\(f(x)=\cfrac { 1 }{ 2 } \left( { e }^{ x }-{ e }^{ -x } \right) \) 
\(f'\left( x \right) =\cfrac { 1 }{ 2 } \left( { e }^{ x }+{ e }^{ -x } \right) \) 
\(f''\left( x \right) =\cfrac { 1 }{ 2 } \left( { e }^{ x }-{ e }^{ -x } \right) \) 
\(f''\left( x \right) =0\Rightarrow \cfrac { 1 }{ 2 } \left( { e }^{ x }-{ e }^{ -x } \right) =0\) 
தேக்கநிலைப் புள்ளி x=0
\(\therefore \) இடைவெளிகள் \(\left( -\infty ,0 \right) \) மற்றும் \(\\ \left( 0,\infty \right) \) 
இடைவெளி \(\left( 0,\infty \right) \) ல்,\(f''\left( x \right) <0\)  வளைவரை மேல்நோக்கி குழிவானது.
வளைவரை \(\left( 0,\infty \right) \) ல் மேல்நோக்கி குழிவாகவும் \(\left( -\infty ,0 \right) \) ல் கீழ்நோக்கி குழிவாகவும் உள்ளது.
x=0 ஐக் கடக்கும்போது,\( f''\left( x \right) \) ன் குறி மாறுகிறது.
இப்போது \(f(0)=\cfrac { 1 }{ 2 } \left( { e }^{ 0 }-{ e }^{ 0 } \right) =\cfrac { 1 }{ 2 } \left( 1-1 \right) =0\) வளைவு மாற்றப் புள்ளி (0, 0)

கொடுக்கப்பட்ட சார்பு \(x\in (-\infty, \infty) \) -ல் வரையறுக்கப்பட்டு வகையிடத்தக்கதாக உள்ளது.
\(f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}\).
இதிலிருந்து \(f'(x)=-\frac{2x}{(1+x^{2})^{2}}\) எனப்பெறலாம்.
தேக்க நிலை எண்களைக் காண \(-\frac{2x}{(1+x^{2})^{2}}=0\) -ஐ தீர்க்க நமக்குக் கிடைப்பது x = 0 ஆகும்.
ஆகவே சார்பு f(x) -ன் ஓரியல்பு இடைவெளிகள் \((-\infty,0)\) மற்றும் \((0,\infty)\) ஆகும்.
\(f'(x)<0, \forall x\in(0,\infty)\) என்பதால் f (x) ஆனது இவ்விடைவெளியில் திட்டமாக இறங்கும். மேலும் f'(x) -ன் குறி x = 0 -ஐ கடக்கும் போது மிகையிலிருந்து குறைக்கு மாறுவதால், முதலாம் வகைக்கெழு சோதனையின்படி, x = 0 -வில் இடஞ்சார்ந்த பெரும மதிப்பு f(0) =1 ஆகும்.

f(x) = (x - 2)², 
\(f'(x)=2(x-2)=0 \Rightarrow x=2\).
ஓரியல்பு இடைவெளிகள் \((-\infty,2)\) மற்றும் \((2,\infty)\) ஆகும். \(f'(x)<0, \forall x \in (-\infty,2)\) என்பதால்  \((-\infty,2)\)-ல் f(x) திட்டமாக இறங்கும். இதுபோலவே  \(f'(x)>0, \forall x \in(2, \infty)\) என்பதால்  \((2,\infty)\) -ல் f(x) திட்டமாக ஏறும். f'(x)-ன் குறி x = 2 -ஐ கடக்கும் போது (இடமிருந்து வலமாக ) குறையிலிருந்து மிகையாக மாறுவதால், x = 2 -ல் f (x) -க்கு இடம் சார்ந்த சிறுமம் உள்ளது. இந்த இடம் சார்ந்த சிறும மதிப்பு f (2) = 0 ஆகும்.

\(\underset { x\rightarrow \frac { \pi^- }{ 2 } }{ \lim } \cfrac { \sec x }{ \tan x } \) [\(\cfrac { \infty }{ \infty } \) தேரப்பெறா வடிவம் சுருக்கக் கிடைப்பது 
= \(\underset { x\rightarrow \frac { \pi^- }{ 2 } }{\lim } \cfrac { 1 }{ \sin x } =\cfrac { 1 }{ \sin\frac { \pi }{ 2 } } =1\)

இது \(\frac{\infty}{\infty}\) எனும் தீர்மானிக்கப்படாத வடிவில் உள்ளது. எனவே , எல்லை மதிப்பை காண லோபிதாலின் விதியை நாம் பயன்படுத்தலாம்.
\(\underset{x\rightarrow 1^{-}}{\lim}(\frac{\log(1-x)}{\cot(\pi x)})=\underset{x\rightarrow1^{-}}{\lim}(\frac{-\frac{1}{1-x}}{-\pi cosec^{2}(\pi x)})\) \((\frac{\infty}{\infty})\) வடிவம்
இதனைச் சுருக்க ,
\(=\underset{x\rightarrow1^-}{\lim}(\frac{\sin^{2}(\pi x)}{\pi (1-x)})\) \((\frac{0}{0})\) வடிவம்
மீண்டும் லோபிதாலின் விதியை பயன்படுத்த,
\(= \underset{x\rightarrow 1^{-}}{\lim}(\frac{2\pi \sin(\pi x). \cos(\pi x)}{-\pi})\)
=\(\underset{x\rightarrow 1^-}{\lim}(-2 \sin(\pi x).\cos (\pi x))\) = 0.

\(f(x)=log\left( 1-x \right)\) என்க\(-1\le x<1\) 
\(f(x)=log\left( 1-x \right) \quad f(0)=0\) 
\(f'(x)=-\cfrac { 1 }{ 1-x } \quad f'(0)=-1\) 
\(f''(x)=-\cfrac { 1 }{ \left( 1-x \right) ^{ 2 } } \quad f''(0)=-1\) 
\(f'''(x)=-\cfrac { 2 }{ (1-x)^{ 3 } } f'''(0)=-2\) 
\({ f }^{ IV }\left( x \right) =-\cfrac { 6 }{ (1-x)^{ 4 } } { f }^{ IV }(0)=-6\) 
மெக்லாரின் விரிவு 
\(f(x)=\overset { \infty }{ \underset { n=0 }{ \Sigma } } \cfrac { { f }^{ (n) }(0){ x }^{ n } }{ n! } \) 
\(f(0)+\cfrac { f'(0) }{ 1! } x+\cfrac { f''(0) { x }^{ 2 }}{ 2! }+...+\cfrac { { f }^{ (n) }(0){ x }^{ n } }{ n! } +...\) 
\(\log(1-x)=0\cfrac { 1 }{ 1! } x-\cfrac { 1 }{ 2! } { x }^{ 2 }-\cfrac { 2 }{ 3! } { x }^{ 3 }-\cfrac { 6 }{ 4! } { x }^{ 4 }+...\) 
\(=-\left[ x+\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +\cfrac { { x }^{ 3 } }{ 3 } +\cfrac { { x }^{ 4 } }{ 4 } +... \right] \)

\(f(x)=\sqrt { x } -\cfrac { x }{ 3 } ,x\varepsilon \left[ 0,9 \right] \) 
\(f(0)=0,f(9)=\sqrt { 9 } -\cfrac { 9 }{ 3 } =3-3=0\) 
\(\Rightarrow f\left( 0 \right) =0=f(9)\) 
f(x) என்பது [0,9]ல் தொடர்ச்சியானது 
f(x) என்பது (0,9)ல் வகையிடத்தக்கது.
இப்போது \(f'\left( x \right) =\cfrac { 1 }{ 2\sqrt { x } } -\cfrac { 1 }{ 3 } \) 
தொடுகோடு, x அச்சுக்கு இணை என்பதால்,
\(f'(x)=0\) 
\(\cfrac { 1 }{ 2\sqrt { x } } -\cfrac { 1 }{ 3 } =0\Rightarrow \cfrac { 1 }{ 2\sqrt { 3 } } =\cfrac { 1 }{ 3 } \) 
\(\sqrt { x } =\cfrac { 3 }{ 2 } \) 
\(x=\cfrac { 9 }{ 4 } \) 
\(x=\cfrac { 9 }{ 4 } \in \left( 0,9 \right) \)

P(x) = \(x^{4}-6x^{3}-11x^{2}+24x+28\) என்ற பல்லுறுப்புக் கோவைக்கு \(\alpha\) = 2, \(\beta\) = 7 எனக்கொண்டு
எடுத்துக்காட்டு -ன் முடிவைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.
இப்பொழுது, \(\frac{P'(x)}{2}=2x^{3}-9x^{2}-11x+12=Qx\), (என்க).
இதிலிருந்து Q(x) என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையின் ஒரு பூச்சியம் (2,7) என்ற இடைவெளியில் அமையும் என நிறுவலாம்.
சரிபார்த்தல் ,
Q(2) = 16 - 36 - 22 + 12 = 28 - 58 = -30 < 0
Q(7) = 686 - 441 - 77 +12 = 698 - 518 = 180 > 0
இதிலிருந்து Q(x) என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையின் ஒரு பூச்சியம் (2,7) என்ற இடைவெளியில் அமையும் என்கிறோம்.

f(x)=x⁴+2x³-2 என்க . f (x) ஆனது [0,1] -ல் தொடர்ச்சியானதாகவும், (0,1) -ல் வகையிடத்தக்கதாகவும் உள்ளது.
இப்பொழுது f'(x)=4x³+6x². f'(x)=0 எனில், 2x²(2x+3)=0
எனவே , \(x=0, -\frac{3}{2}\) ஆனால் \(0, -\frac{3}{2} \notin (0,1)\).
ஆகவே , \(f'(x)>0, \forall x\in (0,1)\).
எனவே , ரோலின் தேற்றத்தின்படி \(a,b \in(0,1)\) என்ற எண்களை f(a)=0=f(b) எனுமாறு காண இயலாது. ஆனால் f(0)=-2<0 மற்றும்  f(1)=1>0 என்பதில் இருந்து  y=f(x) ஆவது இடைநிலை மதிப்பு தேற்றப்படி, 0 மற்றும் 1-க்கு இடையில் ஒரே ஒரு முறை x -அச்சை வெட்டும். எனவே ,  x⁴+2x³-2=0 என்ற சமன்பாட்டிற்கு (0,1) என்ற இடைவெளியில் ஒரே ஒரு தீர்வுதான் இருக்கும்.
ரோலின் தேற்றத்தின் பயன்பாடாக கீழ்க்கண்டதை நாம் பெறலாம்.

\(x= cos \space t, y=2 \space sin^{2}t; t=\frac{\pi}{3}\) 
\(t=\cfrac { \pi }{ 3 } \) ல்,\(x=cos\cfrac { \pi }{ 3 } =\cfrac { 1 }{ 2 } \) 
\(t=\cfrac { \pi }{ 3 } \) ல் \(y=2{ sin }^{ 2 }\cfrac { \pi }{ 3 } =2\left( \cfrac { 3 }{ 4 } \right) =\cfrac { 3 }{ 2 } \) 
புள்ளி \(\left( \cfrac { 1 }{ 2 } ,\cfrac { 3 }{ 2 } \right) \) 
இப்போது \(x=cos \space t\) \(y=2 \space { sin }^{ 2 }t\) 
't' ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த,
\(\cfrac { dx }{ dt } =-sint\)  \(\cfrac { dy }{ dt } =4 \space sin \space t \space cost\) 
தொடுகோட்டின் சாய்வு 
\(m=\cfrac { dy }{ dx } =\cfrac { \frac { dy }{ dt } }{ \frac { dx }{ dt } } =\cfrac { 4 \space sin \space t \space cost }{ -sin \space t } =-4 \space cos \space t\) 
\(\left( \cfrac { dx }{ dy } \right) _{ (t=\pi /3) }=-4cos\cfrac { \pi }{ 3 } =-2\) 
செங்கோட்டின் சாய்வு \(-\cfrac { 1 }{ m } =\cfrac { 1 }{ 2 } \) 
தொடுகோட்டின் சமன்பாடு 
\(y-{ y }_{ 1 }=m\left( x-{ x }_{ 1 } \right) \) 
\(\Rightarrow y-\cfrac { 3 }{ 2 } =-2\left( x-\cfrac { 1 }{ 2 } \right) \) 
\(\Rightarrow 2y-3=-4x+2\) 
\(\Rightarrow 4+2y-5=0\) 
செங்கோட்டின் சமன்பாடு 
\(y-{ y }_{ 1 }=-\cfrac { 1 }{ m } \left( x-{ x }_{ 1 } \right) \) 
\(\Rightarrow y-\cfrac { 3 }{ 2 } =\cfrac { 1 }{ 2 } \left( x-\cfrac { 1 }{ 2 } \right) \) 
\(\Rightarrow 2(2y-3)=2x-1\) 
\(\Rightarrow 4y-6=2x-1\) 
 \(\Rightarrow 2x-4y+5=0\)

T =10x-x² எனக்  கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. எனவே ஒரு முனையிலிருந்து எந்த அளவு தூரத்திலும் வெப்பநிலை மாறுபாட்டு வீதமானது \(\frac{dT}{dx}=10-2x \) ஆகும். கம்பியின் மையப்புள்ளி  x = 5 –ல் உள்ளது. 
x = 5 எனப்பிரதியிட, \(\frac{dT}{dx}=0\) எனக்கிடைக்கும்.

x,y என்பன இரண்டு மிகை எண்கள் என்க 
கொடுக்கப்பட்ட பெருக்குத்தொகை \(20\Rightarrow xy=20\) 
\(\Rightarrow y=\cfrac { 20 }{ x } \) 
கூடுதல் \(S=x+y\) 
\(S=x+\cfrac { 20 }{ x } \) 
\(\cfrac { ds }{ dx } =1-\cfrac { 20 }{ { x }^{ 2 } } \) 
பெருமம் அல்லது சிறுமத்திற்கு \(\cfrac { dS }{ dx } =0\) 
\({ x }^{ 2 }-20=0\) 
\({ x }^{ 2 }=20\) 
\(x=\pm 2\sqrt { 5 } \) 
\(x=-2\sqrt { 5 } \) என்பது சாத்தியமல்ல 
\(\cfrac { { d }^{ 2 }S }{ { dx }^{ 2 } } =\cfrac { 40 }{ { x }^{ 3 } } \) 
\(x=2\sqrt { 5 } \quad \cfrac { { d }^{ 2 }S }{ { dx }^{ 2 } } >0\) 
\(\therefore x=2\sqrt { 5 } \) எனும்போது கூடுதல் "S" என்பது சிறுமமாகிறது.
\(y=\cfrac { 20 }{ 2\sqrt { 5 } } =2\sqrt { 5 } \) 
குறைந்தபட்ச கூடுதல் = \(2\sqrt { 5 } +2\sqrt { 5 } =4\sqrt { 5 } \)

\(f(x)={ x }^{ 2 }-12x+10;\left[ 1,7 \right] \) 
\(f'(x)=2x-12\) 
\(f'\left( x \right) =0\Rightarrow 2x-12=0\) 
\(x=6 \in \left( 1,7 \right) \) 
f(x)-ன் மதிப்பை x = 1, 7, 6 என்ற முடிவுப் புள்ளிகளில் கணக்கிட 
\(f(1)=1-12+10=-1\) 
\(f(7)=49-84+10=-25\)
f(6) = 36 - 72 + 10 = -26 
மீப்பெரு அறுதி மதிப்பு f(1)=-1
மீச்சிறு அறுதி மதிப்பு f(2)=-26

x = 0 என நேரடியாக பிரதியிடும் போது நாம் \(\frac{0}{0}\) என்ற தேரப்பெறா வடிவத்தைப் பெறுகிறோம். ஆகவே , லோபிதாலின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்த,
\(\underset{x\rightarrow 0}{\lim}(\frac{\sin mx}{x})\)=\(\underset{x\rightarrow 0}{\lim}(\frac{m\times \cos mx}{1})\)
அடுத்த எடுத்துக்காட்டில் எல்லை இல்லாத் தன்மையை அறியலாம்.

't ' நேரத்தில் இடப்பெயர்ச்சி s = \(\frac{t^{3}}{3}-t^{2}+3\) ஆகும்.
't ' நேரத்தில் திசைவேகம் v = \(\frac{ds}{dt}=t^{2}-2t\) ஆகும்.
't ' நேரத்தில் முடுக்கம் a = \(\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dt}=2t-2\) ஆகும்.
t²-2t=0 அதாவது, t = 0,2 எனும் போது திசைவேகம் பூச்சிய மதிப்பை அடையும். 2t-2=0
அதாவது, t =1 எனும்போது முடுக்கம் பூச்சிய மதிப்பை அடையும்.

கொடுக்கப்பட்டது 
கூம்பின் உயரம் = b செ.மீ 
மற்றும் அடிப்புற ஆரம் = a செ.மீ 
உருளை அடிப்புற ஆரம் 'r' செ.மீ.என்க.
அடிப்புற உயரம் 'h' செ.மீ.என்க 
படத்திலிருந்து, \(\cfrac { h }{ a-r } =\cfrac { b }{ a } \) (வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பண்பைப் பயன்படுத்த) 
\(\Rightarrow h=\cfrac { b }{ a } \left( a-r \right) \) 
= \(b-\cfrac { b }{ a } r\) 
உருளையின் கன அளவு \(V={ \pi r }^{ 2 }h\) 
= \(\pi { r }^{ 2 }\left( b-\cfrac { b }{ a } r \right) \) 
\(V=\pi \left( { br }^{ 2 }-\cfrac { b }{ a } { r }^{ 3 } \right) \) 
\(\cfrac { dv }{ dr } =\pi \left( 2br-3\cfrac { { br }^{ 2 } }{ a } \right) \) 
= \(\cfrac { \pi }{ a } \left( 2abr-{ 3br }^{ 2 } \right) \) 
பெருமம் அல்லது சிறுமத்திற்கு,
\(\cfrac { dV }{ dr } =0\Rightarrow br\left( 2a-3r \right) =0\) 
r=0 மற்றும் \(r=\cfrac { 2a }{ 3 } \) 
r=0 என்பது சாத்தியமல்ல 
\(\therefore r=\cfrac { 2a }{ 3 } \) 
\(\cfrac { { d }^{ 2 }V }{ { dr }^{ 2 } } =\pi \left( 2b-\cfrac { 6br }{ a } \right) \) 
\(r=\cfrac { 2a }{ 3 } \cfrac { { d }^{ 2 }V }{ { dr }^{ 2 } } =2\pi b-\cfrac { 6\pi b }{ a } \left( \cfrac { 2a }{ 3 } \right) =-2\pi b<0\) 
\(\therefore r=\cfrac { 2a }{ 3 } \) எனும்போது,கனஅளவு பெருமமாகிறது.
\(h=b-\cfrac { b }{ a } \left( \cfrac { 2a }{ 3 } \right) =\cfrac { b }{ 3 } \) 
இப்போது,உருளையின் கன அளவு = \({ \pi r }^{ 2 }h\) 
= \(\pi \left( \cfrac { 2a }{ 3 } \right) ^{ 2 }\left( \cfrac { b }{ 3 } \right) \) 
= \(\cfrac { 4 }{ 9 } \left( \cfrac { 1 }{ 3 } { \pi a }^{ 2 }b \right) \) 
= \(\cfrac { 4 }{ 9 } \) (கூம்பின் கன அளவு) எனவே நிறுவப்பட்டது.

கொடுக்கப்பட்டது:
\(r+h=6\) 
\(\Rightarrow r=6-h\) 
கனஅளவு \(V={ \pi r }^{ 2 }h\) 
\(V=\pi \left( 6-h \right) ^{ 2 }h\) 
\(\cfrac { dV }{ dh } =\pi \left[ \left( 6-h \right) ^{ 2 }\left( 1 \right) +2h\left( 6-h \right) \left( -1 \right) \right] \) 
= \(\pi \left( 6-h \right) \left[ 6-3h \right] \) 
பெருமம் அல்லது சிறுமத்திற்கு 
\(\cfrac { dV }{ dh } =0\Rightarrow \pi \left( 6-h \right) \left( 6-3h \right) =0\) 
\(\Rightarrow h=6,h=2\) 
r+h=6 என்பதால் r=6 என்பது சாத்தியமல்ல
\(\therefore h=2\) 
\(\cfrac { { d }^{ 2 }V }{ { dh }^{ 2 } } =\pi \left[ (6-h)(-3)+(6-3h)(-1) \right] \) 
= \(\pi \left[ 6h-24 \right] \) 
\(h=2\) ,ல் \(\quad \cfrac { { d }^{ 2 }V }{ { dh }^{ 2 } } <0\) 
\(\therefore\) h=2 எனும்போது உருளையின் கனஅளவு பெருமமாகிறது மற்றும் r=6-2=4
கன அளவின் மீப்பெரு மதிப்பு  \(V=\pi \left( 4 \right) ^{ 2 }\left( 2 \right) =32\pi \) 
கன அளவின் மீச்சிறு மதிப்பு V=0

ஒரு டன் குறைந்த தர எஃகின் விலை ரூ. p என்க. எனவே ஒரு டன் உயர்தர எஃகின் விலை ரூ.2p ஆகும்.
நாள் ஒன்றிற்கு பண வரவை R = px+2 py = px+ 2p\((\frac { 40-5x }{ 10-x })\) ஆகவே நாம் R -ஐ பெருமமாக்க வேண்டும். R -ஐ x -ஐப் பொருத்து வகையிட,
R = p \(\left( \frac { 80-{ x }^{ 2 } }{ 10-x } \right) \)
\(\frac { dR }{ dx } \)=P\(\left( \frac { { x }^{ 2 }-20x+80 }{ { \left( 10-x \right) }^{ 2 } } \right) \)
\(\frac { { d }^{ 2 }R }{ { dx }^{ 2 } } =-\frac { 40p }{ { \left( 10-x \right) }^{ 3 } } \)
இப்பொழுது, \(\frac { dR }{ dx } \) =0⇒ x² − 20x+ 80 =0
மேலும் இதிலிருந்து x = 10 土2\(\sqrt { 5 } \) எனப் பெறலாம்.
x =10−2\(\sqrt { 5 } \) -ல் \(\frac { { d }^{ 2 }R }{ { dx }^{ 2 } } \)<0 மேலும் இதிலிருந்து R பெரும மதிப்பை x = 10-2\(\sqrt { 5 } \) -ல் அடையும். x = 10-2\(\sqrt { 5 } \) எனில் y = 5 − \(\sqrt { 5 } \) ஆகும். எனவே, தரம் குறைந்த மற்றும் தரம் உயர்ந்த எஃகுகளை நாள் ஒன்றிற்கு முறையே 10-2\(\sqrt { 5 } \) மற்றும் 5- \(\sqrt { 5 } \)டன்கள் உற்பத்தி செய்ய வேண்டும்.

(1,1) என்ற புள்ளியில் இருந்து எந்த ஒரு புள்ளி (x, y) -க்கு உள்ள தூரம் d =\(\sqrt { { \left( x-1 \right) }^{ 2 }+{ \left( y-1 \right) }^{ 2 } } \) d -ல் கணக்கிடுவதற்குப் பதில், நம் வசதிக்காக D = d² = (x−1)²+ (y− 1)² -ல் கணக்கிடுவோம். இங்கு கட்டுப்பாடானது x² + y²  = 1 ஆகும். இப்பொழுது, \(\frac { dD }{ dx } \) = 2( x −1)+2(y −1) x \(\frac { dy }{ dx } \) இங்கு \(\frac { dy }{ dx } \) -யினை x² + y²  =1-ஐ வகையிட்டு கணக்கிடலாம். எனவே, 2x + 2y \(\frac { dy }{ dx } \) =0 ⇒\(\frac { dy }{ dx } \) =-\(\frac { x }{ y } \).
இதனைப் பிரதியிட, நாம் பெறுவது \(\frac { dD }{ dx } \) =2(x −1) +2(y −1)\(\left(- \frac { x }{ y } \right) \)
=\(\frac { 2\left[ xy-y-xy+x \right] }{ y } \)
எனவே, \(\frac { dD }{ dx } \) =2\(\left[ \frac { x-y }{ y } \right] \)=0
⇒x = y
(x, y) ஆனது x² + y²  =1 என்ற வட்டத்தின் மீது அமைவதால் 2x² = 1 ⇒x= 土\(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \) 
ஆகவே அறுதி தூரங்கள்  \(\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } ,\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) \), \(\left( -\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } ,-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) \) என்ற புள்ளிகளில் கிடைக்கும்.
இப்பொழுது, \(\frac { { d }^{ 2 }D }{ { dx }^{ 2 } } =2\frac { { y }^{ 2 }+{ x }^{ 2 } }{ { y }^{ 3 } } \)
மேலும் \({ \left( \frac { { d }^{ 2 }D }{ { dx }^{ 2 } } \right) }_{ \left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } ,\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) }>0;{ \left( \frac { { d }^{ 2 }D }{ { dx }^{ 2 } } \right) }_{ \left( -\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } ,-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) }<0\) 
இரண்டாம் வகைக்கெழு சோதனையின்படி மிக அருகாமையில் மற்றும் மிக தொலைவில் உள்ள புள்ளிகள் முறையே \(\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } ,\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) \) மற்றும் \(\left( -\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } ,-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) \) ஆகும்.
எனவே, மிகக் குறைந்த மற்றும் மிக அதிக தூரங்கள் முறையே \(\sqrt { 2 } \)-1 மற்றும் \(\sqrt { 2 } \)+1 ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்ட சார்பு 4-ஆம் வரிசை பல்லுறுப்புக் கோவை ஆகும். இப்பொழுது
f'(x)=(x-1)³+3(x-1)².(x-5)
=4(x-1)².(x-4)
f''(x)=4[(x-1)²+2(x-1).(x-4)]
=12(x-1).(x-3)
இப்பொழுது, f''(x)=0 \(\Rightarrow\) x=1, x=3.

குழிவு இடைவெளிகள் அட்டவணை -ல் அட்டவணைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது.

இடைவெளி	\((-\infty,1)\)	(1, 3)	\((3,\infty)\)
f''(x)-ன் குறி	+	-	+
குழிவுத் தன்மை	மேல்நோக்கி குழிவு	கீழ்நோக்கி குழிவு	மேல்நோக்கி குழிவு

\((-\infty,1)\) மற்றும் \((3,\infty)\) ஆகிய இடைவெளிகளில் வளைவரை மேல்நோக்கி குழிவு ஆகும்.
(1,3) என்ற இடைவெளியில் வளைவரை கீழ்நோக்கி குழிவு ஆகும்.
f ′′(x) -ன் குறியானது x =1 மற்றும் x = 3 ஆகியவற்றைக் கடக்கும் போது மாறுகிறது. எனவே , (1, f (1)) = (1,0) மற்றும் (3, f (3)) = (3,-16) ஆகியவை y = f (x) என்ற வளைவரையின் வளைவுமாற்றப் புள்ளிகள் ஆகும். குறி மாற்றத்தை அருகில் உள்ள  f ′′(x) -ன் வரைபடத்தின் மூலம் அறியலாம்.

\(f(x)=\frac{x}{x-5}\)
\(f'(x)=\frac{(x-5)(1)-x(1)}{(x-5)^{2}}=-\frac{5}{(x-5)^{2}}\)
எல்லா x \(\in\) R க்கும், f'(x) \(\neq\) 0  மற்றும் x = 5 ஆக இருக்கும் போது f'(x) காண இயலாது.
எனவே அறுதி மதிப்பு கிடையாது. ஆனால், தேக்க நிலை புள்ளிகள் x = 5.
x < 5 அல்லது x > 5 எனும்போது மட்டுமே சார்பு வரையறுக்கப்படுகிறது.
\(\therefore\) இடைவெளிகள்  (-\(\infty\), 5) மற்றும் (5, \(\infty\))
(-\(\infty\), 5) என்ற இடைவெளியில், f'(x) < 0
(5, \(\infty\)) என்ற இடைவெளியில், f'(x) < 0
கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் f'(x) ன் குறி மாறவில்லை. ஆதலால் இடஞ்சார்ந்த அறுதி மதிப்பு இல்லை.
மற்றும் f(x) என்பது (- \(\infty\), 5) மற்றும் (5, \(\infty\)) ஆகியவற்றில் திட்டமாக இறங்கும் சார்பாகும்.

f (x) = tan x என்க. f (x) -ன் மெக்லாரனின் விரிவு
\(f(x)=\sum^{n=\infty}_{n=0} a_{n}x^{n}\), இங்கு , \(a_{n}=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\).
f (x) -ன் வகைக்கெழுக்கள் மற்றும் x = 0 -ல் இதன் மதிப்புகள் அட்டவணைப்படுத்தப்பட்டுள்ளன:
இப்பொழுது,
\(f'(x)=\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^{2}(x)\)
\(f''(x)=\frac{d}{dx}\sec^{2}(x))=2\sec x.\sec x.\tan x= 2 \sec^{2}x.\tan x\)
\(f'''(x)=\frac{d}{dx}(2\sec^{2}(x).\tan x)= 2\sec^{2}(x).\sec^{2}x+\tan x.4\sec x.\sec x.\tan x\)
=\(2\sec^{4}x+4\sec^{2}x.\tan^{2}x\)
\(f^{(iv)}(x)=8sec^{3}(x).secx.tan x+4sec^{2}x.2tanx .sec^{2}x+8secx.secx.tanx.tan^{2}x\)
=\(16sec^{4}xtanx+8sec^{2}x.tan^{3}x\)
\(f^{(v)}(x)=16\sec^{4}x.\sec^{2}x+64\sec^{3}x.\sec x.\tan x.\tan x+8 \sec^{2}x.3\tan^{2}x.\sec^{2}x+16\sec x.\sec x.\tan x.\tan^{3}x\)
=\( 16\sec^{6}x+88\sec^{4}x.\tan^{2}x+16\sec^{2}x.\tan^{4}x\).

சார்பு மற்றும் அதன் வகைக்கெழுக்கள்	tan x மற்றும் அதன் வகைக்கெழுக்கள்	x = 0-ல் மதிப்பு
f(x)	tan x	0
f'(x)	sec2x	1
f''(x)	2sec2x tan x	0
f'''(x)	2sec4x + 4sec2x . tan2 x	2
f(iv)(x)	16sec4 x . tan x + 8 sec2 x . tan3 x	0
f(v)(x)	16sec6 x + 88 sec4 x . tan2 x + 16 sec2 x . tan4 x	16

இம்மதிப்புகளைப் பிரதியிட்டுச் சுருக்க , நமக்குத் தேவையான விரிவை கீழ்க்காணுமாறு பெறலாம்:
\(\tan x=x+\frac{1}{3}x^{3}+\frac{2}{15}x^{5}+...; -\frac{\pi}{2} < x <\frac{\pi}{2} \)

\(f(x)={ e }^{ -x }\) என்க.
\(f'(x)=-{ e }^{ x }\) 
லெக்ராஞ்சியின் சராசரி மதிப்புத் தேற்றத்தின்படி 
\(\left| \cfrac { f(b)-f(a) }{ b-a } \right| =\left| f'(c) \right| <1\) 
\(\left| \cfrac { { e }^{ -a }-{ e }^{ -b } }{ a-b } \right| <1\) 
\(\left| { e }^{ -a }-{ e }^{ -b } \right| <\left| a-b \right| \) 
எனவே நிறுவப்பட்டது.

\(f(x)=\cfrac { 1 }{ x } ,x\in \left[ a,b \right] \) 
\(f'(x)=-\cfrac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \) 
சராசரி மதிப்புத் தேற்றத்தின்படி 
\(f'c=\cfrac { f(b)-f(a) }{ b-a } \) 
\(-\cfrac { 1 }{ { c }^{ 2 } } =\cfrac { \frac { 1 }{ b } -\frac { 1 }{ a } }{ b-a } \) 
\(-\cfrac { 1 }{ { c }^{ 2 } } =\cfrac { \left( \frac { a-b }{ ab } \right) }{ b-a } \) 
\(-\cfrac { 1 }{ { c }^{ 2 } } =\cfrac { \left( \frac { b-a }{ ab } \right) }{ b-a } =-\cfrac { 1 }{ ab } \) 
\({ c }^{ 2 }=ab\) 
\(c=\pm \sqrt { ab } \) 
\(c=\sqrt { ab } \in \left[ a,b \right] \)
\(\therefore x=\sqrt { ab } \)

\(f(x)=(x-2),(x-7), x\in [3,11]\) 
f(x) என்பது கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்டது.
கொடுக்கப்பட்டது: தொடுகோடு, x=3 மற்றும் x=11 இடையில், முனைப்புள்ளிகள் வழிச் செல்லும் நாணுக்கு இணையாக உள்ளது.
\(\therefore f'\left( c \right) =\cfrac { f\left( b \right) -f(a) }{ b-a } \) 
\(2c-9=\cfrac { 36+4 }{ 11-3 } \) இங்கு \(f'(x)=2x-9\) 
\(2c-9=\cfrac { 40 }{ 8 } =5\) 
\(2c=14\Rightarrow c=7 \in \left( 3,11 \right) \) 
\(\therefore x=7\)

கொடுக்கப்பட்ட வளைவரைகள் \({ x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 }={ r }^{ 2 }\) ...(1) 
\(xy={ c }^{ 2 }\) ...(2)
\(\left( { x }_{ 1 },{ y }_{ 1 } \right) \) என்பது வளைவரைகள் வெட்டும் புள்ளி என்க.
\((1)\Rightarrow { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 }={ r }^{ 2 }\) 
'x' ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த 
\(2x-2y\cfrac { dy }{ dx } =0\) 
\(\cfrac { dy }{ dx } =\cfrac { x }{ y } \) 
இப்போது,\(\left( \cfrac { dy }{ dx } \right) _{ \left( { x }_{ 1 },{ y }_{ 1 } \right) }={ m }_{ 1 }=\cfrac { { x }_{ 1 } }{ { y }_{ 1 } } \) 
\((2)\Rightarrow xy={ c }^{ 2 }\) 
'x' 'ஐ'ப் பொறுத்து வகைப்படுத்த,
\(x\cfrac { dy }{ dx } +y.1=0\) 
\(\cfrac { dy }{ dx } =-\cfrac { y }{ x } \) 
\(\left( \cfrac { dy }{ dx } \right) _{ \left( { x }_{ 1 },{ y }_{ 1 } \right) }={ m }_{ 2 }=-\cfrac { { y }_{ 1 } }{ { x }_{ 1 } } \) 
இப்போது,\({ m }_{ 1 }\times { m }_{ 2 }=\cfrac { { x }_{ 1 } }{ { y }_{ 1 } } x\left( -\cfrac { { y }_{ 1 } }{ { x }_{ 1 } } \right) =-1\) 
எனவே,வளைவரைகள் செங்குத்தாக வெட்டிக்கொள்கின்றன.

வளைவரை \(y=\cfrac { x+1 }{ x-1 } \) 
'x'ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த 
\(\cfrac { dy }{ dx } =\cfrac { \left( x-1 \right) \left( 1 \right) -\left( x+1 \right) \left( 1 \right) }{ \left( x-1 \right) ^{ 2 } } \) 
தொடுகோட்டின் சாய்வு 'm'
= \(\cfrac { x-1-x-1 }{ \left( x-1 \right) ^{ 2 } } =\cfrac { 2 }{ \left( x-1 \right) ^{ 2 } } \) 
கொடுக்கப்பட்ட கோடு \(x+2y=6\) 
கோட்டின் சாய்வு = \(-\cfrac { 1 }{ 2 } \) 
தொடுகோடு,கோட்டிற்கு இணையாக இருப்பதால் தொடுகோட்டின் சாய்வு \(-\cfrac { 1 }{ 2 } \) ஆகும்.
\(\therefore \cfrac { dy }{ dx } =-\cfrac { 2 }{ \left( x-1 \right) ^{ 2 } } =-\cfrac { 1 }{ 2 } \) 
\(\left( x-1 \right) ^{ 2 }=4\) 
\(x-1=\pm 4\) 
\(x=-1,3\) 
x=-1 எனும்போது \(y=0\Rightarrow \) புள்ளி (-1, 0)
x=3 எனும்போது \(y=2\Rightarrow \) புள்ளி \((3,2)\) 
\((-1,0)\) எனும் புள்ளியில்,சாய்வு \(-\cfrac { 1 }{ 2 } \) ஐக்  கொண்ட தொடுகோட்டின் சமன்பாடு 
\(y-0=-\cfrac { 1 }{ 2 } \left( x+1 \right) \) 
\(2y=-x-1\Rightarrow x+2y+1=0\) 
(3, 2) எனும் புள்ளியில் சாய்வு \(-\cfrac { 1 }{ 2 } \) ஐக் கொண்ட தொடுகோட்டின் சமன்பாடு 
\(y-2=-\cfrac { 1 }{ 2 } \left( x-3 \right) \) 
\(2y-4=-x+3\) 
\(x+2y-7=0\)

\(y={ x }^{ 3 }-6{ x }^{ 2 }+x+3\) 
'x' ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த 
தொடுகோட்டின் சாய்வு \(\cfrac { dy }{ dx } ={ 3x }^{ 2 }12x+1\) 
செங்கோட்டின் சாய்வு = \(\cfrac { 1 }{ { 3x }^{ 2 }-12x+1 } \) 
கொடுக்கப்பட்ட கோடு  x+y=1729
கோட்டின் சாய்வு = -1
செங்கோடும்,கோடும் இணை என்பதால் அவற்றின் சாய்வுகள் சமம்.
\(\therefore -\cfrac { 1 }{ { 3x }^{ 2 }-12x+1 } =-1\) 
\({ 3x }^{ 2 }-12x+1=1\) 
\({ 3x }^{ 2 }-12x=0\) 
\(3x(x-4)=0\) 
x = 0, 4
x = 0 எனும்போது, \(y=(0)^{ 3 }-6(0)^{ 2 }+0+3=3\) 
x = 4 எனும்போது \(y=\left( 4 \right) ^{ 3 }-6(4)^{ 2 }+4+3\) 
= 64 - 96 + 4 + 3 = - 25
\(\therefore\) வளைவரையின் மீதுள்ள புள்ளிகள் (0, 3) மற்றும் (4, -25).

கொடுக்கப்பட்ட வளைவரையானது வட்டமோ அல்லது நீள்வட்டமோ அல்ல என்பதைக் கவனிக்க. உங்கள் பார்வைக்காக இந்த வளைவரை படம் -ல் காட்டப்பட்டுள்ளது.

இப்பொழுது, \(\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt} }{\frac{dx}{dt} } \)
= -\(\frac{6 cos2t}{6sin3t} = -\frac{cos2t}{sin3t} \).
எனவே, ஏதேனும் ஒரு புள்ளியில் தொடுகோட்டின் சமன்பாடு
\(y-3\sin2t= -\frac{\cos2t}{\sin3t}(x-2 \cos3t)\)
அதாவது, x cos 2t + y sin 3t = 3sin 2t sin 3t + 2cos 2t cos3t.
செங்கோட்டின் சாய்வு என்பது தொடுகோட்டுச் சாய்வின் எதிர்குறி தலைகீழ் மதிப்பு என்பதால் செங்கோட்டின் சாய்வு \(\frac{\sin3t}{\cos2t}\).
ஆகவே , செங்கோட்டின் சமன்பாடு \(y-3\sin2t=\frac{\sin3t}{\cos2t}(x-2\cos3t)\).
அதாவது, x sin 3t - y cos 2t = 2sin 3t cos 3t - 3sin 2t cos 2t = sin 6t-\(\frac{3}{2}\)sin4t.

கொடுக்கப்பட்டது:
\(x=0.8,y=0.6,\cfrac { dy }{ dt } -60\) மற்றும் \(\cfrac { ds }{ dt } =20\) 
படத்திலிருந்து,
\({ S }^{ 2 }={ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }\) 
\({ S }^{ 2 }=\left( 0.8 \right) ^{ 2 }+\left( 0.6 \right) ^{ 2 }\) 
= \(0.64+0.36\) 
\({ S }^{ 2 }=1\Rightarrow S=1\) 
\({ S }^{ 2 }={ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }\) 
't' ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த 
\(2S\cfrac { ds }{ dt } =2x\cfrac { dx }{ dt } +2y\cfrac { dy }{ dt } \) 
\(S\cfrac { dS }{ dt } =x\cfrac { dx }{ dt } +y\cfrac { dy }{ dt } \) 
\(1(20)=\left( 0.8 \right) \cfrac { dx }{ dt } +(0.6)-(-60)\) 
\(20=0.8\cfrac { dx }{ dt } -36\) 
\(\therefore \cfrac { dx }{ dt } =\cfrac { 20+36 }{ 0.8 } =\cfrac { 56 }{ 0.8 } =70\) 
\(\therefore\) மகிழுந்தின் வேகம் மணிக்கு 70 கி.மீ  

ஒரு சுற்றுக்கான நேரம் = 10 வினாடி 
இப்போது,கோணத்திசைவேகம் \(\cfrac { dv }{ dt } =\cfrac { 2\pi }{ 10 } =\cfrac { \pi }{ 5 } \) 
படத்திலிருந்து,\(\tan{ 45 }^{ o }=\cfrac { AB }{ OA } \) 
\(1=\cfrac { x }{ 5 } \Rightarrow x=5\) 
மீண்டும்,\(\tan\theta =\cfrac { x }{ 5 } \) 
\(x=5 \tan\theta \) 
't' ஐப் பொறுத்த வகைப்படுத்த 
\(\cfrac { dx }{ dt } =5{ \sec }^{ 2 }\theta \cfrac { d\theta }{ dt } \) 
= \(5{ \sec }^{ 2 }(45^{ o })\left( \cfrac { \pi }{ 5 } \right) \) 
= \(\left( \sqrt { 2 } \right) ^{ 2 }\pi =2\pi \) 
\(\therefore\) ஒளிக்கற்றை வினாடிக்கு \(2\pi \) கி.மீ வேகத்தில் நகரும்.  

(i) \(s(t)={ 2t }^{ 3 }-{ 9t }^{ 2 }+12t-4,t \geq 0\) 
திசைவேகம் \(v=\cfrac { ds }{ dt } ={ 6t }^{ 2 }-18t+12\) 
துகளின் திசைவேகம் மாறும்போது v=0
\(\therefore { 6t }^{ 2 }-18t+12=0\) 
\({ t }^{ 2 }-3t+2=0\) 
\(\left( t-2 \right) \left( t-1 \right) =0\) 
\(t=1,2\) 
\(\therefore t=1\) வினாடி மற்றும் t=2 வினாடி எனும்போது,துகளின் திசை மாறுகிறது.
(ii) முதல் 4 வினாடிகளில் துகள் பயணித்த தூரம் 
\(s(0)=-4\) 
\(s(1)=2\left( 1 \right) ^{ 3 }-9\left( 1 \right) ^{ 2 }+12(1)-4\) 
= 2-9+12-4 = 1
\(s(2)=2(2)^{ 3 }-9\left( 2 \right) ^{ 2 }+12(2)-4\) 
= \(16-36+24-4\)  = 0
\(s(3)=2\left( 3 \right) ^{ 3 }-9\left( 3 \right) ^{ 2 }+12\left( 3 \right) -4\) 
= \(54-81+36-4\)  = 5
\(s(4)=2\left( 4 \right) ^{ 3 }-9\left( 4 \right) ^{ 2 }+12(4)-4\) 
= \(128-144+48-4\)  = 28
முதல் 4 வினாடிகளில் துகள் பயணித்த தூரம் 
= \(|s(0)+s(1)|+|s(1)-s(2)|+|s(2)-s(3)|+|s(3)-s(4)|\) 
= \(|-4-1|+|1-0|+|0-5|+|5-28|\) 
= \(|-5|+|1|+|-5|+|-23|\) 
= 5+1+5+23 = 34 மீ .
(iii) \(s(t)={ 2t }^{ 3 }-9{ t }^{ 2 }+12t-4\) 
திசைவேகம் \(v=\cfrac { ds }{ dt } ={ 6t }^{ 2 }-18t+12\) 
\(v=0\Rightarrow 6\left( { t }^{ 2 }-3t+2 \right) =0\Rightarrow t=1,2\)
முடுக்கம் = \(\cfrac { { d }^{ 2 }s }{ { dt }^{ 2 } } =12t-18\) 
t=1ல், முடுக்கம் = 12(1) - 18 = - 6 மீ/வினாடி²
t=2ல், முடுக்கம் = 12(2) - 18 = 6 மீ /வினாடி²