 }{ 5 } \)
\(E\left( { X }^{ 2 } \right) \int _{ -\infty }^{ \infty }{ { x }^{ 2 }f(x)dx } \)
= \(\int _{ 0 }^{ 1 }{ { x }^{ 2 }{ 4x }^{ 3 }dx } \)
= \(4\left[ \cfrac { { x }^{ 6 } }{ 6 } \right] _{ 0 }^{ 1 }\)
= \(\frac { 4 }{ 6 } = \frac { 2 }{ 3 } \)
\(V(X)=E\left( { X }^{ 2 } \right) -\left[ E\left( X \right) ^{ 2 } \right] \)
= \(\cfrac { 2 }{ 3 } -\left[ \cfrac { 4 }{ 5 } \right] ^{ 2 }\)
= \(\cfrac { 2 }{ 75 } \)

சமநிலையில் 
 = (A B)
0.4A + 0.2B = A
0.4A + 0.2(1 - A) = A
0.4A + 0.2-0.2A = A
0.2 = A –0.2A
0.2 = 0.8A
A = 2/8 = 1/4

t = log x என்க.\(\Rightarrow dt = \frac { 1 }{ x } dx\)
\(\int \frac { \log x }{ x } dx =\int tdt = { \frac { { t }^{ 2 } }{ 2 } } +c = \frac {1}{2}(\log x ) ^ 2+c \)

\(\Gamma \left( \frac { 3 }{ 2 } \right) = \frac {1}{2} \Gamma(\frac {1}{2})= \frac {1}{2}\sqrt \pi = \frac {\sqrt \pi }{2}\)

இலாபச் சார்பு \(\mathrm{P} =\int(M R-M C) d \)
\(=\int(54-9 x) d x \)
\( =\left[54 x-\frac{9 x^2}{2}\right]+k \)

பரப்பு \(=\int_0^1 e^x d x=\left[e^x\right]_0^1=e^1-e^0=\mathrm{c}-1\)

\(\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{3 / 2}=\sqrt{\frac{d y}{d x}}+4\)
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த,
\(\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^3=\frac{d y}{d x}+16+8 \sqrt{\frac{d y}{d x}}\)
\(\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^3-\frac{d y}{d x}-16=8 \sqrt{\frac{d y}{d x}}\)
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த,
\({\left[\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^3-\frac{d y}{d x}-16\right]^2=64 \frac{d y}{d x}} \)
வரிசை -2 படி -6

y = vx மற்றும் \(\frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}\) என கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டில் பிரதியிட,
\(v+x \frac{d v}{d x}  =v+\frac{f(v)}{f^{\prime}(v)} \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{f(v)}{f^{\prime}(v)} \)
\(\int \frac{f^{\prime}(v)}{f(v)} d v  =\int \frac{d x}{x} \)
\(\log f(v)  =\log x+\log \mathrm{k} \Rightarrow f\left(\frac{y}{x}\right)=\mathrm{k} x\)

\(\Delta \mathrm{f}(x) =\mathrm{f}(x+\mathrm{h})-\mathrm{f}(x)=\mathrm{f}(x+1)-\mathrm{f}(x) \quad[\because \mathrm{h}=1] \)
\( =(x+1)^2+2(x+1)+2-x^2-2 x-2 \)
\( =x^2+2 x+1+2 x+2+2-x^2-2 x-2 =2 x+3 \)

E (X- Y) = E(X)-E(Y) = 5-(-2) = 7

\(\sum p_i =1 \)
\(\mathrm{k}+2 \mathrm{k}+3 \mathrm{k}+4 \mathrm{k}+5 \mathrm{k} =1 \)
\(15 \mathrm{k} =1 \Rightarrow \mathrm{k}=\frac{1}{15} \)

\(X \sim N(9,81)\)
இங்கு \(\mu=9\) மற்றும் \(\sigma^2=81 \Rightarrow \sigma=9\)
\(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{X-9}{9}\)

\(\mathrm{P}(\mathrm{Z}<\mathrm{z}) =0.0793 \)
\(0.5-\mathrm{P}(0<\mathrm{Z}<\mathrm{z}) =0.0793 \)
\(\mathrm{P}(0<\mathrm{Z}<\mathrm{z}) =0.5-0.0793=0.4207 \)
\(\mathrm{z} =-1.41\)