\(\left[ \begin{matrix} 0 \\ -1 \\ 4 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 6 \\ 5 \\ 0 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\leftrightarrow { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} -1 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 5 \\ 6 \\ 0 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }+4{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 8 \end{matrix}\begin{matrix} 5 \\ 6 \\ 20 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-\frac { 2 }{ 3 } { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ \frac { 22 }{ 3 } \end{matrix}\begin{matrix} 5 \\ 6 \\ 16 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { 3R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 22 \end{matrix}\begin{matrix} 5 \\ 6 \\ 48 \end{matrix} \right] \)

(i) \(\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -2 \end{matrix} \right| \) 
= \(\hat { i } \left| \begin{matrix} -2 & 3 \\ 1 & -2 \end{matrix} \right| -\hat { j } \left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & -2 \end{matrix} \right| +\hat { k } \left| \begin{matrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right| \) 
= \(\hat { i } \left( 1-3 \right) -\hat { j } \left( -2-6 \right) +\hat { k } \left( 1+4 \right) \) 
= \(\hat { i } +8\hat { j } +5\hat { k } \) 
\(\therefore \left( \vec { a } \times \vec { b } \right) =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 1 & 8 & 5 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix} \right| \) 
= \(\hat { i } \left| \begin{matrix} 8 & 5 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right| -\hat { i } \left| \begin{matrix} 1 & 5 \\ 3 & 1 \end{matrix} \right| +\hat { k } \left| \begin{matrix} 1 & 8 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right| \) 
= \(\hat { i } \left( 8-10 \right) -\hat { j } \left( 1-15 \right) +\hat { k } \left( 2-24 \right) \) 
= \(-2\hat { i } +14\hat { j } -22\hat { k } \)
(ii) \(\vec { a } \times \left( \vec { b } \times \vec { c } \right)\)
\(\vec { b } \times \vec { c } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 2 & 1 & -2 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix} \right| \) 
\(\hat { i } \left| \begin{matrix} -2 & -3 \\ -8 & 1 \end{matrix} \right| -\hat { j } \left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 5 & 1 \end{matrix} \right| +\hat { k } \left| \begin{matrix} 1 & -2 \\ 5 & -8 \end{matrix} \right| \) 
\(= 22\hat { i } +14\hat { j } +2\hat { k } \)

i) (x₁² + y₁²)(x₂² + y₂²)(x₃² + y₃²).........(x_n² + y_n²) = a² + b².
இருபுறமும் மட்டு மதிப்பு காண கிடைப்பது
⇒ l(x₁ + iy₁) (x₂ + iy₂) (x_n + iy_n)| = |a + ib|
⇒ lx₁ + iy₁| |x₂ + iy₂| ... |x_n + iy_n| = |a + ib|
\(\Rightarrow \sqrt { { { x }_{ 1 } }^{ 2 }+{ { y }_{ 1 } }^{ 2 } } \sqrt { { { x }_{ 2 } }^{ 2 }+{ { y }_{ 2 } }^{ 2 } } ...\sqrt { { { x }_{ n } }^{ 2 }+{ { y }_{ n } }^{ 2 } } \)
\(\Rightarrow \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } \)
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த கிடைப்பது.
(x₁² + y₁²)(x₂² + y₂²)(x₃² + y₃²).........(x_n² + y_n²) = a² + b².
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.
ii) (x₁+ iy₁) (x₂ + iy₂) ... (x_n + iy_n) = a + ib
arg ((x₁+ iy₁) (x₂ + iy₂) ... (x_n + iy_n)) = arg(a + ib)
⇒ arg (x₁+ iy₁) + arg (x₂ + iy₂) + ...  + arg (x_n + iy_n)) = arg(a + ib)
(∵ arg (z₁z₂...z₃) = arg z₁ + arg z₂ + ... + arg z_n)
\(\Rightarrow { tan }^{ -1 }\left( \frac { { y }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 } } \right) +{ tan }^{ -1 }\left( \frac { { y }_{ 2 } }{ { x }_{ 2 } } \right) +...+{ tan }^{ -1 }\left( \frac { { y }_{ n } }{ { x }_{ n } } \right) \)
\(={ tan }^{ -1 }\left( \frac { { b } }{ a } \right) +2k\pi \)
\(\Rightarrow \sum _{ r=1 }^{ n }{ tan\left( \frac { { y }_{ r } }{ { x }_{ r } } \right) } ={ tan }^{ -1 }\left( \frac { b }{ a } \right) +2k\pi, k\epsilon Z\)

கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள்  \(\frac { x-1 }{ 1 } =\frac { y-2 }{ 1 } =\frac { z-3 }{ { m }^{ 2 } } \) மற்றும் \(\frac { x-3 }{ 1 } =\frac { y-2 }{ { m }^{ 2 } } =\frac { z-1 }{ 2 } \)
\(\therefore \vec { a } =\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } ,\vec { b } =\hat { i } +2\hat { j } +{ m }^{ 2 }\hat { k } ,\)
\(\vec { c } =\hat { i } +2\hat { j } +\hat { k } ,\vec { d } =\hat { i } +{ m }^{ 2 }\hat { j } +2\hat { k } \)
\(\vec { c } -\vec { a } =-2\hat { k } \)
\(\vec { b } \times \vec { d } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 1 & 2 & { m }^{ 2 } \\ 1 & { m }^{ 2 } & 2 \end{matrix} \right| =0\)
= \(\hat { i } \left( 4-{ m }^{ 4 } \right) -\hat { j } \left( 2-m^{ 2 } \right) +\hat { k } \left( { m }^{ 2 }-2 \right) \)
ஆகையால் கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் ஒரு தளம் அமைவன.
\(\left( \vec { c } -\vec { a } \right) .\left( \vec { b } \times \vec { d } \right) =0\) 
\(\Rightarrow \left( -2\hat { k } \right) .\left[ \left( 4-{ m }^{ 4 } \right) \hat { i } -\hat { j } (2-{ m }^{ 2 })+\hat { k } ({ m }^{ 2 }-2) \right] =0\)
\(\Rightarrow -2\left( { m }^{ 2 }-2 \right) =0\)
\(\Rightarrow { m }^{ 2 }-2=0\)  \(\left[ \because -2\neq 0 \right] \)
\(\Rightarrow { m }^{ 2 }=2\)
\(\Rightarrow m=\pm \sqrt { 2 } \) 

\(I = \int ^\frac {\pi}{2} _0 \frac {\cos \theta}{ (1 + \sin \theta)(2 + \sin \theta)}\) dθ  என்க.
u = 1 + \(\sin \theta\) எனப் பிரதியிடக் கிடைப்பது du = cosθ dθ
θ = 0 எனில் u =1 மற்றும் \(\theta\) = \(\frac{\pi}{2}\)  எனில் u = 2 .
∴ I = \(\int ^2_1 \frac{du}{u(1+u)}\) = \(\int ^2_1 \frac{(1+u)-u}{u(1+u)}\) du = \(\int ^2_1 (\frac{1}{u} - \frac{1}{1+u})\)du = [log u- log(1+u)\(]^2_1\)
= (log2-log3) - (log1-log2) = 2log2 - log3 = log \(\frac{4}{3}\).

\(x= cos \space t, y=2 \space sin^{2}t; t=\frac{\pi}{3}\) 
\(t=\cfrac { \pi }{ 3 } \) ல்,\(x=cos\cfrac { \pi }{ 3 } =\cfrac { 1 }{ 2 } \) 
\(t=\cfrac { \pi }{ 3 } \) ல் \(y=2{ sin }^{ 2 }\cfrac { \pi }{ 3 } =2\left( \cfrac { 3 }{ 4 } \right) =\cfrac { 3 }{ 2 } \) 
புள்ளி \(\left( \cfrac { 1 }{ 2 } ,\cfrac { 3 }{ 2 } \right) \) 
இப்போது \(x=cos \space t\) \(y=2 \space { sin }^{ 2 }t\) 
't' ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த,
\(\cfrac { dx }{ dt } =-sint\)  \(\cfrac { dy }{ dt } =4 \space sin \space t \space cost\) 
தொடுகோட்டின் சாய்வு 
\(m=\cfrac { dy }{ dx } =\cfrac { \frac { dy }{ dt } }{ \frac { dx }{ dt } } =\cfrac { 4 \space sin \space t \space cost }{ -sin \space t } =-4 \space cos \space t\) 
\(\left( \cfrac { dx }{ dy } \right) _{ (t=\pi /3) }=-4cos\cfrac { \pi }{ 3 } =-2\) 
செங்கோட்டின் சாய்வு \(-\cfrac { 1 }{ m } =\cfrac { 1 }{ 2 } \) 
தொடுகோட்டின் சமன்பாடு 
\(y-{ y }_{ 1 }=m\left( x-{ x }_{ 1 } \right) \) 
\(\Rightarrow y-\cfrac { 3 }{ 2 } =-2\left( x-\cfrac { 1 }{ 2 } \right) \) 
\(\Rightarrow 2y-3=-4x+2\) 
\(\Rightarrow 4+2y-5=0\) 
செங்கோட்டின் சமன்பாடு 
\(y-{ y }_{ 1 }=-\cfrac { 1 }{ m } \left( x-{ x }_{ 1 } \right) \) 
\(\Rightarrow y-\cfrac { 3 }{ 2 } =\cfrac { 1 }{ 2 } \left( x-\cfrac { 1 }{ 2 } \right) \) 
\(\Rightarrow 2(2y-3)=2x-1\) 
\(\Rightarrow 4y-6=2x-1\) 
 \(\Rightarrow 2x-4y+5=0\)

\(f(x)={ x }^{ 2 }-x,x\varepsilon [0,1]\) 
\(\\ f(0)=0,f(1)=0\) 
\(\Rightarrow f(0)=f\left( 1 \right) =0\) 
f(x) என்பது \(\left[ 0,1 \right] \) ல் தொடர்ச்சியானது.
f(x) என்பது (0,1) ல் வகையிடத்தக்கது.
இப்போது,\(f'(x)=2x-1\) 
தொடுகோடு x-அச்சுக்கு இணை என்பதால் 
\(f'\left( x \right) =0\Rightarrow 2x-1=0\) 
\(x=\cfrac { 1 }{ 2 } \in \left( 0,1 \right) \)

\(g\left( x \right) =\sqrt { { x }^{ 2 }+9 } ,{ x }_{ 0 }=-4\) 
\(g\left( { x }_{ 0 } \right) =g\left( -4 \right) =\sqrt { 16+9 } =5\) 
\(=\cfrac { x }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+9 } } \) 
\(g'\left( { x }_{ 0 } \right) =g'\left( -4 \right) =\cfrac { -4 }{ \sqrt { 16+9 } } =-\cfrac { 4 }{ 5 } \) 
\(L\left ( x \right) =g\left( { x }_{ 0 } \right) +g'\left( { x }_{ 0 } \right) \left( x-{ x }_{ 0 } \right) \) 
= \(5+\left( -\cfrac { 4 }{ 5 } \right) \left( x+4 \right) \) 
= \(\cfrac { 25-4x-16 }{ 5 } \) 
= \(\cfrac { 9-4x }{ 5 } \)

கிளை வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி \(\frac { \partial g }{ \partial r } ,\frac { \partial g }{ \partial s } \) -ஐக் காண்போம்.
\(\frac { \partial g }{ \partial x } \) =2x, \(\frac { \partial g }{ \partial y } \) =2, \(\frac { \partial x }{ \partial r } \) =2, \(\frac { \partial x }{ \partial s } \) =-1, \(\frac { \partial y }{ \partial r } \) =2r, மற்றும் \(\frac { \partial y }{ \partial s } \) =2.
தற்போது \(\frac { \partial g }{ \partial r } \) = \(\frac { \partial g }{ \partial x } \frac { \partial x }{ \partial r } +\frac { \partial g }{ \partial y } \frac { \partial y }{ \partial r } \) = 2x(2) + 2(2r) = 12r - 4s.
மேலும்,  \(\frac { \partial g }{ \partial s } \) = \(\frac { \partial g }{ \partial x } \frac { \partial x }{ \partial s } +\frac { \partial g }{ \partial y } \frac { \partial y }{ \partial s } \) = 2x(-1) +(2)2=2s - 4r+4.

\(\left( A\wedge B \right) \vee C=\left( \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) \vee \left( \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right) \) 
\(=\left( \begin{matrix} 0\vee 1 & 0\vee 1 & 0\vee 0 & 0\vee 1 \\ 0\vee 0 & 0\vee 1 & 0\vee 1 & 0\vee 0 \\ 1\vee 1 & 0\vee 1 & 0\vee 1 & 1\vee 1 \end{matrix} \right) \)
\(=\left(\begin{array}{llll} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)\)

\(\\ \\ \int _{ 0 }^{ 1 }{ \cfrac { 2x+7 }{ { 5x }^{ 2 }+9 } dx } =\int _{ 0 }^{ 1 }{ \cfrac { 2x }{ { 5x }^{ 2 }+9 } } +7\int _{ 0 }^{ 1 }{ \cfrac { dx }{ ({ 5x }^{ 2 }+9) } } =\cfrac { 1 }{ 5 } \log\left[ { 5x }^{ 2 }+9 \right] _{ 0 }^{ 1 }+\cfrac { 7 }{ 5 } \int _{ 0 }^{ 1 }{ \cfrac { dx }{ { x }^{ 2 }+\left( \frac { 3 }{ \sqrt { 5 } } \right) ^{ 2 } } } \)
\(=\cfrac { 1 }{ 5 } \left[ \log14-\log9 \right] +\cfrac { 7 }{ 5 } \times \cfrac { \sqrt { 5 } }{ 3 } \left[ { \tan }^{ -1 }\cfrac { x }{ \left[ \frac { 3 }{ \sqrt { 5 } } \right] } \right] =\cfrac { 1 }{ 5 } \log\cfrac { 14 }{ 9 } +\cfrac { 7 }{ 3\sqrt { 5 } } { \tan }^{ -1 }\cfrac { \sqrt { 5 } }{ 3 } \)

f(x) = tan^-1 \(\sqrt { 9-{ x }^{ 2 } } \) என்க.
\(\sqrt { 9-{ x }^{ 2 } } \) ∈ R ஆனால் \(\sqrt { 9-{ x }^{ 2 } } \) ≥ 0
∴ 9 - x² ≥ 0
⇒ x² - 9 ≤ 0
⇒ (x + 3) (x - 3) ≤ 0
⇒ சார்பகம் [-3, 3]

\(adj\quad (A)=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 6 \\ -3 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ -6 \\ 6 \end{matrix} \right] \)
\({ A }^{ -1 }=\pm \frac { 1 }{ \sqrt { |adjA| } } (adj\ A)\) என அறிவோம். ...(1)
|adj A| = 0 + 2(36 - 18) + 0 = 2(18) = 36
\(|adj\ A|=0+2\left| \begin{matrix} 6 & -6 \\ -3 & 6 \end{matrix} \right| +0\)
[R₁ மூலம் விரிவுபடுத்தப்பட்டது]
\(\therefore { A }^{ -1 }=\pm \frac { 1 }{ \sqrt { 36 } } \left[ \begin{matrix} 0 \\ 6 \\ -3 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ -6 \\ 6 \end{matrix} \right] \)
\(\pm \frac { 1 }{ 6 } \left[ \begin{matrix} 0 & -2 & 0 \\ 6 & 2 & -6 \\ -3 & 0 & 6 \end{matrix} \right] \)

sin^-1 x = \(\theta \) என்க.
எனவே, x = sin \(\theta \) மற்றும் x \(\neq \) 0 \(\theta \in \left[ -\frac { \pi }{ 2 } ,0 \right] \cup \left[ 0,\frac { \pi }{ 2 } \right] \) எனக் கிடைக்க பெறுகிறது.
\(\cos\theta \ge 0\) மற்றும் \(\cos\theta =\sqrt { 1-{ \sin }^{ 2 }\theta } =\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } \)
எனவே, \(\cot({ sin }^{ -1 }x)=\cot\theta =\sqrt { \frac { 1-{ x }^{ 2 } }{ x } } ,|x|\le 1\) மற்றும் x \(\neq \) 0

\(z={ (\sqrt { 3 } +i) }^{ n }\) என்க.
\(z={ (\sqrt { 3 } +i) }^{ n }={ \left[ 2\left( \frac { \sqrt { 3 } +i }{ 2 } \right) \right] }^{ n }\)
\(={ 2 }^{ n }{ \left[ \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { i }{ 2 } \right] }^{ n }\) [2 ஆல் பெருக்கி வகுக்க]
\(={ 2 }^{ n }{ \left[ cos\frac { \pi }{ 6 } +i \ sin\frac { \pi }{ 6 } \right] }^{ n }\)
\(={ 2 }^{ n }\left[ cos \ n\frac { \pi }{ 6 } +i\ sin \ n\frac { \pi }{ 6 } \right] \)  ...(1)
\(\bar { z } ={ 2 }^{ n }\left[ cos \ n\frac { \pi }{ 6 } -i \ sin \ n\frac { \pi }{ 6 } \right] \) ...(2)
ஆதலால் z என்பது மெய், z = \(\bar { z } \)
⇒ \({ 2 }^{ n }\left[ cos\ n\frac { \pi }{ 6 } +isin \ n\frac { \pi }{ 6 } \right] \)
= \({ 2 }^{ n }\left[ cos\ n\frac { \pi }{ 6 } -i \ sin \ n\frac { \pi }{ 6 } \right] \)[(1) மற்றும் (2) லிருந்து]
\(\Rightarrow 2i \ sin\ n\frac { \pi }{ 6 } =0\Rightarrow sin \ n\frac { \pi }{ 6 } =0\)
\(\Rightarrow sin \ n\frac { \pi }{ 6 } =sin \ \pi \)
\(\Rightarrow \frac { n\pi }{ 6 } =\pi \Rightarrow \frac { n }{ 6 } =1\Rightarrow n=6\)

z = \(\frac { 2i }{ 3+4i } \) என்க
\(\left| z \right| =\left| \frac { 2i }{ 3+4i } \right| =\frac { \left| 2i \right| }{ \left| 3+4i \right| } =\frac { \sqrt { { 2 }^{ 2 } } }{ \sqrt { { 3 }^{ 2 }+{ 4 }^{ 2 } } } =\frac { 2 }{ \sqrt { 9+16 } } \)
\(=\frac { 2 }{ \sqrt { 25 } } =\frac { 2 }{ 5 } \)

\(x+iy=3-i\sqrt { 3 } \) என்க.
\(=r(cos\theta +isin\theta )\)
\(r=\sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } =\sqrt { { 3 }^{ 2 }+(-{ \sqrt { 3 } ) }^{ 2 } } =\sqrt { 9+3 } \)
\(=\sqrt { 12 } =2\sqrt { 3 } \)
\(\alpha ={ tan }^{ -1 }\left| \frac { y }{ x } \right| ={ tan }^{ -1 }\left| \frac { -\sqrt { 3 } }{ 3 } \right| ={ tan }^{ -2 }\left| \frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \right| =\frac { \pi }{ 6 } \) 
\(3-i\sqrt { 3 } \) என்ற கலப்பெண்கள் நான்காம் கால்பகுதியில் அமைவதால்,
\([\because x\rightarrow +ve,y\rightarrow -ve]\)
அதன் முதன்மைவீச்சு \(\theta =\alpha \)
⇒ \(\theta =-\frac { \pi }{ 6 } \)
∴ துருவ வடிவம் 
\(3-i\sqrt { 3 } =2\sqrt { 3 } \)
\(2\sqrt { 3 } \left( cos\left( 2k\pi +\frac { \pi }{ 6 } \right) +isin\left( 2k\pi +\frac { \pi }{ 6 } \right) \right) ,K ∈ Z\)

இங்கு α=1, β=2 மற்றும் \(\gamma \)=-2
∴ தேவையான முப்படி சமன்பாடு
x³-(1+1-2)x²+(1-2-2)x-(1)(1)(-2)=0
x³-0x²-3x+2=0
x³-3x+2=0

\({ x }^{ 2 }\cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =-\left[ 1+\left( \cfrac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 } \right] ^{ \frac { 1 }{ 2 } }\) 
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்தக் கிடைப்பது 
\({ x }^{ 2 }\left( \cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } \right) =\left[ 1+\left( \cfrac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 } \right] \) 
\({ x }^{ 4 }\left( \cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } \right) ^{ 2 }=1+\left( \cfrac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 }\) 
இச்சமன்பாட்டில் உயர்ந்த வரிசை வகைக்கெழு \(\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } \) மற்றும் இதன் அடுக்கு 2.
ஃ வரிசை = 2 மற்றும் இதன் அடுக்கு 2. 

50% அமிலத்தன்மை கரைசலிலிருந்து x லிட்டர் மற்றும் 25% அமிலத்தன்மை கரைசலிலிருந்து y லிட்டர் சேர்க்க வேண்டும் என்க.
கொடுக்கப்பட்ட தரவின்படி, x+y=10   ...(1)
மற்றும் \(x\left( \frac { 50 }{ 100 } \right) +y\left( \frac { 25 }{ 100 } \right) =10\left( \frac { 40 }{ 100 } \right) \)
\(\Rightarrow 50x+25y=400\Rightarrow 2x+y=16\quad \quad ...(2)\)
சமன்பாட்டுத் தொகுப்பின் அணி வடிவம் 
\(\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 10 \\ 16 \end{matrix} \right] \)
⇒ AX=B இங்கு \(A=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right] \)
\(\Rightarrow \quad X={ A }^{ -1 }B|A|=\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right| =1-2=-1\)
\(\Rightarrow \quad X=\frac { 1 }{ |A| } adj\quad A.B\)
\(\Rightarrow X=-1\left[ \begin{matrix} 1 \\ -2 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 10 \\ 16 \end{matrix} \right] \)
\(=-\left[ \begin{matrix} 10 \\ -20 \end{matrix}\begin{matrix} -16 \\ +16 \end{matrix} \right] \)
\(\Rightarrow X=-\left[ \begin{matrix} -6 \\ -4 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix} \right] \)
50% அமிலத்தன்மை கரைசலிலிருந்து 6 லிட்டர் மற்றும் 25% அமிலத்தன்மை கரைசலிலிருந்து 4 லிட்டர் சேர்க்க வேண்டும்.

\(\vec { a } =-2\hat { i } +3\hat { j } +4\hat { k } \) மற்றும் \(\vec { b } =-4\hat { i } +5\hat { j } -6\hat { k } \) என்க.
ஒரு புள்ளி \(\left( \vec { a } \right) \) வழிச் செல்லும் \(\vec { b } \) க்கு இணையான நேர்கோட்டின் வெக்டர் சமன்பாட்டின் துணையலகு வடிவம்
\(\vec { r } =\vec { a } +t\vec { b } \) இங்கு t \(\epsilon \)R
\(\therefore \vec { r } =-2\hat { i } +3\hat { j } +4\hat { k } +t\left( -4\hat { i } +5\hat { j } -6\hat { k } \right) ,t\epsilon R\) 
அதனுடைய கார்டீசியன் சமன்பாடு 
\(\cfrac { x-x_{ 1 } }{ { { b }_{ 1 } } } =\cfrac { y-{ y }_{ 1 } }{ { b }_{ 2 } } =\cfrac { z-{ z }_{ 1 } }{ { b }_{ 3 } } \) 
\(\Rightarrow \cfrac { x+2 }{ -4 } =\cfrac { y-3 }{ 5 } =\cfrac { z-4 }{ -6 } \) 
[\(\therefore\) (x₁,y₁,z₁),(-2,3,4),(b₁,b₂,b₃),(-4,5,-6)]

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு \(\frac { { (x-3) }^{ 2 } }{ 225 } +\frac { { (y-4) }^{ 2 } }{ 289 } =1\)
இது அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு a² = 289
b² = 225 மற்றும் c² = a² + b²\(\Rightarrow\) 289 - 225 = 64
\(\Rightarrow\) c = 8
\(e=\sqrt { 1\frac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } } =\sqrt { 1-\cfrac { 225 }{ 289 } } =\sqrt { \cfrac { 2589-225 }{ 289 } } \)
\(\sqrt { \cfrac { 64 }{ 289 } } =\cfrac { 8 }{ 17 } \)
(a) மையம் (3,4) \(\Rightarrow\) h = 3, k = 4
(b) குவியங்கள் (h,k+c), (h,k-c), (h,k+a)
\(\Rightarrow\) (3, 4+8), (3, 4-8) \(\Rightarrow\) (3,12), (3,-4)
(c) முனைகள் (h, k-a), (h,k+a)
\(\Rightarrow\) (3,4,-17), (3,4+17) \(\Rightarrow\) (3,-13), (3,21)
(d) இயக்குவரைகளின் சமன்பாடுகள்
\(y-4=\pm \cfrac { a }{ e } \)
\(\Rightarrow y-4=\pm \cfrac { 17 }{ 18 } \Rightarrow y-4\pm \cfrac { 289 }{ 9 } \)
\(\Rightarrow y=\cfrac { 289 }{ 8 } +4\) மற்றும் \(y=\cfrac { -289 }{ 8 } +4\)
\(\Rightarrow y=\cfrac { 289+32 }{ 2 } \)  மற்றும் \(y=\cfrac { -257 }{ 8 } \)

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி \([A/B]=\left[ \begin{matrix} 2 & -3 & 5 \\ 3 & 1 & \lambda \\ 1 & -7 & 8 \end{matrix}|\begin{matrix} 12 \\ \mu \\ 17 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 1 }\leftrightarrow { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -7 & 8 \\ 3 & 1 & \lambda \\ 2 & -3 & 5 \end{matrix}|\begin{matrix} 17 \\ \mu \\ 12 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-3{ R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-2{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -7 & 8 \\ 0 & 22 & \lambda -51 \\ 0 & 11 & -11 \end{matrix}|\begin{matrix} 17 \\ \mu -51 \\ -22 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-2{ R }_{ 3 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }\div 11 }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -7 & 8 \\ 0 & 0 & \lambda -2 \\ 0 & 1 & -1 \end{matrix}|\begin{matrix} 17 \\ \mu -7 \\ -2 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\leftrightarrow { R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -7 & 8 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & \lambda -2 \end{matrix}|\begin{matrix} 17 \\ -2 \\ \mu -7 \end{matrix} \right] \)
நிலை (i) λ≠2 எனில்,
ρ([A|B])=3 மற்றும் ρ(A)=3
∴ ρ([A|B])=ρ(A)=3=மாறிகளின் எண்ணிக்கை 
∴ ஒரே ஒரு தீர்வை கொண்டிருக்கும் 
நிலை (ii) λ=2 எனில் μ=7,
\([A|B]=\left[ \begin{matrix} 1 & -7 & 8 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}|\begin{matrix} 17 \\ -2 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
இங்கு ρ(A)=2 மற்றும் ρ([A|B])=2
∴ ρ(A)=ρ([A|N])=2 <மாறிகளின் எண்ணிக்கை  தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடன் எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகளை கொண்டிருக்கும்.
நிலை (iii) λ=2 மற்றும் μ≠7 எனில் மட்டும் 
ρ(A)=2 மற்றும் ρ([A|B])=3
∴ ρ(A) ≠ ρ([A|B])
ஆகையால், கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகளின் தொகுப்பு ஒருங்கமைவற்றது.

சராசரி 
\(E\left( X \right) =\int _{ 0 }^{ 30 }{ xf\left( x \right) } dx\) 
\(=\int _{ 0 }^{ 30 }{ x\cfrac { 1 }{ 30 } dx } \)
\(=\cfrac { 1 }{ 30 } \left[ \cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ 0 }^{ 30 }\)
\(=\cfrac { 1 }{ 30 } \left[ \cfrac { 30\times 30 }{ 2 } -0 \right] \)
= 15 நிமிடங்கள் 
மாணவரின் சராசரி காத்திருப்பு நேரம் என்பது 15 நிமிடங்கள் ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்டது n = 6 .
குறைபாடுள்ள ஒரு பொருளைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கான நிகழ்தகவு \(\frac{20}{100}\), அதாவது p = \(\frac{1}{5}\).
q = 1 − p = \(\frac{4}{5}\). குறைபாடுள்ள பொருட்களின் எண்ணிக்கையை X குறிப்பதால், X கொள்ளும் மதிப்புகள் 0,1,2,...,6ஆகும்.
எனவே X ஈருறுப்பு பரவலைப் பின்பற்றுகிறது. அதனை X~B (6, \(\frac{1}{5}\))  எனக் குறிப்பிடலாம்.
இதிலிருந்து பெறுவது \(f(x) = \left( \begin{matrix} 6 \\ x \end{matrix} \right) (\frac{1}{5})^x(\frac{4}{5})^{6-x},\quad x=0,1,2,...,6\).
(i) இரு குறைபாடுகளுள்ள பொருட்களுக்கான நிகழ்தகவு,
P(X = 2) = \(f(2) = \left( \begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix} \right) (\frac{1}{5})^2(\frac{4}{5})^{6-2}=15(\frac{4^4}{5^6})\) 
(ii) அதிகபட்சம் ஒரு பொருள் குறைபாடுள்ளதாக இருக்க நிகழ்தகவு,
P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1)
\(=\left( \begin{matrix} 6 \\ 0 \end{matrix} \right) (\frac{1}{5})^0(\frac{4}{5})^{6-0}+\left( \begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix} \right) (\frac{1}{5})^1(\frac{4}{5})^{6-1}\)
\(=\left( \begin{matrix} 4 \\ 5 \end{matrix} \right)^6 +(6)(\frac{4^5}{5^6})=2(\frac{4}{5})^5\)
அதிகபட்சம் ஒரு பொருள் குறைபாடுள்ளதாக  இருக்க நிகழ்தகவு 2\((\frac{4}{5})^5\).
(iii) குறைந்தபட்சம் இரு பொருட்கள் குறைபாடுள்ளதாக  இருக்க நிகழ்தகவு
P(X ≥ 2) = 1 − P(X < 2) =1 − P(X ≤ 1) = 1 − 2\((\frac{4}{5})^5\)
குறைந்தபட்சம் இரு பொருட்கள் குறைபாடுள்ளதாக இருக்க நிகழ்தகவு 1 −2\((\frac{4}{5})^5\).

இங்கு \(\frac { dy }{ dx } \) -ன் கெழுவை 1ஆக மாற்ற சமன்பாட்டின் இருபுறமும் (1 + x³) ஆல் வகுக்க வேண்டும்.
எனவே, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு \(\frac { dy }{ dx } +\frac { { 6x }^{ 2 }y }{ 1{ +x }^{ 3 } } =\frac { { 1+x }^{ 2 } }{ { 1+x }^{ 3 } } .\)
இது y-ல் நேரியல் வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.
இங்கு, \(P=\frac { { 6x }^{ 2 } }{ 1{ +x }^{ 3 } } ;Q=\frac { { 1+x }^{ 2 } }{ { 1+x }^{ 3 } } \) 
\(\int { Pdx } =\int { \frac { { 6x }^{ 2 } }{ { 1+x }^{ 3 } } } dx=2log\left| { 1+x }^{ 3 } \right| =log{ \left| { 1+x }^{ 3 } \right| }^{ 2 }={ log\left( { 1+x }^{ 3 } \right) }^{ 2 }\)
தொகையீட்டுக் காரணி \(={ e }^{ \int { Pdx } }={ e }^{ { log\left( { 1+x }^{ 3 } \right) }^{ 2 } }={ \left( { 1+x }^{ 3 } \right) }^{ 2 }\)
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் தீர்வு \({ ye }^{ \int { Pdx } }={ Qe }^{ \int { Pdx } }dx+C\)
\(y{ \left( { 1+x }^{ 3 } \right) }^{ 2 }=\int { \frac { { 1+x }^{ 2 } }{ { 1+x }^{ 3 } } } { \left( { 1+x }^{ 3 } \right) }^{ 2 }dx+C=\int { \left( { 1+x }^{ 2 } \right) \left( { 1+x }^{ 3 } \right) dx+C } =\int { (1+{ x }^{ 2 }+{ x }^{ 3 }+{ x }^{ 5 } } )dx+C\)
அல்லது \({ \left( { 1+x }^{ 3 } \right) }^{ 2 }=x+\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } +\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } +\frac { { x }^{ 6 } }{ 6 } +C\)
மற்றும் \(y=\frac { 1 }{ { \left( { 1+x }^{ 3 } \right) }^{ 2 } } \left[ x+\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } +\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } +\frac { { x }^{ 6 } }{ 6 } +C \right] .\) இதுவே தேவையான தீர்வாகும்.

v என்பது திசைவேகம் என்க.
கொடுக்கப்பட்டது: மின்விசைபடகின் இயந்திரம் நொடிக்கு 10 மீ வேகத்தில் இயங்குகிறது.இயந்திரத்தின் இயக்கம் நிறுத்தப்பட்ட பிறகு அதன் முடுக்கம் குறை மதிப்பாக இருக்கும்.
எனவே,அது \(\cfrac { -dv }{ dt } \) ஆக இருக்கும்.
அதாவது,\(\cfrac { dv }{ dt } =-v\) எனுமாறு எழுதலாம்.
இருபுறமும் தொகையிட 
\(\int { \cfrac { dv }{ v } } =\int { -dt } \) 
\(logv=-t+logc\) 
\(logv-logc=-t\) 
\(log\left( \cfrac { v }{ c } \right) =-t\) 
\(\cfrac { v }{ c } ={ e }^{ -t }\) 
\(v={ ce }^{ -t }\) 
தொடக்கக் கட்டுப்பாடு:
கொடுக்கப்பட்டது
t=0 எனும்போது \(v=10\) மீ/நொடி 
சமன்பாடு (1) ல் பிரதியிட,நமக்கு கிடைப்பது 
\(10={ ce }^{ -0 }\) 
\(10={ ce }^{ 0 }\) 
\(10=c\) 
\(\therefore c=10\) 
\((1)\Rightarrow v={ 10e }^{ -1 }\) 
t=2 எனும்போது v ஐக் காண வேண்டும்.
2 நொடிகளுக்கு பிறகு திசைவேகம் \(\cfrac { 10 }{ { e }^{ 2 } } \) 
அதாவது \(v=\cfrac { 10 }{ { e }^{ 2 } } \)

\(\lambda A^{-1} =A \)
\(\lambda I=A^2 =\left[\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 5 & -2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 5 & -2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 4+15 & 6-6 \\ 10-10 & 15+4 \end{array}\right] \)
\(\lambda\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc} 19 & 0 \\ 0 & 19 \end{array}\right] \Rightarrow \lambda=19 \)

வட்டத்தின் சமன்பாடு\((x - 3) ^ 2 + (y + r) ^ 2 = r ^ 2 \) ....(1)
இது (1, -2) என்ற புள்ளி வழிச் செல்கிறது
\( (1-3)^2+(-2+r)^2 =r^2 \\ 4+4-4 r+r^2 =r^2 \Rightarrow r=2 \\ (x-3)^2+(y+2)^2 =4 \)
\((5-3)^2+(-2+2)^2=4 \Rightarrow 4=4\)

\(\omega=\operatorname{cis} \frac{2 \pi}{3}=\cos \frac{2 \pi}{3}+i \sin \frac{2 \pi}{3}\) மற்றும் 
\(\left|\begin{array}{ccc} z+1 & \omega & \omega^2 \\ \omega & z+\omega^2 & 1 \\ \omega^2 & 1 & z+\omega \end{array}\right|=0\)
\((z+1)\left[\left(z+\omega^2\right)(z+\omega)-1\right]-\omega\left[\omega(z+\omega)-\omega^2\right]+ \omega^2\left[\omega-\omega^2\left(z+\omega^2\right) 1=0\right.\)
\(z^3+\left(\omega^2+\omega+1\right) z^2+\left(\omega^3+\omega-1-\omega^4\right) z+ (2\omega^2-\omega^ 6-1) = 0\)
கொடுக்கப்பட்டது \(ω=\cos \frac{2 \pi}{3}+i \sin \frac{2 \pi}{3}\)
\(\omega^2=e^{\frac{i 2 \pi}{3}}=-\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\(\omega^2=e^{\frac{i 4 \pi}{3}}=-\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\(\omega^3=e^{i 2 \pi}=1 \)
\(\omega^4=e^{\frac{i 8 \pi}{3}}=-\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}=\omega \)
\(\omega^6=\omega^3 \cdot \omega^3=1\)
சமன்பாடு (1) ஆனது \(z^3+(0) z^2+(0) z+0=0\)
\(\Rightarrow z^3=0\)

\(\vec{r}=(\hat{i}-2 \hat{j}-\hat{k})+t(6 \hat{j}-\hat{k})\\ \vec{r}=\vec{a}+t(\vec{b}-\vec{a})\ i.e\ \vec{a}, \vec{b}\\ \vec{a}  =\hat{i}-2 \hat{j}-\hat{k} \\ \vec{b}-\vec{a}  =6 \hat{j}-\hat{k} \Rightarrow \vec{b}=6 \hat{j}-\hat{k}+\vec{a} \\ \vec{b}  =6 \hat{j}-\hat{k}+\hat{i}-2 \hat{j}-\hat{k}=\hat{i}+4 \hat{j}-2 \hat{k}\)
புள்ளிகள் (1,-2,-1) மற்றும் (1,4,-2)