\(\left(D^2+D-6\right) y=e^{3 x}+e^{-3 x}\)
துணைச் சமன்பாடு
\(\mathrm{m}^2+\mathrm{m}-6  =0 \)
\((\mathrm{~m}+3)(\mathrm{m}-2)  =0 \)
\(\mathrm{~m}  =-3,2\)
நிரப்புச் சார்பு: \(A e^{m_1 x}+B e^{m_2 x}=\mathrm{Ae}^{-3 x}+\mathrm{Be}^{2 x}\)
சிறப்புத் தொகை 1: P.I \(I_1=\frac{1}{D^2+D-6} e^{3 x}\)
(D -க்கு பதிலாக 3 -ஐ பதிலிட)
\(\text { P.I } I_1=\frac{1}{9+3-6} e^{3 x}=\frac{e^{3 x}}{6}\)
சிறப்புத் தொகை 2:
\(\text { P.I } I_2=\frac{1}{D^2+D-6} e^{-3 x}\)
(D -க்கு பதிலாக -3 -ஐ பதிலிட)
\( \text { P. } I_2=\frac{1}{9-3-6} e^{-3 x} \)
[D = -3 எனில் \(\left(D^2+D-6\right)=0 \text { ] }\)
\( \therefore \text { P.I } I_2=x \frac{1}{2 D+1} e^{-3 x} \)
\( =x\left(\frac{1}{-6+1}\right) e^{-3 x}=\frac{-x}{5} e^{-3 x}\)
தீர்வு : C.F = P.I₁ + P.I₂
y=Ae^-3x+Be^2x+\(\frac { { e }^{ 3x } }{ 6 } -\frac { x }{ 5 } \)e^-3x

(3D²+D-14)y=13e^2x
துணைச் சமன்பாடு 
3m² + m - 14 = 0
3m² -6m + 7m - 14 = 0
\(3 \mathrm{~m}(\mathrm{~m}-2)+7(\mathrm{~m}-2) =0 \)
\((3 \mathrm{~m}+7)(\mathrm{m}-2) =0 \)
\(\mathrm{~m} =-7 / 3,2\)
நிரப்புச் சார்பு:
\(A e^{m_1 x}+B e^{m_2 x}=\mathrm{Ae}^{-7 x / 3}+\mathrm{Be}^{2 x}\)
சிறப்புத் தொகை \(=\frac{1}{3 D^2+D-14} 13 e^{2 x}\)
[D -க்கு பதிலாக 2 -ஐ பதிலிட
\(\left.3 \mathrm{D}^2+\mathrm{D}-14=0\right]\)
சிறப்புத் தொகை \(= x \frac{1}{6 D+1} 13 e^{2 x}\)
D=2 எனப் பதிலிட
\( \text { P.I }= \frac{x}{13}\left(13 e^{2 x}\right)=x e^{2 x}\)
தீர்வு:  \(\mathrm{y}= \mathrm{C} . \mathrm{F}+\mathrm{P} . \mathrm{I}\)
\(=\mathrm{Ae}^{-4 x / 3}+\mathrm{Be}^{2 x}+x \mathrm{e}^{2 x}\)
y=\(Ae^{ 2x }+Be^{ \frac { -7 }{ 3 } x }+xe^{ 2x }\)

(3D²-D-14)y=\(4-13{ e }^{ \frac { -7 }{ 3 } x }\)
துணைச் சமன்பாடு :
3m²-+m-14=0
(3m+7)(m-2)=0
m=\(\frac { -7 }{ 3 } \),2
C.F =\(Ae^{ \frac { -7 }{ 3 } ,2 } + Be^ {2x}\)
⇒ PI=\(\frac { 1 }{ \phi (D) } f(x)=\frac { 1 }{ 3D^{ 2 }+D-14 } \left( 4-13{ e }^{ \frac { -7 }{ 3 } x } \right) \)
=\(\frac { 1 }{ 3{ D }^{ 2 }+D-14 } (4)+\frac { 1 }{ 3D^{ 2 }+D-14 } \left( -13{ e }^{ \frac { -7 }{ 3 } x } \right) \)
=PI₁+PI₂
P.I₁=\(\frac { 1 }{ 3{ D }^{ 2 }+D-14 } 4e^{ 0x }\)
=\(\frac { 1 }{ 0+0-14 } 4e^{ 0x }\)  (D -க்கு பதிலாக 0 என பிரதியிட)
P.I₁=\(\frac { -4 }{ 14 } \)
P.I₂=\(\frac { 1 }{ 3D^{ 2 }+D-14 } \times (-13)e^{ \frac { -7 }{ 3 } x }\)
D -க்கு பதிலாக \(\frac { -7 }{ 3 } \) என பிரதியிட, 3D²+D-14=0
∴ P.I₂=\(x\frac { 1 }{ 6D+1 } \left( -13{ e }^{ \frac { -7 }{ 3 } x } \right) \)
D -க்கு பதிலாக \(\frac { -7 }{ 3 } \) என பிரதியிட,
∴ P.I₂=\(x\frac { 1 }{ 6\left( \frac { -7 }{ 3 } \right) +1 } \left( -13{ e }^{ \frac { -7 }{ 3 } x } \right) \)
=\(x\frac { 1 }{ -13 } \left( -13{ e }^{ \frac { -7 }{ 3 } x } \right) \\ \)=\(xe^{ \frac { -7 }{ 3 } x }\)
பொதுத் தீர்வு: y=C.F+P.I₁+P.I₂
y=\(Ae^{ \frac { -7 }{ 3 } x }+Be^{ 2x }-\frac { 2 }{ 7 } +xe^{ \frac { -7 }{ 3 } x }\)

சமன்நிலை விலையில், Q_d=Q_s
⇒ 29-2p-5\(\frac { dp }{ dt } +\frac { d^{ 2 }p }{ dt^{ 2 } } \) =5+4p
⇒ 24-6p-5\(\frac { dp }{ dt } +\frac { d^{ 2 }p }{ dt^{ 2 } } \)=0
⇒ \(\frac { d^{ 2 }p }{ dt^{ 2 } } -\frac { dp }{ dt } -6p\)=-24
(D²-5D-6)p=-24
துணைச் சமன்பாடு :
m²-5m-6=0
(m-6)(m+1)=0
⇒ m=6,-1
C.F=Ae^6t+Be^-t
P.I=\(\frac { 1 }{ \phi (D) } f(t)\)
=\(\frac { 1 }{ { D }^{ 2 }-5D-6 } (-24)e^{ 0t }\)
=\(\frac { -24 }{ -6 } \) (D-க்கு பதிலாக 0 வை பிரதியிட)
=4
பொதுத் தீர்வு p=C.F+P.I
=Ae^6t+Be^-t+4

சமான நிலையில் \(Q_d=Q_s\)
\(30-5 p+2 \frac{d p}{d t}+\frac{d^2 p}{d t^2}  =6+3 p \)
\(\frac{d^2 p}{d t^2}+2 \frac{d p}{d t}-8 p  =-24 \)
\(\left(D^2+2 D-8\right) p  =-24\)
துணைச் சமன்பாடு
\(\mathrm{m}^2+2 \mathrm{~m}-8  =0 \)
\((\mathrm{~m}+4)(\mathrm{m}-2)  =0 \)
\(\mathrm{~m}  =-4,2 \)
\(\text { C. } \mathrm{F}=A e^{m_1 t }+B e^{m_2 t}  =A e^{-4 t}+\mathrm{Be}^{2 t} \)
\(\text { P.I }  =\frac{1}{D^2+2 D-8}\left(-24 e^{e t}\right)\)
(D - க்கு பதிலாக 0 -ஐ  பதிலிட)
\(\text { P.I }=\frac{-24}{-8}=3\)
p=Ae^-4t+Be^2t+3

f(x) -ல் ஐந்து மதிப்புகள் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால், f(x) ஒரு நான்காம்படி பல்லுறுப்புக்கோவை என எடுத்துக் கொள்வோம். எனவே ஐந்தாம்நிலை வேறுபாடு பூச்சியமாகும்.
Δ⁵y_k=0 (ie) (E-1)⁵y_k=0
i.e., (E⁵-5E⁴+10E³-10E²+5E-1)yk=0
E⁵y_k-5E⁴y_k+10E³y_k-10E²y_k+5Ey_k-y_k=0   ....(1)
k = 0 என (1)-ல்  பிரதியிட
E⁵y₀-5E⁴y₀-10E²y₀+5Ey₀-y₀=0
y₅-5y₄+10y₃-10y₂+5y₁-y₀=0
y₅-5(350)+10y₃-10(260)+5(220)-200=0
y₅+10y₃=3450      .....(2)
k = 1 என (1)-ல்  பிரதியிட
E⁵y₁-5E⁴y₁-10E³y₁+5Ey³y₁-y₁=0
y₆-5y₅+10y₄-10y₃-y₁=0
430+5y₅+10(350)-10y₃+5(260)-220=0
5y₅+10y₃=5010     (3)
(3)-(2) ⇒ 4y₅=1560
y₅=390
(2)-ன் படி 390+10y₃=3450
10y₃=3450-390
y₃=306

1905 ஆம் ஆண்டின் மக்கள்தொகை காணல் அதாவது, x=1905-க்கு y-ன் மதிப்பு காணல்.
y-ன் தேவையான மதிப்பு அட்டவணையில் x-ன் ஆரம்ப மதிப்புக்கு அருகில் உள்ளது. எனவே நாம் நியூட்டனின் முன்நோக்கு இடைச்செருகல் சூத்திரத்தை பயன்படுத்துவோம்.
y_(x=x0+nh)=\({ y }_{ 0 }+\frac { n }{ 1! } \triangle y_{ 0 }+\frac { n(n-1) }{ 2! } { \triangle }^{ 2 }{ y }_{ 0 }+\frac { n(n-1)(n-2) }{ 3! } { \triangle }^{ 0 }y_{ 0 }+....\)
x = 1905 இடத்து y-ஐ காண வேண்டும். ∴ x₀+nh=1905, x₀=1891, h=10
1891+n(10)=1905 ⇒ n=1.4

x	y	Δy	Δ2y	Δ3y	Δ4y
1891	98752
		33533
1901	132285		2258
		35791		-10435
1911	168076		-8177		41376
		27614
1921	195690			30941
			22764
		50360
1931	246050

y_(x=1905)= 98752+(1.4)(33533)+\(\frac { (1.4)(0.4) }{ 2 } (2258)+\frac { (1.4)(0.4)(-0.6) }{ 6 } (-10435)+\frac { (1.4)(0.6)(-0.6)(-1.6) }{ 24 } (41358)\)
= 98752 + 46946.2 + 632.24 + 584.36 + 926.4192
= 1,47,841.2192

x	y	Δy	Δ2y	Δ3y
1951	35
1961	42	7
1971	58	16	9
1981	84	26	10	1

1955 - ஆம் வருடத்தின் மக்கள்தொகை காண,அதாவது x = 1955 எனில்,
நியூட்டனின் முன்நோக்கு இடைச்செருகல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த 
\({ y }={ y }_{ 0 }+\frac { n }{ 1! } =\triangle { y }_{ 0 }+\frac { n(n-1) }{ 2! } { \triangle }^{ 2 }{ y }_{ 0 }+\frac { n(n-1)(n-2) }{ 3! } { \triangle }^{ 3 }{ y }_{ 0 }+...\)
இங்கு x₀ + nh = 1955 ⇒ 1951 + n(10) = 1955
⇒ 10n = 1955 - 1951 = 4
⇒ 4/10 = 0.4
\({ y }=35+0.4(7)+\frac { (0.4)(0.4-1) }{ 2 } (9)+\frac { (0.4)(0.4-1) }{ 6 } (1)\)

⇒ y = 35 + 2.8 + (0.2)(-0.6)(9) + \(\frac { (0.4)(-0.6)(-1.6) }{ 6 } \)
⇒ y = 37.8 - 1.08 + 0.384/6
⇒ y = 37.8 - 1.08 + 0.064
⇒ y_(x=1955) = 36.784
= 36.784 (இலட்சங்கள்)

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \boldsymbol{x} & \boldsymbol{y} & \Delta \boldsymbol{y} & \Delta^2 y & \Delta^3 y & \Delta^4 y \\ \hline 30 & 15.9 & & & & \\ \hline & & -1 & & & \\ \hline 35 & 14.9 & & 0.2 & & \\ \hline & & -0.8 & & -0.2 & \\ \hline 40 & 14.1 & & 0 & & 0.2 \\ \hline & & -0.8 & & 0 & \\ \hline 45 & 13.3 & & 0 & & \\ \hline & & -0.8 & & & \\ \hline 50 & 12.5 & & & & \\ \hline \end{array}\)
x = 32 எனும்போது நியூட்டனின் பின்நோக்கு இடைச்செருகல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த 
x₀ = 30 h = 5
∴ x₀ + nh = 32 ⇒ 30 + n(5) = 32 [∵ h = 5]
⇒ 5n = 2
⇒ n = 2/5 = 0.4
\( \mathrm{y}=y_n+\frac{n}{1 !} \nabla y_n+\frac{n(\mathrm{n}+1)}{2 !} \nabla^2 y_n +\frac{n(n+1)(\mathrm{n}+2)}{3 !} \nabla^3 y_n+\ldots \)
\(y= 15.9+0.4(-1)+\frac{(0.4)(-0.6)}{2 !}(0.2) +\frac{(0.4)(-0.6)(-1.6)}{3 !}(-0.2) +\frac{(0.4)(-0.6)(-1.6)(-2.6)}{4 !}(0.2) \)
=  15.9-0.4-0.024-0.0128-0.00832
\(=  15.45488 \approx 15.45\)

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & y & \nabla_y & \nabla^2 y & \nabla^3 y \\ \hline 0 & 1 & & & \\ \hline & & 1 & & \\ \hline 1 & 2 & & 8 & \\ \hline & & 9 & & 6 \\ \hline 2 & 11 & & 14 & \\ \hline & & 23 & & \\ \hline 3 & 34 & & & \\ \hline \end{array}\)
x = 2.8
நியூட்டனின் பின்நோக்கு இடைச்செருகல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த
x_n + nh = 2.8 ⇒ 3 + n (1) = 2.8
⇒  n = 2.8 - 3 = -0.2
\( \mathrm{y}=y_n+\frac{n}{1 !} \nabla y_n+\frac{n(\mathrm{n}+1)}{2 !} \nabla^2 y_n +\frac{n(n+1)(\mathrm{n}+2)}{3 !} \nabla^3 y_n+\ldots \)
\(y=34+\frac{(-0.2)}{1 !}(23)+\frac{(-0.2)(0.8)}{2 !}(14) +\frac{(-0.2)(0.8)(1.8)}{3 !}(6) \)
\(y=34-4.6-1.12-0.288=27.992 \)
= 22.0948

x₀ = 1974, x₁ = 1978, x₂ = 1982, x₃ = 1990
y₀ = 25, y₁ = 60, y₂ = 80, y₃ = 170, x = 1986.
∴ y = f(x) = \(\frac { (x-{ x }_{ 1 })(x-{ x }_{ 2 })(x-{ x }_{ 3 }) }{ ({ x }_{ 0 }-{ x }_{ 1 })({ x }_{ 0 }-{ x }_{ 2 })({ x }_{ 0 }-{ x }_{ 3 }) } \times { y }_{ 0 }+\frac { (x-{ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 2 })(x-{ x }_{ 3 }) }{ ({ x }_{ 1 }-{ x }_{ 0 })({ x }_{ 1 }-{ x }_{ 2 })(x_{ 1 }-{ x }_{ 3 }) } \times { y }_{ 1 }+\frac { (x-{ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 1 })(x-{ x }_{ 3 }) }{ ({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 0 })({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 })({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 3 }) } \times { y }_{ 2 }+\frac { (x-{ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 1 })(x-{ x }_{ 2 }) }{ ({ x }_{ 3 }-{ x }_{ 0 })({ x }_{ 3 }-{ x }_{ 1 })({ x }_{ 3 }-{ x }_{ 2 }) } \times { y }_{ 3 }\)
\( =\frac{(8)(4)(-4)}{(-4)(-8)(-16)} 25+\frac{(12)(4)(-4)}{(4)(-4)(-12)} 60+ \frac{(12)(8)(-4)}{(8)(4)(-8)} 80+\frac{(12)(8)(4)}{(16)(12)(8)} 170 \)
\( =\frac{25}{4}-60+120+\frac{170}{4}=\frac{195}{4}+60 \)
 =48.75+60=108.75 (ஆயிரம் டன்கள்)

இங்கு x -ன் மதிப்புகள் சம பிரிவற்றவை. எனவே இலெக்ராஞ்சியின் சூத்திரத்தை பயன்படுத்தவும்.
x₀=5, x₁=6, x₂=9, x₃=11
y₀=12, y₁=13, y₂=14, y₃=16
y=f(x)=\(\frac { (x-{ x }_{ 1 })(x-{ x }_{ 2 })(x-{ x }_{ 3 }) }{ (x_{ 0 }-{ x }_{ 1 })({ x }_{ 0 }-{ x }_{ 2 })({ x }_{ 0 }-{ x }_{ 3 }) } \times { y }_{ 0 }+\frac { (x-{ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 2 })(x-{ x }_{ 3 }) }{ (x_{ 1 }-{ x }_{ 0 })({ x }_{ 1 }-{ x }_{ 2 })({ x }_{ 1 }-{ x }_{ 3 }) } \times { y }_{ 1 }+\frac { (x-{ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 1 })(x-{ x }_{ 3 }) }{ (x_{ 2 }-{ x }_{ 0 })({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 })({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 3 }) } \times y_{ 2 }+\frac { (x-{ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 1 })(x-{ x }_{ 2 }) }{ (x_{ 3 }-{ x }_{ 0 })({ x }_{ 3 }-{ x }_{ 1 })({ x }_{ 3 }-{ x }_{ 2 }) } \times { y }_{ 3 }\)
=\(\frac { (x-6)(x-9)(x-11) }{ (5-6)(5-6)(5-11) } (12)+\frac { (x-5)(x-9)(x-11) }{ (6-5)(6-9)(6-9) } (13)+\frac { (x-5)(x-6)(x-11) }{ (9-5)(9-6)(9-11) } (14)+\frac { (x-5)(x-6)(x-9) }{ (11-5)(11-6)(11-9) } (16)\)
x = 10 என்க.
y(10)=f(10)=\(\frac { 4(1)(-1) }{ (-1)(-4)(-6) } (12)+\frac { (5)(1)(-1) }{ (1)(-3)(-5) } (13)+\frac { 5(4)(-1) }{ 4(3)(-2) } (14)+\frac { (5)(4)(1) }{ 6(5)(2) } (16)\)
=\(\frac { 1 }{ 6 } (12)-\frac { 13 }{ 3 } +\frac { 5(14) }{ 3\times 2 } +\frac { 4\times 16 }{ 12 } \)
=14.6663

(i) நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பின் நிபந்தனையிலிருந்து
\(\sum _{ i=1 }^{ \infty }{ p({ x }_{ i })=1 } \)
ஃ \(\sum _{ i=1 }^{ \infty }{ p({ x }_{ i })=1 } \)
0+a+2a+2a+3a+a²+2a²+7a²+a = 1
10a²+9a–1 = 0
(10a–1)(a+1) = 0
\(a=\cfrac { 1 }{ 10 } \) அல்லது -1
ஆனால் p(x) ஆனது குறை மதிப்பைக் கொண்டிருக்க முடியாது என்பதால், a = – 1 ஆனது பொருந்தாது எனவே ,\(a=\cfrac { 1 }{ 10 } \) ஆகும்.
(ii) P(X<3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
=0+a+2a = 3a 
= \(\cfrac { 3 }{ 10 } \left( \therefore a=\cfrac { 1 }{ 10 } \right) \)
(iii) P(X>2)=1−P(X≤2)
= 1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)]
= \(1-\cfrac { 3 }{ 10 } \)
= \(\cfrac { 7 }{ 10 } \)
(iv) P(2  < X ≤ 5) = P (X = 3) +  P( X = 4 )+ P (X = 5)
= 2a+3a+a²
= 5a+a²
= \(\cfrac { 5 }{ 10 } +\cfrac { 1 }{ 100 } = \cfrac { 51 }{ 100 }\)

இது நிகழ்தகவு நிறை சார்பு என்பதால் 
\(\sum_{i=1}^{\infty} p\left(x_i\right) =1 \)
\(\sum_{i=0}^{7} p\left(x_i\right) =1 \)
⇒ 0+k+2k+2k+3k+k²+2k²+7k²+k = 1
⇒ 10k²+9k = 1
⇒10k²+9k-1 = 0
(k+1)(10k-1) = 0 ⇒k = -1
⇒ k = \(\frac{1}{10}\)
\([\because p(x_i) \ge 0 ]\)
ii) \(P(X<6) =1-P(X \geq 6) \)
\( =1-[P(X=6)+P(X=7)] \)
\( =1-\left(2 k^2+7 k^2+k\right) \)
\( =1-\left(9 k^2+k\right) \)
\( =1-\left(\frac{9}{100}+\frac{1}{10}\right)=1-\frac{9}{100}-\frac{1}{10} \)
\( =\frac{100-9-10}{100}=\frac{81}{100} \)
\(P(X \geq 6)=P(X=6)+P(X=7) \)
\( =2 k^2+7 k^2+k=9 k^2+k \)
\( =\frac{9}{100}+\frac{1}{10}=\frac{9+10}{100}=\frac{19}{100} \)
P(0X<5) = P(X = 1)+P(X = 2)+P(X = 3)+P(X = 4)
= k+2k+2k+3k
\(8k=\left( \frac { 8 }{ 10 } \right) =\frac { 4 }{ 5 } \)
iii) சோதனை மற்றும் பிழை முறைப்படி x இன் குறைந்தபட்ச மதிப்பு 
\( P(X \leq 0)=0<\frac{1}{2} ; P(X \leq 1)=\frac{1}{10}<\frac{1}{2} \)
\(P(X \leq 2)=\frac{3}{10}<\frac{1}{2} ; P(X \leq 3)=\frac{5}{10}=\frac{1}{2} \)
\(P(X\le 4 ) =\frac { 8 }{ 10 } =\frac { 4 }{ 5 } >\frac { 1 }{ 2 } \)
\(\therefore P(X\le x )\frac { 1 }{ 2 } \) - க்கான x இன் குறைந்தபட்ச மதிப்பு 4 ஆகும் 

சமவாய்ப்பு மாறி X-இன் சராசரி : \(E\left( { X } \right) =\underset { x }{ \Sigma } { x }{ P }_{ X }\left( x \right) \)
= (1 × 0.15) + (2 × 0.10) + (3 × 0.10) + (4 × 0.01) + (5 × 0.08) + (6 × 0.01) + (7 × 0.05) + (8 × 0.02) + (9 × 0.28) + (10 × 0.20)
E(X)=6.18
\(E\left( { X^{ 2 } } \right) =\underset { x }{ \Sigma } { x }{ ^{ 2 }P }_{ X }\left( x \right) \)
= (1² × 0.15) + (2² × 0.10) + (3² × 0.10) + (4² × 0.01) + (5² × 0.08) + (6² × 0.01) + (7² × 0.05) + (8² × 0.02) + (9² × 0.28) + (10² × 0.20)
E(X²)= 50.38
சமவாய்ப்பு மாறியின் மாறுபாட்டளவு : V(X)= E(X²)−[E(X)]²
= 50.38 – (6.18)²
= 12.19
எனவே, கொடுக்கப்பட்ட தனித்த பரவலின் சராசரி மற்றும் மாறுபாட்டு அளவை முறையே 6.18 மற்றும் 12.19 ஆகும்.

\(E\left( X \right) =\underset { x }{ \Sigma } x{ P }_{ X }\left( x \right) \)
= (0 × 0.2) + (1 × 0.1) + (2 × 0.4) + (3 × 0.3)
= 1.8
\(E\left( X^{ 2 } \right) =\underset { x }{ \Sigma } x^{ 2 }{ P }_{ X }\left( x \right) \)
=(0² × 0.2) + (1² × 0.1) + (2² × 0.4) + (3² × 0.3)
= 4.4
E(X + 2X²) = 3E(X) + 2E(X²)
= (3 × 1.8) + (2 × 4.4)
= 14.2

\(E(X)=\int _{ -\infty }^{ \infty }{ xf\left( x \right) } dx\) என்பது நமக்குத் தெரியும் 
= \(\int _{ 0 }^{ 1 }{ x4{ x }^{ 3 }dx } \)
= \(4\left[ \cfrac { { x }^{ 5 } }{ 5 } \right] _{ 0 }^{ 1 }\)
= \(E(X)=\cfrac { 4 }{ 5 } \)
\(E\left( { X }^{ 2 } \right) \int _{ -\infty }^{ \infty }{ { x }^{ 2 }f(x)dx } \)
= \(\int _{ 0 }^{ 1 }{ { x }^{ 2 }{ 4x }^{ 3 }dx } \)
= \(4\left[ \cfrac { { x }^{ 6 } }{ 6 } \right] _{ 0 }^{ 1 }\)
= \(\frac { 4 }{ 6 } = \frac { 2 }{ 3 } \)
\(V(X)=E\left( { X }^{ 2 } \right) -\left[ E\left( X \right) ^{ 2 } \right] \)
= \(\cfrac { 2 }{ 3 } -\left[ \cfrac { 4 }{ 5 } \right] ^{ 2 }\)
= \(\cfrac { 2 }{ 75 } \)

\(\int _{ -\infty }^{ \infty }{ f(x) } dx=1\) என்பது நமக்குத் தெரியும் 
\(\int _{ -\infty }^{ \infty }{ ke^{ -|x| } } dx=1\)
\(k\int _{ -\infty }^{ \infty }{ e^{ -|x| } } dx=1\)
\(2k\int _{ -\infty }^{ \infty }{ e^{ -|x| } } dx=1\) ( ∴ e^{−| x |} ஒரு இரட்டை சார்பு))
\(2k\left[ \cfrac { { e }^{ -x } }{ -1 } \right] _{ 0 }^{ \infty }=1\) 
\(\therefore k = \frac {1}{2}\)
சமவாய்ப்பு மாறியின் சராசரி:
\(E(X)=\int _{ -\infty }^{ \infty }{ xf(x)dx } \)
\(E(X)=\int _{ -\infty }^{ \infty }{ xke^{ -|x| }dx } \)
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \int _{ -\infty }^{ \infty }{ xe^{ |x| }dx } \)
 ( ∵ xe^{−| x |} ஒரு ஒற்றைச் சார்பு))
= 0
\(E\left( { X }^{ 2 } \right) =\int _{ -\infty }^{ \infty }{ f(x)dx } \)
= \(\int _{ -\infty }^{ \infty }{ { x }^{ 2 }ke^{ -|x| }dx } \)
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \int _{ -\infty }^{ \infty }{ { x }^{ 2 }{ e }^{ |x| }dx } \)
= \(\int _{ 0 }^{ \infty }{ { x }^{ 2 }{ e }^{ -x }dx } \)
 ( ∵ x²e^{−| x |} ஒரு இரட்டைச் சார்பு))​​​​​​​
= \(\Gamma (3)\) \(\left( \because \Gamma (\alpha )=\int _{ 0 }^{ \infty }{ { e }^{ -x }dx,\alpha >0;\Gamma } \left( n-1 \right) ! \right) \)
= 2
\(V(X)=E\left( { X }^{ 2 } \right) -\left[ E\left( X \right) \right] \)
= 2-[0]²
= 2

\( x_0=0, x_1=1, x_2=3, x_3=4, x=2 \)
\( \mathrm{y}_0=5, \mathrm{y}_1=6, \mathrm{y}_2=50, \mathrm{y}_3=105 \text {. } \)
\( \mathrm{y}=\frac{\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)}{\left(x_0-x_1\right)\left(x_0-x_2\right)\left(x_0-x_3\right)} \mathrm{y}_0 +\frac{\left(x-x_0\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)}{\left(x_1-x_0\right)\left(x_1-x_2\right)\left(x_1-x_3\right)} y_1 +\frac{\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right)\left(x-x_3\right)}{\left(x_2-x_0\right)\left(x_2-x_1\right)\left(x_2-x_3^{\prime}\right)} y_2 +\frac{\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)}{\left(x_3-x_0\right)\left(x_3-x_1\right)\left(x_3-x_2\right)} y_3 \)
\(=\frac{(1)(-1)(-2)}{(-1)(-3)(-4)}(5)+\frac{(2)(-1)(-2)}{(1)(-2)(-3)}(6)+ \frac{2(1)(-2)}{3(2)(-1)}(50)+\frac{(2)(1)(-1)}{4(3)(1)}(105) \)
\(=-0.833+4+33.333-17.5=19 \)