(i) \(a\ast e=e\ast a=a\) எனில் e என்பது சமனி உறுப்பு என்பதை நாம் அறிவோம்.
\(\\ a\ast a+0=a\\ 0\ast a=0+a=a\\ a\ast 0=0\ast a=a\) 
(ii) ஈருறுப்புச் செயலி * ஐப் பொறுத்து ஒவ்வொரு \(a\epsilon A\) க்கும் நேர்மாறு உள்ளது மற்றும் b என்பது A-ல் உள்ள உறுப்பு எனில் b என்பது a ன் நேர்மாறு எனப்படுகிறது.
\(a\ast (6-a)=a+(6-a)-6=0\\ (6-a)\ast a=(6-a)+a-6=0\) 
எனவே,{0,1,2,3,4,5} என்ற கணத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு 'a' க்கும் நேர்மாறு உள்ளது. மேலும் (6-a) என்பது 'a' ன் நேர்மாறு.

p	q	r	\(\neg p\)	\(\neg q\)	\(\neg q\vee r\)	\(p\rightarrow \left( \neg q\vee r \right) \)	\(\neg p\vee \left( \neg q\vee r \right) \)
T	T	T	F	F	T	T	T
T	T	F	F	F	F	F	F
T	F	T	F	T	T	T	T
T	F	F	F	T	T	T	T
F	T	T	T	F	T	T	T
F	T	F	T	F	F	T	T
F	F	T	T	T	T	T	T
F	F	F	T	T	T	T	T

அட்டவணையிலிருந்து \(p\rightarrow \left( \neg q\vee r \right) \) மற்றும் \(\neg p\vee \left( \neg q\vee r \right) \) ஆகியவற்றின் நிரல்கள் ஒரே மாதிரியாக உள்ளன என்பது தெளிவாகிறது.
\(\therefore p\rightarrow \left( \neg q\vee r \right) =\neg p\vee \left( \neg q\vee r \right) \)  எனவே நிறுவப்பட்டது.

கொடுக்கப்பட்ட சார்பை காரணிப்படுத்த நமக்குக் கிடைப்பது y = f (x) = (x - 3)(x + 2) .

(1) சார்பு f (x) -ன் சார்பகம் முழு மெய் எண் கோடாகும்.
(2) y = 0 எனப் பிரதியிட, x =-2,3 எனப் பெறலாம். எனவே, x -வெட்டுத்துண்டுகள் (−2,0) மற்றும் (3,0) . x = 0 எனப் பிரதியிட y =-6 எனப் பெறலாம். எனவே, y -வெட்டுத்துண்டு (0,−6).
(3) f '(x) = 2x -1 மேலும் இதிலிருந்து x=\(\frac { 1 }{ 2 } \) -ல் வளைவரையின் நிலைப்புள்ளி அமையும்.
(4) f''(x) = 2 > 0,∀x . எனவே, x =\(\frac { 1 }{ 2 } \) -ல் வளைவரை இடஞ்சார்ந்த சிறும மதிப்பை அடையும். இதன் மதிப்பு f\(\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) =-\frac { 25 }{ 4 } \)
(5) சார்பின் வீச்சகம் y \(\ge -\frac { 25 }{ 4 } \) 
(6) f''(x) = 2 > 0,∀x என்பதால் இந்த சார்பு மெய் எண் நேர்க்கோடு முழுமையிலும் மேல்நோக்கி குழிவு ஆகும்.
(7) f (x) = 2 ≠ 0,∀x எனவே வளைவரைக்கு வளைவு மாற்றப் புள்ளிகள் இல்லை.
(8) வளைவரைக்கு தொலைத் தொடுகோடுகள் இல்லை. இவ்வளைவரையின் தோராய வரைபடம் வலது பக்கம் காட்டப்பட்டுள்ளது.

கொடுக்கப்பட்டது \(x\cfrac { dy }{ dx } =y-x{ cos }^{ 2 }\cfrac { y }{ x } \) 
சமன்பாட்டை \(\cfrac { dy }{ dx } =\cfrac { y-x{ cos }^{ 2 }\frac { y }{ x } }{ x } \) எனுமாறு எழுதலாம்.
இது ஒரு சமப்படித்தான வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.
\(y=vx\)
\(\frac { dy }{ dx } =v(1)+x\cfrac { dv }{ dx } \) 
y மற்றும் \(\cfrac { dy }{ dx } \) ன் மதிப்பை சமன்பாடு (10 ல் பிரதியிட 
\(v+\frac { xdv }{ dx } =\cfrac { vx-x{ cos }^{ 2 } }{ x } \) 
\(v+\cfrac { xdv }{ dx } =\cfrac { vx-x{ cos }^{ 2 }(v) }{ x } \) 
\(v+\cfrac { xdv }{ dv } =x\cfrac { \left( v-{ cos }^{ 2 }v \right) }{ x } \) 
\(x\cfrac { dv }{ dx } =v-{ cos }^{ 2 }v-v\) 
\(\cfrac { dv }{ dx } =\cfrac { -{ cos }^{ 2 } }{ x } \) 
\(\cfrac { dv }{ { cos }^{ 2 }v } =\cfrac { -dx }{ x } \) 
இருபுறமும்  தொகையிடக் கிடைப்பது 
\(\int { { sec }^{ 2 }vdx } =-\int { \cfrac { dx }{ x } } \) 
\(tanv=-logx+logC\) 
\(tanv=logC-logx\) 
\(tanv=log\left( \cfrac { c }{ x } \right) \) 
\({ e }^{ tanv }=\cfrac { C }{ x } \) 
\(C=x{ e }^{ tanv }\) 
\(C={ xe }^{ tan\left( \frac { y }{ x } \right) }\) என்பது தேவையான தீர்வாகும்.

\(\frac { \partial f }{ \partial x } \) (x,y) -ஐ முதலில் கணக்கிடுவோம். f என்பது இரு சார்புகளின் கூட்டல் எனவே
\(\frac { \partial f }{ \partial x } =\frac { \partial }{ \partial x } \sin({ xy }^{ 2 })+\frac { \partial }{ \partial x } \left( { e }^{ { x }^{ 3 }+5y } \right) \)
\(=\cos(x{ y }^{ 2 })\frac { \partial }{ \partial x } (x{ y }^{ 2 })+{ e }^{ { x }^{ 3 }+5y }\frac { \partial }{ \partial x } \left( { x }^{ 3 }+5y \right) \)
=cos(xy² ) y² + \({ e }^{ { x }^{ 3 }+5y }\) 3x²
இதுபோல்,
\(\frac { { \partial }^{ }f }{ { \partial y\ } } =\frac { \partial }{ \partial y } \sin(x{ y }^{ 2 })+\frac { \partial }{ \partial y } \left( { e }^{ { x }^{ 3 }+5y } \right) \)
\(=\cos(x{ y }^{ 2 })\frac { \partial }{ \partial y } (x{ y }^{ 2 })+{ e }^{ { x }^{ 3 }+5y }\frac { \partial }{ \partial y } \left( { x }^{ 3 }+5y \right) \)
=cos(xy²)2xy+5\({ e }^{ { x }^{ 3 }+5y }\)
அடுத்து,
\(\frac { { \partial }^{ 2 }f }{ { \partial y\partial x } } =\frac { \partial }{ \partial y } \left( \frac { \partial f }{ \partial x } \right) =\frac { \partial }{ \partial y } ({ y }^{ 2 }cos(x{ y }^{ 2 })+3{ x }^{ 2 }{ e }^{ { x }^{ 3 }+5y })\)
\(=\frac { \partial }{ \partial y } ({ y }^{ 2 }cos(x{ y }^{ 2 }))+\frac { \partial }{ \partial y } ({ 3x }^{ 2 }{ e }^{ { x }^{ 3 }+5y })\)
=2y cos(xy²)+y²(-sin(xy²)2xy) + 3x² \({ e }^{ { x }^{ 3 }+5y }\) 5
=2y cos(xy²)+2xy³ sin(xy²)+15 x² \({ e }^{ { x }^{ 3 }+5y }\)
இறுதியாக ,
\(\frac { { \partial }^{ 2 }f }{ { \partial x\partial y } } =\frac { \partial }{ \partial y } \left( \frac { \partial f }{ \partial x } \right) =\frac { \partial }{ \partial y } (cos(x{ y }^{ 2 })2xy+5{ e }^{ { x }^{ 3 }+5y })\)
=-sin(xy²)y²2xy+cos(xy²)2y+5\({ e }^{ { x }^{ 3 }+5y }\) 3x²
=2y cos(xy²)- 2xy³ sin(xy²)+15x²\({ e }^{ { x }^{ 3 }+5y }\)

செவ்வகலத்தின் சமன்பாடு x = a  ஆகும்.  இச்செவ்வகலம் பரவளையத்தை L(a,2a)  மற்றும்   L₁(a,-2a)  என்ற புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது. தேவையான பரப்பு படம் ல் நிழலிடப்பட்டுள்ளது.
பரவளையம் சமச்சீராக இருப்பதால் தேவையான பரப்பு  A  ஆனது y = 2 \(\sqrt a \sqrt x\)  என்ற பரவளையத்தின் பகுதி x -  அச்சு, x = 0 மற்றும் x = a  ஆகியவற்றால் அடைபடும் பரப்பைப் போல் இரு மடங்காகும்.
எனவே செங்குத்தான பட்டைகளைப் பயன்படுத்தி  பரப்பு காண நமக்குக் கிடைப்பது

A = 2 \(\int ^{a}_{0} y dx = 2 \int ^{a}_{0} 2\sqrt {a} \sqrt{ x} dx \) =  \(4\sqrt {a} [\frac {2}{3} x ^ {\frac {3}{2}}]^{a}_{0}\)
 = 4 \(\sqrt{a} \times \frac {2}{3} a^{\frac {3}{2}} = \frac {8a^2}{3}\) .

இருமுறை எறிதலின் மொத்தத் தொகை X -ஐ குறிப்பதால், X -ஆனது 2, 3, 4, 5, மற்றும் 6 ஆகிய மதிப்புகளைக் கொண்டிருக்கும்.
அருகிலுள்ள அட்டவணை S-லிருந்து,

சமவாய்ப்பு மாறியின் மதிப்பு	2	3	4	5	6	மொத்தம்
நேர்மாறு பிம்பங்களில் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை	1	4	10	12	9	36

கூறுவெளி S

\(P(X=2)=\frac{1}{36},\)
\(P(X=3)=\frac{4}{36},\)
\(P(X=4)=\frac{10}{36},\)
\(P(X=5)=\frac{12}{36},\)
மற்றும் \(P(X=6)=\frac{9}{36}.\)
(i) நிகழ்தகவு நிறை சார்பானது.

x	2	3	4	5	6
f(x)	\(\frac{1}{36}\)	\(\frac{4}{36}\)	\(\frac{10}{36}\)	\(\frac{12}{36}\)	\(\frac{9}{36}\)

 

(ii) குவிவு பரவல் சார்பு வரையறைப்படி தனிநிலை சமவாய்ப்பு மாறியின் குவிவு பரவல் சார்பானது,

\(F(x)=P(X\le x) =\underset { { x }_{ i }\le x }{ \Sigma } { P(X={ x }_{ i }) }\),
P(X < x)  = 0, −∞ < x < 2.
\(F(2)=P(X\le 2)=\sum _{ -\infty }^{ 2 }{ { P(X={ x }) }={ P(X<2) }+P(X=2)=0+\frac { 1 }{ 36 } } =\frac { 1 }{ 36 } .\)
\(F(3)= P(X\le 3)=\sum _{ -\infty }^{ 3 }{ { P(X={ x }) }={ P(X<2) }+P(X=2)+P(X=3)=0+\frac { 1 }{ 36 }+\frac { 4 }{ 36 } } =\frac { 5 }{ 36 } .\)
\(F(4)= P(X\le 4)=\sum _{ -\infty }^{ 4 }{ { P(X={ x }) }={ P(X<2) }+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=0+\frac { 1 }{ 36 }+\frac { 4 }{ 36 }+\frac { 10 }{ 36 } } =\frac {15 }{ 36 } .\)
\(F(5)= P(X\le 5)=\sum _{ -\infty }^{ 5 }{ { P(X={ x }) }={ P(X<2) }+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)}\)= \(0+\frac{1}{36}+\frac{4}{36}+\frac{10}{36}+\frac{12}{36}=\frac{27}{36}.\)
\(F(6)= P(X\le 6)=\sum _{ -\infty }^{ 6 }{ { P(X={ x })}}\)
= P(X < 2) + P(X = 2) + P(X = 3)+ P(X = 4)+ P(X = 5)+ P(X = 6)
= \(0+\frac{1}{36}+\frac{4}{36}+\frac{10}{36}+\frac{12}{36}+\frac{9}{36}=1.\)
எனவே , குவிவு பரவல் சார்பானது
,\(\begin{cases}\begin{matrix}0,&-\infty < x< 2\end{matrix}\\\begin{matrix}\frac{1}{36},&2 \le x< 3\end{matrix}\\\begin{matrix}\frac{5}{36},&3 \le x< 4\end{matrix}\\\begin{matrix}\frac{15}{36},&4 \le x< 5\end{matrix}\\\begin{matrix}\frac{27}{36},&5 \le x< 6\end{matrix}\\\begin{matrix}1,&6 \le x< \infty\end{matrix}\end{cases}\)

(iii) \(P(3\le X<6)=\sum _{ x=3 }^{ 5 }{ P(X={ x }_{ i })=P(X=3)+P(X=4) } +P(X=5)\)
= \(\frac{4}{36}+\frac{10}{36}+\frac{12}{36}=\frac{26}{36}.\)
(iv) \(P(X\ge4)=\sum _{ x=4 }^{ \infty }{ P(X={ x }_{ i })}\)
= P(X = 4)+P(X = 5)+P(X = 6)
=\(\frac{10}{36}+\frac{12}{36}+\frac{9}{36}=\frac{31}{36}.\)

தளங்களுக்கு செங்குத்து வெக்டர் 
x + 2y +3z - 7 = 0, 2x - 3y + 4z = 0
\(\overset { \rightarrow }{ b } =\overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \) மற்றும் \(\overset { \rightarrow }{ c } =2\overset { \wedge }{ i } -3\overset { \wedge }{ j } +4\overset { \wedge }{ k } \)
∴ தேவையான தளம் \(\overset { \rightarrow }{ a } =\overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \) என்ற புள்ளி வழி செல்கிறது மற்றும் இரண்டு வெக்டர்கள் \(\overset { \rightarrow }{ b } \) மற்றும் \(\overset { \rightarrow }{ c } \) க்கு இணை 
∴ தளத்திற்கான துணையலகு வெக்டர் சமன்பாடு.
\(\overset { \rightarrow }{ r } =\overset { \rightarrow }{ a } +s\overset { \rightarrow }{ b } +t\overset { \rightarrow }{ c } s,t\epsilon R\)
\(\overset { \rightarrow }{ r } =\left( \overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \right) +s\left( \overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \right) +t\left( 2\overset { \wedge }{ i } -3\overset { \wedge }{ j } +4\overset { \wedge }{ k } \right) \)
கார்டீசியன் சமன்பாடு \(\left| \begin{matrix} x-{ x }_{ 1 } \\ { b }_{ 1 } \\ { c }_{ 1 } \end{matrix}\begin{matrix} y-{ y }_{ 1 } \\ { b }_{ 2 } \\ { c }_{ 2 } \end{matrix}\begin{matrix} z-{ z }_{ 1 } \\ { b }_{ 3 } \\ { c }_{ 3 } \end{matrix} \right| =0\)
\(\Rightarrow \left| \begin{matrix} x-1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} y-1 \\ 2 \\ -3 \end{matrix}\begin{matrix} z+1 \\ 3 \\ 4 \end{matrix} \right| =0\)
⇒ (x - 1) (8 + 9) - (y - 1) (4 - 6) + (z +1) (-3 - 4) = 0
⇒ 17 (x - 1) + 2 (y - 1) - 7 (z + 1) = 0
⇒ 17x - 17 + 2y - 2 - 7z - 7 = 0
⇒ 17x + 2y - 7z - 26 = 0

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை மாற்றியமைக்க,
(2x−3)(3x−2)(6x−1)(x−2)−5=0
சோடிகளாகப் பெருக்க,
(6x² −13x+6) (6x² −13x+2)−5 = 0 .
இதில் y=6x²-13x எனப் பிரதியிட, சமன்பாடு
( y+6) ( y+2)−5 = 0
என மாறுகிறது. அதாவது,
y² + 8y + 7 = 0 .
இச்சமன்பாட்டைத் தீர்க்க,y=−1 மற்றும் y=−7 எனக் கிடைக்கிறது.
y=6x²-13x-ல் y-ன் மதிப்புகளை பிரதியிட,
6x² −13x+1 = 0
6x² −13x+7 = 0
எனப் பெறுகிறோம். இவ்விரு சமன்பாட்டுகளையும் தீர்க்க.
\(x = 1 ,x=\frac { 7 }{ 6} ,x=\frac { 13+\sqrt { 145 } }{ 12 } \) மற்றும் x=\(\frac { 13-\sqrt { 145 } }{ 12 } \)
என சமன்பாட்டின் மூலங்களைப் பெறுகிறோம்.

பரவளையம் பாலம் கீழ் நோக்கி திறப்புடைய பரவளையம் என்க. அதனுடைய சமன்பாடு x² = -4ay
ஆதலால் 10 மீ உயர மையம் (0, 0) மற்றும் AD = 30மீ 

\(\therefore\) (15,-10) என்ற புள்ளி A ஆனது IV ஆம் கால்பகுதியில் உள்ளது.A(15,-10),(1) ல் அமைந்துள்ளது.
15² = -4a(-10)
\(\Rightarrow \cfrac { 225 }{ 40 } = a\) 
(1) லிருந்து \({ x }^{ 2 }=-4\cfrac { 225 }{ 40 } y\) 
B(6, y₁) பரவளையத்தில் அமைந்துள்ளது.
\( 6^2 =-\frac{225}{10} y_1 \\ y_1 =-\frac{36 \times 10}{225}=\frac{-8}{5}=\frac{8}{5} \\ B C =A C-A B=10-\frac{8}{5} \\ =\frac{50-8}{5}=\frac{42}{5}=8.4 \)
\(\therefore\) இருபுறமும் பாலத்தின் உயரம் = 8.4 மீ 

கொடுக்கப்பட்டது z = x + iy
\(Im\left( \frac { 2z+1 }{ iz+1 } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { 2(x+iy)+1 }{ i(x+iy)+1 } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { (2x+1)+2iy }{ ix+{ i }^{ 2 }y+1 } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { (2x+1)+2iy }{ ix-y+1 } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { (2x+1)+iy }{ (1-y)+ix } \right) =0\)
பகுதியின் இணையால் தொகுதி மற்றும் பகுதியை பெருக்க கிடைப்பது.
\(Im\left( \frac { (2x+1)+2iy }{ (1-y)+ix } \times \frac { (1-y)-ix }{ (1-y)-ix } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { (2x+1)+2iy\times (1-y)-ix }{ (1-{ y })^{ 2 }+{ x }^{ 2 } } \right) =0\)
கற்பனை பகுதியை தேர்ந்தெடுக்க கிடைப்பது,
\(\frac { (2x+1)+(-x)\times 2y(1-y) }{ (1-{ y })^{ 2 }+{ x }^{ 2 } } =0\)
⇒ (2x+ 1)-x+2y(1-y) = 0
⇒ -2x² - x + 2y - 2y² = 0
⇒ 2x² + 2y² + x - 2y = 0
எனவே z - ன் நியமப்பாதை
2x² + 2y² + x - 2y = 0

tan^-1 x + tan^-1y + tan^-1z = tan^-1 \(\left( \frac { x+y+z-xyz }{ 1-xy-yz-zx } \right) \)
கொடுக்கப்பட்ட tan^-1 x + tan^-1 y + tan^-1 z = π
⇒ π = tan^-1 \(\left( \frac { x+y+z-xyz }{ 1-xy-yz-zx } \right) \)
⇒ tan π = \(\frac { x+y+z-xyz }{ 1-xy-yz-zx } \)
⇒ 0 = \(\frac { x+y+z-xyz }{ 1-xy-yz-zx } \) 
[∵ tan π = 0]
⇒ x + y + z - xyz = 0
⇒ x + y + z = xyz

கொடுக்கப்பட்ட \(A=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
\(|A|=0-1\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right| +1\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}\)
= -1( 0-1) +1(1-0) =1+1 = 2
\(adjA{ =\left[ \begin{matrix} +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \end{matrix}\begin{matrix} -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \end{matrix}\begin{matrix} +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(={ \left[ \begin{matrix} \left( 0-1 \right) \\ -\left( 0-1 \right) \\ +\left( 1-0 \right) \end{matrix}\begin{matrix} -\left( 0-1 \right) \\ +\left( 0-1 \right) \\ -\left( 0-1 \right) \end{matrix}\begin{matrix} +\left( { 1-0 } \right) \\ -\left( 0-1 \right) \\ +\left( 0-1 \right) \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(=\left[ \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right] ^{ T }=\left[ \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right] \)
\(\therefore { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ 2 } \left[ \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right] ....(1)\)
இங்கு \( { A }^{ 2 }=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} +1 \\ +0 \\ +1 \end{matrix}\begin{matrix} +1 \\ +1 \\ +0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} +0 \\ +0 \\ +0 \end{matrix}\begin{matrix} +1 \\ +1 \\ +0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} +1 \\ +0 \\ +1 \end{matrix}\begin{matrix} +0 \\ +0 \\ +0 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right] \)
\({ A }^{ 2 }-3I=\left[ \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right] -3\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} -3 \\ -0 \\ -0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} -0 \\ -3 \\ -0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} -0 \\ -0 \\ -3 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right] \)
\({ A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ 2 } \left[ { A }^{ 2 }-3I \right] \)

கொடுக்கப்பட்ட  \(\vec { a }\) = -2\(\hat { i }\)+5\(\hat { j }\)+3\(\hat { k }\), \(\vec { b }\) = \(\hat { i }\)+3\(\hat { j }\)-2\(\hat { k }\), மற்றும் \(\vec { c }\) = -3\(\hat { i }\)+\(\hat { j }\)+4\(\hat { k }\)
திண்ம இணைகரத்தின் கனஅளவு \(\vec { a } .\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) \) 
= \(\left| \begin{matrix} -2 & 5 & 3 \\ 1 & 3 & -2 \\ -3 & 1 & 4 \end{matrix} \right| =-2\left| \begin{matrix} 3 & -2 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right| -5\left| \begin{matrix} 1 & -2 \\ -3 & 4 \end{matrix} \right| +3\left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ -3 & 1 \end{matrix} \right| \) 
= -2 (12 + 2) -5(4 - 6) + 3(1 + 9)
= -2 (14) - 5(-2) + 3 (10) = -28 + 10+ 30
= 12
அடிப்பக்க இணைகரத்தின் வெக்டர் பரப்பு \(\vec { b } \times \vec { c } \) 
= \(\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 1 & 3 & -2 \\ -3 & 1 & 4 \end{matrix} \right| =\hat { i } \left| \begin{matrix} 3 & -2 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right| -\hat { j } \left| \begin{matrix} 1 & -2 \\ -3 & 4 \end{matrix} \right| +\hat { k } \left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ -3 & 1 \end{matrix} \right| \) 
= \(\hat { i } (12+2)-\hat { j } \left( 4-6 \right) +\hat { k } \left( 1+9 \right) \) 
= \(\hat { i } (14)-\hat { i } (-2)+\hat { k } (10)=14\hat { i } +2\hat { j } +10\hat { k } \) 
இணைகரத்தின் பரப்பு  = \(\sqrt { { 14 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 }+10^{ 2 } } \) 
= \(\sqrt { 196+4+100 } =\sqrt { 300 } =10\sqrt { 3 } \) 
திண்ம இணைகரத்தின் கனஅளவு = அடிப்பரப்பு X உயரம் 

கொடுக்கப்பட்டது:
\(sin\left( \cfrac { \pi }{ 3 } +{ cos }^{ -1 }\left( -\cfrac { 1 }{ 2 } \right) \right) =sin\left( \cfrac { \pi }{ 3 } +\cfrac { 2\pi }{ 3 } \right) \) 

= \(sin\pi \) 
= 0

கொடுக்கப்பட்டது \(y={ Ae }^{ 8x }+Be^{ -8x }\) ...(1)
இங்கு A,B என்பது தனித்த மாறிலிகள்.இரண்டுமுறை தொடர்ச்சியாக வகைப்படுத்த,நாம் பெறுவது 
\(\cfrac { dy }{ dx } ={ Ae }^{ 8x }8+{ Be }^{ -8x }(-8)\) 
\(\cfrac { dy }{ dx } =8{ Ae }^{ 8x }-8{ Be }^{ -8x }\) ...(2) 
\(\cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =8{ Ae }^{ 8x }(8)-8{ Be }^{ -8x }\left( -8 \right) \) 
\(64{ Ae }^{ 8x }+64{ Be }^{ -8x }\) 
\(64\left[ { Ae }^{ 8x }+{ Be }^{ -8x } \right] \)   ...(3)
சமன்பாடு (1) ஐ சமன்பாடு (3)ல் பிரதியிடக் கிடைப்பது  
\(\cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =64y\) 
\(\therefore \cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } -64y=0\) என்பது தேவையான வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.

x = a என நேரடியாக பிரதியிடும் போது நாம் \(\frac{0}{0}\) என்ற தேரப்பெறா வடிவத்தைப் பெறுகிறோம்.
தொகுதி மற்றும் பகுதி ஆகியவை பல்லுறுப்புக் கோவைகள். ஆதலால் வகையிடத்தக்கவை . எனவே , லோபிதாலின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்த,
\(\underset{x\rightarrow a}{\lim}(\frac{x^{n}-a^{n}}{x-a})\)=\(\underset{x\rightarrow a}{\lim}(\frac{n\times x^{n-1}}{1})\)
\(=n \times a^{n-1} \).

\(\int _{ -1 }^{ 1 }{ \cfrac { dx }{ { x }^{ 2 }+2x+5 } =\int _{ -1 }^{ 1 }{ \cfrac { dx }{ \left( x+1 \right) ^{ 2 }+4 } } } \) 
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \left[ tan^{ -1 }\cfrac { x+1 }{ 2 } \right] _{ -1 }^{ 1 }\) 
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \left[ { tan }^{ -1 }-{ tan }^{ -1 }0 \right] \) 
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \times \cfrac { \pi }{ 4 } =\cfrac { \pi }{ 8 } \)

(i) கூறுவெளி  S = {H, T} × {H, T}
அதாவது S = {TT, TH, HT, HH}

(ii) X : S → ℝ என்பது பூக்களின் எண்ணிக்கை என்க .
எனவே X(TT) = 2 (2 பூக்கள்)
X(TH) = 1 (1 பூ)
X(HT) = 1 (1 பூ)
X(HH) = 0 (0 பூக்கள்)
இனி X என்பது 0, 1 மற்றும் 2 ஆகிய மதிப்புகளைப் பெறும் சமவாய்ப்பு மாறியாகும்.
X(ω)என்பது பூக்களின் எண்ணிக்கையைக் குறிப்பிடுகிறது என்க , இதிலிருந்து

1-இன் நேர்மாறு பிம்பங்கள் {TH, HT} ஆகும். அதாவது X^-1({1}) = {TH, HT}.
(iii) நேர்மாறு பிம்பங்களில் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை பட்டியலில் காட்டப்பட்டுள்ளது.

சமவாய்ப்பு மாறியின் மதிப்புகள்	0	1	2	மொத்தம்
நேர்மாறு பிம்பங்களில் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை	1	2	1	4

\(z={ \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ 107 }+{ \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } -\frac { i }{ 2 } \right) }^{ 107 }\)
\(\bar { z } ={ \overline { \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { 1 }{ 2 } \right) } }^{ 107 }+{ \overline { \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { 1 }{ 2 } \right) } }^{ 107 }\)
\(={ \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } -\frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ 107 }+{ \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { i }{ 2 } \right) }^{ 107 }\) = z
ஆதலால் z = \(\bar { z } \), Im (z) = 0

கொடுக்கப்பட்ட தளங்கள்  \(\vec { r } .(\hat { i } +\hat { j } -2\hat { k } )\)
மற்றும் 2x - 2y + z = 2 \(\Rightarrow\)\(\vec { r } .(\hat { i } +\hat { j } -2\hat { k } )\)= 2
\(\therefore { \vec { n } }_{ 1 }=\hat { j } +\hat { j } -2\hat { k } \) மற்றும் \({ \vec { n } }_{ 2 }= 2\hat { i } -2\hat { j } +\hat { k } \) 
தளங்களுக்கு இடையேயான கோணம் 
\(\cos\theta =\cfrac { { \vec { n } }_{ 1 }.{ \vec { n } }_{ 2 } }{ \left| { \vec { n } }_{ 1 } \right| \left| { \vec { n } }_{ 2 } \right| } =\cfrac { \left| 1(2)+1(-2)-2(1) \right| }{ \sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 }+\left( -2 \right) ^{ 2 }.\sqrt { { 2 }^{ 2 }+(-2)^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } } } \) 
= \(\cfrac { \left| -2 \right| }{ \sqrt { 6 } \sqrt { 9 } } =\cfrac { 2 }{ \sqrt { 6 } \left( 3 \right) } =\cfrac { 2 }{ 3\sqrt { 6 } } \)
\(\theta ={ \cos }^{ -1 }\left( \cfrac { 2 }{ 3\sqrt { 6 } } \right) \)

பரவளையத்தின் முனை V₁ மற்றும் அதிபரவளையத்தின் முனை V₂ என்க.
\(\overset { \_ \_ \_ \_ \_ \_ }{ { F }_{ 1 }{ F }_{ 2 } } \) = 14 − 2 = 12 மீ, 2c = 12, c = 6
மையத்திலிருந்து அதிபரவளையத்தின் முனைக்கு உள்ள தூரம் a = 6 - 1 = 5
b² = c² -a²
= 36 − 25 = 11
எனவே அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு \(\frac { { y }^{ 2 } }{ 25 } -\frac { { x }^{ 2 } }{ 11 } =1\)

கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக் கோவை சமன்பாடு
2x⁴+5x³-7x²+8=0
இங்கு a=2, b=5, c=-7, d=0, e=8
வியட்டாவின் சூத்திரப்படி,
\(\alpha +\beta +\gamma +\delta =\frac { -b }{ a } =\frac { -5 }{ 2 } \)
\(\alpha \beta +\alpha \gamma +\alpha \delta +\beta \gamma +\beta \delta +\gamma \delta =\frac { c }{ a } =\frac { -7 }{ 2 } \)
\(\alpha \beta \gamma +\alpha \beta \delta +\alpha \gamma \delta +\beta \gamma \delta =\frac { -d }{ a } \)=0
\(\alpha \beta \gamma \delta =\frac { e }{ a } =\frac { 8 }{ 2 } \)=4
கொடுக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டின் மூலங்கள் (\(\alpha +\beta +\gamma +\delta \)) மற்றும் \((\alpha \beta \gamma \delta )\)
∴ மூலங்களின் கூடுதல் =\((\alpha +\beta +\gamma +\delta )(\alpha \beta \gamma \delta )\)
=\(\left( \frac { -5 }{ 2 } +4 \right) =\frac { -5+8 }{ 2 } =\frac { 3 }{ 2 } \)
மூலங்களின் பெருக்கல் பலன்
=\((\alpha +\beta +\gamma +\delta )(\alpha \beta \gamma \delta )\)
=\(\left( \frac { -5 }{ 2 } \right) (4)=\frac { -20 }{ 2 } \)=-10
∴ தேவையான இருபடி சமன்பாடு x²-x (மூலங்களின் கூடுதல்)+மூலங்களின் பெருக்கல் பலன் =0
⇒ \({ x }^{ 2 }-x\left( \frac { 3 }{ 2 } \right) -10\)=0
⇒ 2x²-3x-20=0

A=\(\left[ \begin{matrix} 2 & -4 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right] \)என்க 
A ஒரு 2 x 2 வரிசை அணி 
∴ ρ(A) ≤ (2, 2)-மீச்சிறு =2
A-ன் பூச்சியமற்ற சிற்றணிக் கோவைகளின் உச்ச வரிசை 2 ஆகும்.
இது \(\begin{vmatrix} 2 & -4 \\ -1 & 2 \end{vmatrix}=4-4=0\)
ஆகையால், \(\rho (A)<2\)
அடுத்து 1 வரிசையுடைய சிற்றணிக் கோவையை தேர்வு செய்வோம் |2|=2≠0
∴ ρ(A)=1

\(\mathrm{y}=\mathrm{e}^x \sin x, \quad x \in[0,2 \pi] \)
\(=\frac{d y}{d x}=\mathrm{e}^x \cos x+\mathrm{e}^x \sin x\)
\( \mathrm{~S}=\mathrm{e}^x(\cos x+\sin x) \)
\( \frac{d S}{d x}=\mathrm{e}^x(-\sin x+\cos x)+ (\cos x+\sin x) \mathrm{e}^x\)
\(=\mathrm{e}^x(2 \cos x)\)
பெருமம் மற்றும் சிறுமத்திற்கு,
\(\frac{d S}{d x}  =0 \Rightarrow 2 \mathrm{e}^x \cos x=0\)
\(\mathrm{e}^x  =0\) என்பது சாத்தியமல்ல
\(\therefore \cos x  =0 \)
\(x  =\frac{\pi}{2} \in(0,2 \pi)\)
S பெருமம் எனில், \(\frac{d^2 S}{d x^2}\) ஆனது < 0 ஆக இருக்க வேண்டும்.
\(\frac{d^2 S}{d x^2}=2\left[-\mathrm{e}^x \sin x+\cos x \cdot \mathrm{e}^x\right] \)
\( =2 \mathrm{e}^x[\cos x-\sin x] \)
\(x=\frac{\pi}{2}, S^{\prime \prime}=2 e^{\frac{\pi}{2}}[0-1]=-2 e^{\frac{\pi}{2}}<0\)
\( \therefore x=\frac{\pi}{2}\)  ல்,S ஆனது பெரும மதிப்பை அடையும்.

\( \overrightarrow{n_1} =3 \hat{i}-2 \hat{j}+0 \hat{k}, \overrightarrow{n_2}=\hat{i}+\frac{3}{2} \hat{j}+2 \hat{k} \\ \vec{n}_1 \cdot \overrightarrow{n_2} =3-2\left(\frac{3}{2}\right)=3-3=0 \\ \cos \theta =0 \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{2} \)

x² + x + 1 = 0 
தீர்க்கக் கிடைப்பது \(x = {-1 \pm i \sqrt{3} \over 2}\)
\( \omega=\frac{-1+i \sqrt{3}}{2} \) மற்றும் \(\omega^2=\frac{-1-i \sqrt{3}}{2} \)
\( \therefore \alpha^{2020}+\beta^{2020}=(\omega)^{2020}+\left(\omega^2\right)^{2020} \)
\( =\left(\omega^3\right)^{673} \cdot \omega+\left(\omega^3\right)^{1346} \cdot \omega^2 \)
\( =1 \cdot \omega+1 . \omega^2=\omega+\omega^2=-1 \)

\( \text { Let } z=\frac{(1+i \sqrt{3})^2}{4 i(1-i \sqrt{3})}=\frac{(1+i \sqrt{3})^2}{4(\sqrt{3}+i)} \)
\( \arg (z)=\arg (1+i \sqrt{3})^2-\arg (4)-\arg (\sqrt{3}+i) \)
\( =2 \times \arg (1+i \sqrt{3})-\arg (4)-\arg (\sqrt{3}+i) \)
\( =2 \times \frac{\pi}{3}-0-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2} \)

a < 0 எனில், ஒரே ஒரு குறிமாற்றம் மட்டுமே கிடைக்கும்.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடானது SP² =  e²PM²என்ற வடிவில் இல்லை. ........ (1)
ஏனெனில் SP என்பது P(x, y) என்ற நீள்வட்டத்தின் மீதுள்ள புள்ளிக்கும் S(ae, 0) என்ற குவியத்திற்கும் இடையேயுள்ள தூரம்.
\(\therefore \text { (1) } \Rightarrow(x-a e)^2+(y-0)^2=\left(x-\frac{y^2}{9}\right)^2\)
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு
\((x-3)^2+(y-4)^2=\frac{y^2}{9}\)
\( \Rightarrow \quad(x-3)^2+y^2-8 y+16-\frac{y^2}{9}=0 \\ 9(x-3)^2+8 y^2-72 y+144=0 \\ 9(x-3)^2+8\left(y^2-9 y\right)=-144 \\ 9(x-3)^2+8\left[y^2-9 y+\left(\frac{9}{2}\right)^2-\left(\frac{9}{2}\right)^2\right]=-144 \\ 9(x-3)^2+8\left(y-\frac{9}{2}\right)^2=8 \times \frac{81}{4}-144=18 \\ \frac{(x-3)^2}{2}+\frac{(y-9 / 2)^2}{(9 / 4)}=1 \)
இது நீள்வட்டத்தின் சமன்பாட்டின் திட்ட நிலை  
\(\because a^2>\mathrm{b}^2, a^2=\frac{9}{4}, \mathrm{~b}^2=2\\ \therefore b^2  =a^2\left(1-e^2\right) \\ \therefore e  =\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{2}{(9 / 4)}}=\sqrt{1-\frac{8}{9}}=\sqrt{\frac{1}{9}} \\ \therefore e  =\frac{1}{3}\)

x = a cos \(\theta\); y = b sin \(\theta\)
நீளம் = 2acos\(\theta\); அகலம் = 2bsin\(\theta\)
பரப்பு A = l \(\times\) b = 4absin\(\theta\)cos\(\theta\)
A = 2ab sin 2\(\theta\)
\(\frac{dA}{d \theta}\)= 2ab cos2\(\theta\) (2) = 4ab cos2\(\theta\)
மீப்பெரும பரப்பிற்கு
\(\frac{dA}{d \theta}\) = 0 \(\Rightarrow\) cos2\(\theta\) = 0
\(\begin{aligned} 2 \theta & =\frac{\pi}{2} \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{4} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \therefore A = 2 a b \sin 2\left(\frac{\pi}{4}\right)=2 a b \sin \frac{\pi}{2} \end{aligned}\)
A = 2ab

கொடுக்கப்பட்டது \(x^{\mathrm{a}} \cdot \mathrm{y}^{\mathrm{b}}=\mathrm{e}^{\mathrm{m}} ; x^{\mathrm{c}} \cdot \mathrm{y}^{\mathrm{d}}=\mathrm{e}^{\mathrm{n}}\)
மடக்கை எடுக்கக் கிடைப்பது 
\( a \log x+b \log y=m \) ...(1)
\(c \log x+d \log y=n \) ...(2)
\(X=\log x, Y=\log y \) என்க.
\(\therefore(1) \Rightarrow a X+b Y=m \) ...(3)
\((2) \Rightarrow c X+d Y=n\) ...(4)
கிராமரின் விதியைப் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது 
\(\Delta=\left|\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right|=\Delta_3\) கொடுக்கப்பட்டது 
\( \Delta_X=\left|\begin{array}{ll} m & b \\ n & d \end{array}\right|=\Delta_1 \) கொடுக்கப்பட்டது 
\(\Delta_Y=\left|\begin{array}{ll} a & m \\ c & n \end{array}\right|=\Delta_2 \) கொடுக்கப்பட்டது 
\( \therefore \mathrm{X}=\frac{\Delta_{\mathrm{X}}}{\Delta}=\frac{\Delta_1}{\Delta_3} \Rightarrow \log x=\frac{\Delta_1}{\Delta_3} \Rightarrow x=\mathrm{e}^{\frac{\Delta_1}{\Delta_3}} \)
\( Y=\frac{\Delta_Y}{\Delta}=\frac{\Delta_2}{\Delta_3} \Rightarrow \log y=\frac{\Delta_2}{\Delta_3} \Rightarrow y=e^{\frac{\Delta_2}{\Delta_3}} \\ \)

 \(\cot ^{-1} 2+\cot ^{-1} 3 =\tan ^{-1} \frac{1}{2}+\tan ^{-1} \frac{1}{3} \\   =\tan ^{-1}\left[\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{b}{6}}\right]=\tan ^{-1}(1)=\frac{\pi}{4}\)
மூன்றாவது கோணம் = \(\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3 \pi}{4} \)

\(A=\left[ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{matrix}\begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ -1 & 3 & 4 \\ -1 & 7 & 11 \end{matrix} \right] \)  என்க 
அணியின் வரிசை 3X4
ஃ A ல் வரிசை 3 உடைய சிற்றணிக்கோவையின் உள்ளன.அவை 
 \(\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \\ 5 & -1 & 7 \end{matrix} \right| =0;\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 4 \\ 5 & -1 & 11 \end{matrix} \right| =0;\) 
\(\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 5 & 7 & 11 \end{matrix} \right| =0;\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ -1 & 3 & 4 \\ -1 & 7 & 11 \end{matrix} \right| =0\) 
வரிசை 3 உடைய அனைத்து சிற்றணிக் கோவைகளும் பூஜ்யமாகிறது. \(\therefore \rho (A)<3\) வரிசை 2 உடைய சிற்றணிக்கோவை 
\(\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right| =-3\neq 0\)  \(\therefore \rho (A)=2\)

கொடுக்கப்பட்ட பூலியன் அணிகள் 
 \( A=\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right) ,\quad B=\left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right) ,\quad C=\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right) \) 
\((A\vee B) \wedge C=\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) \wedge \left( \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right) \) 
\(=\left( \begin{matrix} 1\wedge 1 & 1\wedge 1 & 1\wedge 0 & 1\wedge 1 \\ 1\wedge 0 & 1\wedge 1 & 1\wedge 1 & 1\wedge 0 \\ 1\wedge 1 & 0\wedge 1 & 0\wedge 1 & 1\wedge 1 \end{matrix} \right) \)
\((A\vee B)\wedge C=\left| \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right| \)

கொடுக்கப்பட்டது \(y=\frac { 3 }{ 4 } \sqrt { { x }^{ 2 }-16 } \Rightarrow \frac { { x }^{ 2 } }{ 16 } -\frac { { y }^{ 2 } }{ 9 } =1\) எனவே கொடுக்கப்பட்ட வளைவரையானது அதிபரவளையம் \(\frac { { x }^{ 2 } }{ 16 } -\frac { { y }^{ 2 } }{ 9 } =1\) மற்றும் கோடுகள் y = 1 மற்றும் y = 6 ஆகியவற்றுக்கு இடைப்பட்ட ஒரு பகுதியாகும். இப்பகுதி x-அச்சில் மேல் உள்ளது.
சுழற்றப்படும் அரங்கத்தின் பரப்பானது படம் -ல் நிழலிடப்பட்டுள்ளது.
y-அச்சைப் பொருத்து சுழற்றுவதால் அதிபரவளையத்தின் ஒரு பகுதியின் சமன்பாடானது
\(x=\frac { 4 }{ 3 } \sqrt { 9+{ y }^{ 2 } } \) . உருவாகும் திடப்பொருளின் கன அளவு
\(V=\pi \int _{ 1 }^{ 6 } x^2 dy = \pi \int _{ 1 }^{ 6 }{ { \left( \frac { 4 }{ 3 } \sqrt { { 9+y }^{ 2 } } \right) }^{ 2 } } dy=\pi \left( \frac { 16 }{ 9 } \right) \int _{ 1 }^{ 6 }{ (9+{ y }^{ 2 } } )dy\)
\(=\pi \left( \frac { 16 }{ 9 } \right) \left( 9y+\frac { { y }^{ 3 } }{ 3 } \right) =\pi \left( \frac { 16 }{ 9 } \right) \left[ (54+72)-(9+\frac { 1 }{ 3 } ) \right] =\frac { 5600 }{ 27 } \pi \)

g (x, y) = x² + 3xy - 7y + cos(5x)
g_x = 2x + 3y - 0 - 5 sin 5x
= 2x + 3y - 5 sin 5x
g_y = 0 + 3x (1) - 7 + 0
= 3x - 7
\({ g }_{ xy }=\frac { \partial }{ \partial x } ({ g }_{ y })\) = 3
\({ g }_{ xx }=\frac { \partial }{ \partial x } ({ g }_{ x })\)
= 2(1) + 0 - 5(5) cos (5x)
= 2 - 25 cos (5x)
\({ g }_{ yy }=\frac { \partial }{ \partial y } ({ g }_{ y })=\) 0
\({ g }_{ yx }=\frac { \partial }{ \partial y } ({ g }_{ x })\)
= 0 + 3(1) - 0 = 3

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு \(\frac { dy }{ dx } ={ (3x+y+4) }^{ 2 }.\)
இக் கொடுக்கப்பட்டச் சமன்பாட்டின் தீர்வு காண z = 3x + y + 4 எனப்பிரதியிடுகிறோம்.
xஐப் பொருத்து வகைக்கெழு காண, நாம் பெறுவது, \(\frac { dy }{ dx } =\frac { dz }{ dx } -3\), எனவே, கொடுக்கப்பட்ட வகைக்கெழுச் சமன்பாடு \(\frac { dz }{ dx } \) = z² + 3 என மாறும். இச்சமன்பாட்டில் மாறிகள் பிரிபடக்கூடியன.
எனவே, மாறிகளைப் பிரித்து தொகையிட, கொடுக்கப்பட்ட வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் பொதுத்தீர்வு \(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } { \tan }^{ -1 }\left( \frac { 3x+y+4 }{ \sqrt { 3 } } \right) =x+C\) என நமக்குக் கிடைக்கிறது.

கொடுக்கப்பட்ட x²+ y² = 9² என்ற வட்டத்திற்கு 1x + my+ n = 0
என்ற கோடு (x₁, y₁)lல் தொடுகோடு என்பது 
xx₁ + yy₁ = a₂
(1) மற்றும் (2)ல் தொடுகோடு என்பது
கிடைப்பது \(\cfrac { { x }_{ 1 } }{ l } =\cfrac { { y }_{ 1 } }{ m } =\cfrac { { -a }^{ 2 } }{ n } \) 
\({ x }_{ 1 }=-\cfrac { -{ a }^{ 2 }\quad l }{ n } \) ,மற்றும் \({ y }_{ 1 }=\cfrac { -{ a }^{ 2 }m }{ n } \) 
(x₁,y₁) வட்டத்தின் மீது அமைந்துள்ள புள்ளி ஆதலால் \({ x }_{ 1 }^{ 2 }+{ y }_{ 1 }^{ 2 }={ a }^{ 2 }\) 
\(\left( \cfrac { -{ a }^{ 2 }l }{ n } \right) +\left( \cfrac { -a^{ 2 }m }{ n } \right) ={ a }^{ 2 }\) 
\(\cfrac { { a }^{ 4 }{ l }^{ 2 } }{ { n }^{ 2 } } +\cfrac { { a }^{ 4 }{ m }^{ 2 } }{ { n }^{ 2 } } ={ a }^{ 2 }\) 
\(\Rightarrow { a }^{ 4 }{ l }^{ 2 }+{ a }^{ 4 }{ m }^{ 2 }={ a }^{ 2 }\) 
\({ a }^{ 2 }\left( { l }^{ 2 }+{ m }^{ 2 } \right) =1\)

cos^-1 \(\left( \cos\left( \frac { 4\pi }{ 3 } \right) \right) \) = cos^-1 \(\left( \cos\left( \frac { 4\pi }{ 3 } \right) \right) =\left( \cos\left( 2\pi -\frac { 2\pi }{ 3 } \right) \right) \)
[∵ கொசைன் சார்பின் காலம் 2π]
= cos^-1\(\left( \cos\frac { 2\pi }{ 3 } \right) \)
[∵ cos (2π - θ) = cos θ]
= \(\frac { 2\pi }{ 3 } \)
\(\left[ \because \frac { 2\pi }{ 3 } \in \left[ 0,\pi \right] \right] \)    .....(1)
cos^-1 \(\left( \cos\left( \frac { 5\pi }{ 4 } \right) \right) \) = cos^-1 \(\left( \cos\left( 2\pi -\frac { 3\pi }{ 4 } \right) \right) \)
[∵ கொசைன் சார்பின் காலம் 2π]
= cos^-1 \(\left( \cos\left( 3\frac { \pi }{ 4 } \right) \right) \)
[∵ cos (2π - - θ) = cos θ]
= \(3\frac { \pi }{ 4 } \)
\(\left[ \because 3\frac { \pi }{ 4 } \in [0,\pi ] \right] \)   .....(2)
∴ cos^-1 \(\left( \cos\left( \frac { 4\pi }{ 3 } \right) \right) \) + cos^-1 \(\left( \cos\left( \frac { 5\pi }{ 4 } \right) \right) \)
= \(\frac { 2\pi }{ 3 } +3\frac { \pi }{ 4 } =\frac { 8\pi +9\pi }{ 12 } =\frac { 17\pi }{ 12 } \)

இங்கு \(\vec { u } =\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } ,\vec { n } =\hat { i } +2\hat { j } +4\hat { k } ,P=38\) ஆகும். \(\overset \rightarrow{ u } \) \(=\hat { i } +\hat { 2j } +\hat { 3k } \) என்ற புள்ளியின் பிம்பப் புள்ளி \(\overset \rightarrow{ v } \)-ன் நிலைவெக்டர் 
\(\vec { v } =\vec { u } +\frac { 2[p-(\vec { u } .\vec { n } )] }{ { \left| \vec { n } \right| }^{ 2 } } \vec { n } \) ஆகும்.
\(\vec { v } =(\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } )+\frac { 2[38-(\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } ).(\hat { i } +2\hat { j } +4\hat { k } ))] }{ (\hat { i } +2\hat { j } +4\hat { k } ).(\hat { i } +2\hat { j } +4\hat { k } ) } (\hat { i } +2\hat { j } +4\hat { k } )\)
அதாவது \(\vec { v } =(\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } )+2(\frac { 38-17}{ 21 }) (\hat { i } +2\hat { j } +4\hat { k } )= (\hat {3 i } +6\hat { j } +11\hat { k } )\)
எனவே, \(\hat { i } +\hat { 2j } +\hat { 3k } \) என்ற நிலை வெக்டர் கொண்ட புள்ளியின் பிம்பப் புள்ளியின் நிலைவெக்டர் \((\hat {3 i } +6\hat { j } +11\hat { k } )\)ஆகும்.

கெழுக்களின் கூடுதல் =2-1-1=0
x =1 என்பது ஒரு மூலம்

∴ x=1 ஒரு மூலம் மற்றும் மீதியிருக்கும் காரணி 2x²+x+1
⇒ x=\(\frac { -1\pm \sqrt { 1^{ 2 }-4(2)(1) } }{ 2 } \)
⇒ x=\(\frac { -1\pm \sqrt { -7 } }{ 2 } \)
மூலம் என்பது ஒரு கலப்பெண்
⇒ x =\(\frac { -1\pm i\sqrt { 7 } }{ 2 } \)
∴ x=1 என்பது ஒரு விகிதமுறு மூலம்

கொள்கை: z = 3 + 2i
ஆகவே, iz = i(3 + 2i) = -2 + 3i
z + iz = (3 + 2i) + i(3 + 2i) = 1 + 5i
z, z + iz, மற்றும் izஆகியவை முறையே A, B மற்றும் C என்க.
\({ AB }^{ 2 }={ \left| (z+iz)-z \right| }^{ 2 }={ \left| -2+3i \right| }^{ 2 }=13\)
\({ BC }^{ 2 }{ =\left| iz-(z+iz) \right| }^{ 2 }={ \left| -3-2i \right| }^{ 2 }=13\)
\({ CA }^{ 2 }={ \left| z-iz \right| }^{ 2 }={ \left| 5-i \right| }^{ 2 }=26\)
AB² + BC² = CA² மற்றும் AB = BC, எனவே,
ΔABC ஓர் இருசமபக்க செங்கோண முக்கோணமாகும்.