(i) m + n ∈ ℤ, ∀,m, n ∈ ℤ . எனவே , ' + ' ஆனது, ℤ -ன் மீது ஓர் ஈருறுப்புச் செயலி ஆகும்.
(ii) மேலும் m + n = n + m, ∀m, n ∈ ℤ . எனவே , பரிமாற்றுப் பண்பு உண்மையாகும்.
(iii) ∀m,n, p ∈ ℤ,m+(n+p) = (m+n) + p . எனவே , சேர்ப்புப் பண்பு உண்மையாகும்.
(iv) m + e = e + m = m ⇒ e = 0. எனவே , ∃ 0 ∈ ℤ ⋺(m + 0) = (0 + m) = m . எனவே சமனிப்பண்பு உள்ளது.
(v) m + m' = m' + m = 0 ⇒ m' = −m. எனவே, ∀m ∈ ℤ,∃ −m ∈ ℤ ⋺
m + (−m) = (−m) + m =0. எனவே, எதிர்மறைப் பண்பும் உள்ளது. இவ்வாறாக, கூட்டல் செயலி + ஆனது, ℤ -ன் மீது மேற்கண்ட ஐந்து பண்புகளை நிறைவு செய்யும். 
கூட்டல் சமனி =0 மற்றும் ஏதேனும் ஒரு முழு எண் m -ன் கூட்டல் எதிர்மறை −m என்பதைக் கவனத்தில் கொள்வோம்.

\(\mathbb{Z}_5\) = {[0], [1], [2], [3], [4]} மட்டு 5 கூட்டல் செயலி அட்டவணை பின்வருமாறு பெறப்படுகிறது. மீதிகளின் கணமானது {0,1,2,3,4} {[0],[1],[2],[3],[4]} என்ற தொகுப்பு அமைப்பைக் குறிக்கிறது.

(i) செயலி அட்டவணையில் உள்ள எல்லா வெற்றிடங்களும் ℤ₅ -ன் சரியாக ஓர் உறுப்பு மூலம் நிரப்பப்பட்டிருந்தால் a+ ₅ b  -ன் விளைவு ஒருமைத்தன்மை வாய்ந்தது. எனவே , +₅ ஆனது ℤ₅ –ன் மீது அடைவு பெற்றுள்ளது.
(ii) அட்டவணையில் உள்ள பதிவுகள் முதன்மை மூலைவிட்டத்துடன் சமச்சீராக வைக்கப்பட்டுள்ளதால் +₅ ஆனது பரிமாற்றுப் பண்புடையது.
(iii) சேர்ப்புப் பண்பை சரிபார்ப்பதற்கு செயலி அட்டவணையை நேரடியாகப் பயன்படுத்த முடியாது. எனவே , இதை வழக்கம்போல ஓர் எடுத்துக்காட்டின் மூலம் சரிபார்க்க வேண்டும்.
2,3,4 ∈ ℤ₅ எனில், (2 +₅ 3) + ₅ 4 = 0 + ₅ 4 = 4  (மட்டு 5)
2 +₅(3 + ₅4) =  2 +₅ 2 = 4 (மட்டு 5)
எனவே , (2 +₅3) + ₅ 4  =  2 +₅ (3 + ₅ 4) .
இது போன்று தொடர்ந்தால் எல்லா சாத்தியமான மும்மூன்று உறுப்புகளின் தொகுப்பிற்கும் இதை சரிபார்க்க முடியும். முடிவாக, +₅ ஆனது சேர்ப்புப் பண்பை நிறைவு செய்யும் எனக் காட்டலாம்.
(iv) 0 தலைமையிலான நிரை மற்றும் நிரல் ஒரே மாதிரியானவை . எனவே , 0 ∈ ℤ₅  என்பது சமனி உறுப்பாகும்.
(v) ஒவ்வொரு நிரை மற்றும் நிரலிலும் சமனி உறுப்பு 0 உள்ளதால் எதிர்மறை உறுப்பு உறுதி செய்யப்படுகிறது. எனவே, அட்டவணை -லிருந்து எதிர்மறைப் பண்பு உண்மை என்பது தெளிவாகிறது.
எடுத்துக்காட்டாக
1. ℤ₅ -ன் உறுப்புகளில் ஏதேனும் ஓர் உறுப்பு ‘2’ இன் எதிர்மறையைக் காணும் முறை கீழே கோடிட்டுக் காட்டப்பட்டுள்ளது.
2. 2 தலைமையிலான III வது நிரையில் சமனி உறுப்பின் நிலையை முதலில் கண்டறியவும். III வது நிரையில் கிடைமட்டமாக நகர்ந்து 0 ஐ அடைந்த பிறகு IV வது நிரலில் 0 –க்கு மேலே நகரும்போது கிடைக்கும் 3-ஐதான் 2-ன் எதிர்மறை உறுப்பாகக் கொள்வர். மேலும் இதற்கு அத்தாட்சியாக 2 + 3 ≡ 0 (மட்டு 5) என்பதும் உண்மையாவதாகக் காணலாம். ஏனெனில், 0 ஆனது III வது நிரை மற்றும் IVவது நிரலை இணைக்கும் உறுப்பாகும். IV வது நிரலில் மிக உயர்ந்த நிலையில் கிடைக்கப்பெற்ற உறுப்பு 3 ஆகும். எனவே 2-ன் எதிர்மறை உறுப்பு 3 ஐத் தவிர வேறில்லை. இதேவழியில் ℤ₅ -ன் ஒவ்வோர் உறுப்பின் எதிர்மறையைப் பெறலாம்.   
3. இவ்வாறாக 0-ன் எதிர்மறை 0∈ℤ₅ 1 –ன் எதிர்மறை 4∈ℤ₅ , 2–ன் எதிர்மறை 3∈ℤ₅ , 3–ன் எதிர்மறை 2∈ℤ₅ , 4 –ன் எதிர்மறை 1∈ℤ₅ ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்டது \(\mathrm{a} * \mathrm{~b}=\left(\frac{a+b}{2}\right) ; \mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathbb{Q}\)
(i) \(a \in \mathbb{Q}\) மற்றும் \(\mathrm{b} \in \mathbb{Q} \Rightarrow \mathrm{a} * \mathrm{~b}=\frac{a+b}{2} \in \mathbb{Q}\) 
எனவே \(*\) என்பது \(\mathbb{Q}\) ன் மீது ஓர் ஈருறுப்புச் செயலியாகும்.
\(a\ast b=\cfrac { a+b }{ 2 } \\ b\ast a=\cfrac { b+a }{ 2 } =\cfrac { a+b }{ 2 } \\ \left[ \because a+b=b+a \right] \) 
\(\therefore \) ஈருறுப்புச் செயலி \(*\) பரிமாற்றுப் பண்பை நிறைவு செய்கிறது. 
\(a\ast (b\ast c)=a\ast \left( \cfrac { b+c }{ 2 } \right) \\ =\cfrac { a+\frac { b+c }{ 2 } }{ 2 } =\cfrac { a+b+2c }{ 4 } \\ a\ast (b\ast c)=\left( \cfrac { a+b }{ 2 } \right) \ast c=\cfrac { a+b+2c }{ 4 } \) 
எனவே,\(a\ast (b\ast c)\neq \left( a\ast b \right) \ast c\) 
எனவே,ஈருறுப்புச் செயலி \(*\) என்பது சேர்ப்புப் பண்பை நிறைவு செய்யவில்லை.

\(M=\left\{\left(\begin{array}{ll} x & x \\ x & x \end{array}\right): x \in R-\{0\}\right\}\) என்க
அடைவுப் பண்பு:
\(A=\left\{ \begin{matrix} x & x \\ x & x \end{matrix} \right\} \in M\) மற்றும் 
\(B=\left( \begin{matrix} y & y \\ y & y \end{matrix} \right) \in M\) என்க.
எனவே,\(AB=\left( \begin{matrix} 2xy & 2xy \\ 2xy & 2xy \end{matrix} \right) \) 
\(x\neq 0,y\neq 0\) என்பதால் \(2xy\neq 0\) என்பதைக் காண்கிறோம்.மேலும் \(AB \in M\) .இது அணிப்பெருக்கலின் கீழ் M என்பது அடைவைப் பெற்றுள்ளது என்பதைக் காட்டுகிறது.
பரிமாற்றுப் பண்பு:
\(AB=\left( \begin{matrix} 2xy & 2xy \\ 2xy & 2xy \end{matrix} \right) \) 
= BA எல்லா \(A, B \in M\) 
இங்கு அணிப்பெருக்கல் என்பது பரிமாற்றுப் பண்பை நிறைவு செய்கிறது.
சேர்ப்புப் பண்பு:
அணிப்பெருக்கல் எப்போதும் சேர்ப்புப் பண்பை நிறைவு செய்யும்.எனவே M-ன் மீது அணிப்பெருக்கல் சேர்ப்புப் பண்பை நிறைவு செய்கிறது.

மெய்மை அட்டவணையில் கடைசி நிரலில் T மட்டுமே உள்ளதால்,கொடுக்கப்பட்டது ஒரு மெய்மம் ஆகும்.

மெய்மை அட்டவணையில் \(\neg \left( p\wedge q \right) \) மற்றும் \(\neg p\vee \neg q\) ஆகியவற்றிக்கான நிரல்கள் ஒரே மாதிரியாக உள்ளன.எனவே அவை தர்க்க சமமானவை. 

மெய்மை அட்டவணையிலிருந்து 
\(\neg p\) மற்றும் \(\neg \left( p\vee q \right) \vee \left( \neg p\wedge q \right) \) என்பன தர்க்க சமமானவை என்பது தெளிவு.
அதாவது \(\neg (p\vee q)\vee \left( \neg p\wedge q \right) =\neg p\)

அட்டவணையிலிருந்து \(p\rightarrow \left( \neg q\vee r \right) \) மற்றும் \(\neg p\vee \left( \neg q\vee r \right) \) ஆகியவற்றின் நிரல்கள் ஒரே மாதிரியாக உள்ளன என்பது தெளிவாகிறது.
\(\therefore p\rightarrow \left( \neg q\vee r \right) =\neg p\vee \left( \neg q\vee r \right) \)  எனவே நிறுவப்பட்டது.

A∨B =  \(\left[ \begin{matrix} \begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 & 1 \end{matrix} \end{matrix} \right] \)v\(\left[ \begin{matrix} \begin{matrix} 1 & 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix} \end{matrix} \right] \) = \(\left[ \begin{matrix} \begin{matrix} 0\quad \vee & 1 \\ 1\quad \vee & 0 \end{matrix} & \begin{matrix} 1\quad \vee & 1 \\ 1\quad \vee & 1 \end{matrix} \end{matrix} \right] \) = \(\left[ \begin{matrix} \begin{matrix} 1 & 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 & 1 \end{matrix} \end{matrix} \right] \)
A∧B =  \(\left[ \begin{matrix} \begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 & 1 \end{matrix} \end{matrix} \right] \)∧\(\left[ \begin{matrix} \begin{matrix} 1 & 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix} \end{matrix} \right] \) = \(\left[ \begin{matrix} \begin{matrix} 0\quad \wedge & 1 \\ 1\quad \wedge & 0 \end{matrix} & \begin{matrix} 1\quad \wedge & 1 \\ 1\quad \wedge & 1 \end{matrix} \end{matrix} \right] \) = \(\left[ \begin{matrix} \begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix} \end{matrix} \right] \)

\(\begin{aligned} A=\{a+\sqrt{5} b ; a, b \in \mathbb{Z}\} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} 1,2 \in \mathbb{Z} \Rightarrow a+\sqrt{5} b=1+2 \sqrt{5} \in A \end{aligned}\) மற்றும்
\(\begin{aligned} 2,3 \in \mathbb{Z} \Rightarrow a+\sqrt{5} b=2+3 \sqrt{5} \in A \end{aligned}\) என்க.
வழக்கமான பெருக்கலை ஈருறுப்புச் செயலியாகக் கொள்க.
\((1+2 \sqrt{5}) \cdot(2+3 \sqrt{5})=(32+7 \sqrt{5}) \in A\) எனவே, வழக்கமான பெருக்கல், Aன் மீது ஓர் ஈருறுப்புச் செயலி ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்டது:\(*\) என்பது A={a,b,c} என்ற கணத்தின் மீது பரிமாற்றுப் பண்பை நிறைவு செய்கிறது.

அட்டவணையிலிருந்து b \(*\) a = c என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
\(\Rightarrow a\ast b=c\) 
\(*\) என்பது பரிமாற்றுப் பண்பை நிறைவு செய்வதால் 
\(c\ast a=a=a\ast c\) மற்றும் \(b\ast c=a=c\ast b\)

\(((p\wedge q)\vee (\neg r\vee \neg s))\wedge (\neg t\wedge v)\) என்ற கூற்றில் p, q, r, s,t, v என்ற 6 மாறிகள் இடம் பெறுவதால் அதன் மெய்மை அட்டவணையில் 2⁶ = 64 நிரைகள் இடம்பெறும்.

p ⟶ ¬q: ஜூபிடர் ஒரு கோள் எனில் பின்னர் இந்தியா ஒரு தீவு அல்ல.

\((\mathrm{m} * \mathrm{n})=\mathrm{m}^{\mathrm{n}}+\mathrm{n}^{\mathrm{m}}, \forall \mathrm{m}, \mathrm{n} \in \mathbb{Z}\) 
\(-2,2 \in \mathbb{Z}\) என்பதைக் கருதுவோம்.
\((\mathrm{m} * \mathrm{n})=(-2 * 2)=(-2)^2+(2)^{-2}\) 
= \(4+\cfrac { 1 }{ 4 } =\cfrac { 14 }{ 7 } \notin Z\) 
எனவே \(*\) என்பது Z ல் அடைவுப் பண்பை பெறவில்லை.

\((\mathrm{a} * \mathrm{~b})=\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{ab}-7, \forall a, b \in \mathbb{R}\) 
\(a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}\) எனில் \(a b \in \mathbb{R}\) 
\(\therefore(a * b)=a+b+a b-7 \in \mathbb{R}\) 
உதாரணமாக\(\ 1,2\in R\) என்க.
\(\\ (1\ast 2)=1+2+(1)(2)-7\) 
= \(-2 \in \mathbb{R}\) 
\(\therefore \ast \) என்பது R-ன் மீது ஈருறுப்புச் செயலியாகும்.
இப்போது \(3\ast \left( -\cfrac { 7 }{ 15 } \right) =3+\left( -\cfrac { 7 }{ 15 } \right) +3\left( -\cfrac { 7 }{ 15 } \right) -7\) 
= \(3-\cfrac { 7 }{ 15 } -\cfrac { 21 }{ 15 } -7\) 
= \(-\cfrac { 88 }{ 15 } \)

கொடுக்கப்பட்ட பூலியன் அணிகள் 
 \( A=\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right) ,\quad B=\left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right) ,\quad C=\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right) \) 
\((A\vee B) \wedge C=\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) \wedge \left( \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right) \) 
\(=\left( \begin{matrix} 1\wedge 1 & 1\wedge 1 & 1\wedge 0 & 1\wedge 1 \\ 1\wedge 0 & 1\wedge 1 & 1\wedge 1 & 1\wedge 0 \\ 1\wedge 1 & 0\wedge 1 & 0\wedge 1 & 1\wedge 1 \end{matrix} \right) \)
\((A\vee B)\wedge C=\left| \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right| \)

q → p: (மறுதலைக் கூற்று) “ஊட்டி கேரளாவில் உள்ளது எனில், பகா எண்களின் எண்ணிக்கை முடிவில்லாதது”

மேற்காணும் முடிவை மெய்மை அட்டவணைகளை பயன்படுத்தாமல் நிரூபிக்க முடியும். இதனைத் தர்க்க சமானமானவை பற்றி அறிந்த பிறகே வழங்க முடியும்.

மெய்மை அட்டவணையிலிருந்து 
\(\mathrm{p} \rightarrow \mathrm{q} \not \equiv \mathrm{q} \rightarrow \mathrm{p}\) என்பது தெளிவு. 

கடைசி நிரலில் உள்ள 'F' களின் எண்ணிக்கை 3

இரட்டைத் தன்மை என்பது Λ, V ஆகியவற்றுக்கு முறையே V, Λ களை பதிலிடுவதன் மூலம் பெறப்படுகிறது.

\(\mathrm{p} \wedge(\neg \mathrm{p} \vee \mathrm{q}) \equiv(\mathrm{p} \wedge \neg \mathrm{p}) \vee(\mathrm{p} \vee \mathrm{q}) \equiv \mathbb{F} \vee(\mathrm{p} \wedge \mathrm{q}) \equiv \mathrm{p} \wedge \mathrm{q}\)

\(\mathbb{Z}\) என்பது அனைத்து முழு எண்களின் கணம் என்பதால்
\(\mathrm{a} * \mathrm{~b}=\frac{a b}{7} \notin \mathbb{Z}\)

கூற்றுகளின் எண்ணிக்கை =3
மெய்மை அட்டவணையில் நிரைகளின் எண்ணிக்கை = 2³ = 8 நிரைகள்

\(\begin{aligned} (p \vee q) & \rightarrow r \end{aligned}\)
நேர்மாறு \(\begin{aligned} \neg r & \rightarrow \neg(p \vee q) \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \neg r & \rightarrow(\neg p \wedge \neg q) \end{aligned}\)