A என்பது சமச்சீர் அணி என்க. எனவே A^T = A மற்றும் adj a (λ A) = λ^{n −1}adj(A) λ என்பது பூச்சியமற்ற திசையிலி இன் படி கிடைப்பது 
adj(A^T) = (adj A)^T ⇒ adj A = (adj A)^T ⇒ adj A ஆனது சமச்சீராகும்.

y² = 16x
கொடுக்கப்பட்ட பரவளையம் வலது பக்க திறப்புடையது மற்றும் \(4a=16\Rightarrow a=4\).
(a) முனை(0, 0)
\(\Rightarrow h=0,k=0\)
(b) குவியம் (h + a, 0 + k)
\(\Rightarrow (0+4,0+0)=(4,0)\)
(c) இயக்குவரையின் சமன்பாடு x = h - a
\(\Rightarrow x=0-4\Rightarrow x=-4\)
(d) செவ்வகத்தின் நீளம் 4a = 16

\(2+i\sqrt { 3 } \) பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒரு மூலம் ஆதலால் அதனுடைய இணை மேலும் 2-i \(\sqrt { 3 } \) யும் சமன்பாட்டிற்கும் ஒரு மூலமாகும்.
\(\sqrt { 3 } \) யும் அந்த சமன்பாட்டிற்கு ஒரு மூலமாகும்.
∴ மூலங்களின் கூடுதல் =2+i\(\sqrt { 3 } \)+2-i\(\sqrt { 3 } \)=4
மூலங்களின் பெருக்கல் பலன் =(2+i\(\sqrt { 3 } \))(2-i\(\sqrt { 3 } \))
=2²+(\(\sqrt { 3 } \))²
[∵ (a+ib)(a-ib)=a²+b²
=4+3=7
எனவே குறைந்தபட்ச படியுடன் விகிதமுறு கெழுக்களையுடைய பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடு
x²-x (மூலங்களின் கூடுதல்)+மூலங்களின் பெருக்கல் பலன் =0
⇒ x²-x(4)+7=0
⇒ x²-4x+7=0

வழக்கமான குறியீடுகளுடன் முக்கோணம் ABC-ல் \(\vec { BC } =\vec { a } ,\vec { CA } =\vec { b } \) மற்றும் \(\vec { AB } =\vec { c } \) என்க.
எனவே, \(\left| \vec { BC } \right| =a\),\(\left| \vec { CA } \right| =b\),\(\left| \vec { AB} \right| =c\) மற்றும் \(\vec { BC } +\vec { CA } +\vec { AB } =\vec { 0 } \)
எனவே, \(\left| \vec { BC } \right| =-\left| \vec { CA } \right|​​-\left| \vec { A B } \right|\)
\(\left| \vec { BC } \right|\) ஆல் இருபுறமும் புள்ளிப்பெருக்கல் காண நாம் பெறுவது 
\(\vec { BC } .\vec { BC } =-\vec { BC } .\vec { CA }-\vec { BC }. \vec { AB } \)
⇒ \({ \left| \vec { BC } \right| }^{ 2 }=-\left| \vec { BC } \right| \left| \vec { CA } \right| \)cos(\(\pi \)-c)-\(\left| \vec { BC } \right| \left| \vec { AB} \right| \)cos(\(\pi \)-B)
⇒ a² = -ab cos C + a cos B
எனவே a = b cosC + c cosB.முடிவுகள் (ii) மற்றும் (iii) ஆகியவற்றை இதேபோல் நிறுவலாம்.

(i) கூறுவெளி  S = {H, T} × {H, T}
அதாவது S = {TT, TH, HT, HH}

(ii) X : S → ℝ என்பது பூக்களின் எண்ணிக்கை என்க .
எனவே X(TT) = 2 (2 பூக்கள்)
X(TH) = 1 (1 பூ)
X(HT) = 1 (1 பூ)
X(HH) = 0 (0 பூக்கள்)
இனி X என்பது 0, 1 மற்றும் 2 ஆகிய மதிப்புகளைப் பெறும் சமவாய்ப்பு மாறியாகும்.
X(ω)என்பது பூக்களின் எண்ணிக்கையைக் குறிப்பிடுகிறது என்க , இதிலிருந்து

1-இன் நேர்மாறு பிம்பங்கள் {TH, HT} ஆகும். அதாவது X^-1({1}) = {TH, HT}.
(iii) நேர்மாறு பிம்பங்களில் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை பட்டியலில் காட்டப்பட்டுள்ளது.

f (x) ஆனது கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்டு மற்றும் 1< x< 2 என்ற இடைவெளியில் வகையிடத்தக்கதாகவும் உள்ளது. மேலும் f(1) = 0 மற்றும் f (2)=-2. எனவே, சராசரி மதிப்புத் தேற்றப்படி  c ∈ (1, 2) ஆனது  \(f'(c)=\frac{f(2)-f(1)}{2-1}=1-2c\) என்று இருக்கும்.
அதாவது, \(1-2c= -2 \Rightarrow c= \frac{3}{2}\) ஆகும்.

\(\int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ \left( 1-{ cos }^{ 2 }\theta \right) } { cos }^{ 5 }\theta sin\theta d\theta \) 
\(I=\int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ \left( { cos }^{ 5 }\theta -{ cos }^{ 7 }\theta \right) } sin\theta d\theta \) 
\(t=cos\theta \) 
\(dt=-sin\theta d\theta \) 
\(I=\int _{ 1 }^{ 0 }{ \left( { t }^{ 5 }-{ t }^{ 7 } \right) \left( -dt \right) } \) 
= \(\int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( { t }^{ 5 }-{ t }^{ 7 } \right) dt } \) 
= \(\left[ \cfrac { { t }^{ 6 } }{ 6 } -\cfrac { { t }^{ 8 } }{ 8 } \right] _{ 0 }^{ 1 }\) 
= \(\cfrac { 1 }{ 6 } -\cfrac { 1 }{ 8 } =\cfrac { 8-6 }{ 48 } \) 
\(\int ^\frac{\pi}{2}_{0} sin^3 \theta cos ^5 \theta d \)=\(\cfrac { 1 }{ 24 } \) 

\(z\left( x,y \right) ={ x }^{ 2 }y+3xy^{ 2 }\) 
\(L\left( x,y,z \right) =z\left( { x }_{ 0 },{ y }_{ 0 } \right) +\cfrac { \partial z }{ \partial x } { | }_{ { x }_{ 0 },{ y }_{ 0 } }\left( x-{ x }_{ 0 } \right) +\cfrac { \partial z }{ \partial y } { | }_{ { x }_{ 0 },{ y }_{ 0 } }\left( y-{ y }_{ 0 } \right) \) 
\(z\left( 2,-1 \right) =-4+3\times 2\left( -1 \right) ^{ 4 }\) 
= -4 + 6 = 2
\(\cfrac { \partial z }{ \partial x } { | }_{ 2,-1 }=-4+3\left( -1 \right) ^{ 4 }\) = -1
\(\cfrac { \partial z }{ \partial y } ={ x }^{ 2 }+12{ xy }^{ 3 }\) 
\(\cfrac { \partial z }{ \partial y } |_{ 2,-1 }=4+24\left( -1 \right) \) = -20
\(\therefore L\left( x,y,z \right) =2-\left( x-2 \right) -20\left( y+1 \right) \) 
= \(2-x+2-20y-20\) 
= \(-x-20y-16\) 
= \(\left( x+20y+16 \right) \)

 x, y என்ற எண்கள் x = y என்றவாறு உள்ளது எனில், பின்னர் x² = y²
மறுதலை: x மற்றும் y என்ற எண்கள் x² = y² என்றவாறு உள்ளது எனில் பின்னர் x = y 
எதிர்மறை: x மற்றும் y என்ற எண்கள் \(x\neq y\) என்றவாறு உள்ளது எனில் பின்னர் \({ x }^{ 2 }\neq { y }^{ 2 }\) 
நேர்மாறு: x மற்றும் y என்ற எண்கள் \({ x }^{ 2 }\neq { y }^{ 2 }\) என்றவாறு உள்ளது எனில் பின்னர் \(x\neq y\)

\(I=\int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ \cfrac { sinx }{ sinx+cosx } dx } \) ...(1) 
\(\int _{ 0 }^{ a }{ f(x)dx } =\int _{ 0 }^{ a }{ f(a-x) } dx\) 
\(I=\int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ \cfrac { sin\left( \pi /2-x \right) }{ sin\left( \pi /2-x \right) +cos\left( \pi /2-x \right) } dx } \)  
= \(\int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ \cfrac { cosx }{ cosx+sinx } dx } \) 
(1) ....(2) 
= \(2I=\int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ \left( \cfrac { sinx+cosx }{ sinx+cosx } \right) dx } \) 
= \(\int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ dx } =\left[ x \right] _{ 0 }^{ -\pi /2 }\) 
\(2I=\cfrac { \pi }{ 2 } \Rightarrow I=\cfrac { \pi }{ 4 } \)
 

\(\frac { 3+4i }{ 5-12i } \) - ன் மெய் மற்றும் கற்பனை பகுதிகளைக் காண இதனை x + iy என செவ்வக வடிவில் எழுத வேண்டும். இந்த பின்னத்தினை சுருக்க தொகுதி மற்றும் பகுதிகளை பகுதியிலுள்ள  கலப்பெண்ணின் இணை கலப்பெண்ணால் பெருக்கி பகுதியில் உள்ள i-ஐ நீக்கலாம்.
\(\frac { 3+4i }{ 5-12i } \) = \(\frac { (3+4i)(5+12i) }{ (5-12i)(5+12i) } \)
= \(\frac { (15-48)+(20+36)i }{ { 5 }^{ 2 }+{ 12 }^{ 2 } } \)
\(=\frac { -33+56i }{ 169 } =-\frac { 33 }{ 169 } +i\frac { 56 }{ 169 } \)
\(\frac { 3+4i }{ 5-12i } \) = \(-\frac { 33 }{ 169 } +i\frac { 56 }{ 169 } \) என்பது x  +iy வடிவில் உள்ளது.
ஆகவே மெய்பகுதி \(-\frac { 33 }{ 169 } \) மற்றும் கற்பனை பகுதி \(\frac { 56 }{ 169 } \)

sec^-1 \(\frac{5}{4}=\theta\) என்க. எனவே sec \(\theta=\frac{5}{4}\) அதனால், cos \(\theta=\frac{4}{5}\)
மேலும், sin \(\theta =\sqrt { 1-{ \cos }^{ 2 }\theta } =\sqrt { 1-{ \left( \frac { 4 }{ 5 } \right) }^{ 2 } } =\frac { 3 }{ 5 } \), எனப் பெற \(\theta=\sin^{-1}(\frac{3}{5})\)
ஆகையால், sec^-1\(\left( \frac { 5 }{ 4 } \right) ={ \sin }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 5 } \right)\) மற்றும் \({ \sin }^{ -1 }\frac { 3 }{ 5 } +{ \sec }^{ -1 }\left( \frac { 5 }{ 4 } \right) =2{ \sin }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) \)
\(|x|\le \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \) எனில், sin^-1\(\left( 2x\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } \right) =2{ \sin }^{ -1 }x,\) என அறிவோம்.
 \(\frac { 3 }{ 5 } <\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \), என்பதால் 2\({ \sin }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) ={ \sin }^{ -1 }\left( 2\times \frac { 3 }{ 5 } \sqrt { { 1-\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) }^{ 2 } } \right) ={ \sin }^{ -1 }\left( \frac { 24 }{ 25 } \right) \)
எனவே, \(\sin\left[ { \sin }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) +{ \sec }^{ -1 }\left( \frac { 5 }{ 4 } \right) \right] =\sin\left( { \sin }^{ -1 }\left( \frac { 24 }{ 25 } \right) \right) =\frac { 24 }{ 25 } ,\) ஏனெனில் \(\frac { 24 }{ 25 } \in [-1,1]\)

தளத்தின் சமன்பாடு 
\(\vec { r } =(\hat { 6i } -\hat { j } +\hat { k } )+s(-\hat { i } +2\hat { j } +\hat { k } )+t(-5\hat { i } -4\hat { j } -5\hat { k } )\)
\(\vec { a } =6\hat { i } -\hat { j } +\hat { k } \) \(\vec { b } =\hat { -i } +2\hat { j } +\hat { k } \) மற்றும்\(\vec { c } =\hat { -5i } -4\hat { j } -5\hat { k } \)
\(\therefore\) தளத்தின் வெக்டர் சமன்பாட்டின் துணையலகு இல்லாத வடிவம் \(\left( \vec { r } -\vec { a } \right) .\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) =0\)
\(\vec { b } \times \vec { c } \left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ -1 & 2 & 1 \\ -5 & -4 & -5 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } (-10+4)-\hat { j } \left( 5+5 \right) +\hat { k } \left( 44+10 \right) \)
= \(\hat { i(-6)-\hat { j } (10) } +\hat { k } (14)\) 
\(\therefore \left[ \vec { r } -\left( 6i-j+k \right) \right] .\left[ -6\hat { i } -10\hat { j } +14\hat { k } \right] =0\)
\(\Rightarrow \vec { r } .\left( -6\hat { i } -10\hat { j } +14\hat { k } \right) -\left( 6\hat { i } -\hat { j } +\hat { k } \right) .\left( -6\hat { i } -10\hat { j } +14\hat { k } \right) =0\)
\(\Rightarrow \vec { r } .\left( -6\hat { i } -10\hat { j } +14\hat { k } \right) -\left[ -36+10+14 \right] =0\)
\(\Rightarrow \vec { r } .\left( -6\hat { i } -10\hat { j } +14\hat { k } \right) +12=0\)
\(\div -2,\vec { r } .(3\hat { i } +5\hat { j } -7\hat { k } )-6=0\) 
\(\vec { r } =(x\hat { i } +y\hat { j } +2\hat { k } \) என்க 
\(\Rightarrow \left( x\hat { i } +y\hat { j } +z\hat { k } \right) .\left( 3\hat { i } +5\hat { j } -7\hat { k } \right) -6=0\)
\(\Rightarrow 3x+5y-7z-6=0\)  என்பது தேவையான கார்டீசியன் சமன்பாடு 

கனச் செவ்வகத்தின் நீளம் மற்றும் அகலம்
x+1, x+2, மற்றும் x+3
[∴ 1,2,3 அலகுகள் அதிகரிப்பதால்]
மேலும் கொள்ளளவு =V+52
[V என்பது அதிகரிப்பதால் 52]
 ∴ V+52 =(x+1)(x+2)(x+3)   .....(1)
⇒ V=(x+1)(x+2)(x+3)-52
இங்கு α=-1, β=-2, \(\gamma \)=-3
⇒ V=x³-x²(α+β+\(\gamma \))+x(αβ+β\(\gamma \)+\(\gamma \)α)-αβ\(\gamma \)-52
⇒ V=x³-x²(-1-2-3)+x(2+6+3)-(-1)(-2)(-3)-52
⇒ V=x³-x²(-6)+x(11)+6-52
⇒ x³=x³+6x²+11x+6-52
⇒ 6x²+11x-46=0
⇒ (6x+23)(x-2)=0
⇒ x=2
∴ கனச்சதுரத்தின் கொள்ளளவு =x³=2³=8 கன அலகுகள்
கனசெவ்வகத்தின் கன அளவு = 52 + 8 = 60 கன அலகுகள் 
[∵ x=\(\frac{-23}{6}\) என்பது சாத்தியமில்லை x ஆனது கனத்தின் பக்கத்தை குறிக்கிறது.

இது \(1^{\infty}\) எனும் தேரப்பெறா வடிவில் உள்ளது.  \(g(x)=(1+x)^{\frac{1}{x}}\) என்க. மடக்கை எடுக்க,
\(\log g(x)=\frac{\log(1+x)}{x}\)
\(\underset{x\rightarrow 0^{+}}{\lim} \log (g(x))=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{\lim}(\frac{\log(1+x)}{x})\) (\(\frac{0}{0}\) வடிவம்)
=\(\underset{x\rightarrow0^{+}}{\lim}(\frac{\frac{1}{1+x}}{1})\)  (லோபிதாலின் விதியின்படி)
=1.
ஆனால், \(\underset{x\rightarrow0^{+}}{\lim}\log g(x)=\log(\underset{x\rightarrow 0^{+}}{\lim} g(x))\)
எனவே , log\((\underset{x\rightarrow 0^{+}}{\lim} g(x))=1\).
ஆகவே அடுக்குப்படுத்த , \(\underset{x\rightarrow 0^{+}}{\lim}g(x)=e.\)

(a,0) மற்றும் (-a, 0) எனும் புள்ளிகள் வழியாகச் செல்லும் வட்டத்தின் மையம் y  அச்சின் மீது அமையும்.
வட்டத்தின் மையம் (0,b) என்க. ஆகவே, வட்டத்தின் ஆரம் \(\sqrt { { a }^{ 2 }{ b }^{ 2 } } \) ஆகும்.
எனவே , (a,0) மற்றும் (-a,0) எனும் புள்ளிகள் வழியாகச் செல்லும் வட்டக் தொகுதியின் சமன்பாடு x² + (y - b)² = a² + b². ... (1)
இங்கு b என்பது ஏதே னும் ஒரு மாறிலியாகும்.
சமன்பாடு (1)-ன் இருபக்கமும் x-ஐப் பொருத்து வகைக்கெழு காண,
\(2x+2(y-b)\frac { dy }{ dx } =0\Rightarrow y-b=-\frac { x }{ \frac { dy }{ dx } } \Rightarrow b=\frac { x }{ \frac { dy }{ dx } } +y\)
b-ன் இம்மதிப்பை சமன்பாடு (1)-ல் பிரதியிட, நாம் பெறுவது
\({ x }^{ 2 }+\frac { { x }^{ 2 } }{ { \left( \frac { dy }{ dx } \right) }^{ 2 } } ={ a }^{ 2 }+{ \left( \frac { x }{ \frac { dy }{ dx } } +y \right) }^{ 2 }\)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }{ \left( \frac { dy }{ dx } \right) }^{ 2 }+{ x }^{ 2 }={ a }^{ 2 }{ \left( \frac { dy }{ dx } \right) }^{ 2 }+{ \left[ x+y\left( \frac { dy }{ dx } \right) \right] }^{ 2 }\)
⇒ (x² - y² - a²) \(\frac { dy }{ dx } \) - 2xy = 0, இதுவே தேவையான வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.

இங்கு கொடுக்கப்பட்ட சார்பு u சமபடித்தானது அல்ல. எனவே ஆய்லரின் தேற்றம் சார்பு u -க்கு பயன்படுத்த முடியாது. இருப்பினும் f (x,y) = \(\left( \frac { x+y }{ \sqrt { x } +\sqrt { y } } \right) \)=sin u என்பது சமபடித்தானது. ஏனெனில்
f(tx,ty) = \(\frac { tx+ty }{ \sqrt { tx } +\sqrt { ty } } \) = t^1/2 f(x,y), \(\forall \) x,y,t\(\ge \)0
இங்கு f படி \(\frac { 1 }{ 2 } \) உடைய சமபடித்தான சார்பாகும். எனவே, ஆய்லரின் தேற்றப்படி
\(x\frac { \partial f }{ \partial x } +y\frac { \partial f }{ \partial y } =\frac { 1 }{ 2 } f(x,y)\).
தற்போது f = sin u எனப் பிரதியிட,
\(x\frac { \partial (sinu) }{ \partial x } +y\frac { \partial (sinu) }{ \partial y } =\frac { 1 }{ 2 } \sin\ u\)
\(x\ \cos u\frac { \partial u }{ \partial x } +y\ \cos u\frac { \partial u }{ \partial x } =\frac { 1 }{ 2 } \sin\ u\)  
இருபுறமும் cos u ஆல் வகுக்க
\(x\frac { \partial u }{ \partial x } +y\frac { \partial u }{ \partial y } =\frac { 1 }{ 2 } \tan\ u\)

மெய்மை அட்டவணையிலிருந்து  \(\neg(p \leftrightarrow q) \equiv p \leftrightarrow \neg q\) என்பது தெளிவு.

\(\\ \\ \int _{ 0 }^{ 1 }{ \cfrac { 2x+7 }{ { 5x }^{ 2 }+9 } dx } =\int _{ 0 }^{ 1 }{ \cfrac { 2x }{ { 5x }^{ 2 }+9 } } +7\int _{ 0 }^{ 1 }{ \cfrac { dx }{ ({ 5x }^{ 2 }+9) } } =\cfrac { 1 }{ 5 } \log\left[ { 5x }^{ 2 }+9 \right] _{ 0 }^{ 1 }+\cfrac { 7 }{ 5 } \int _{ 0 }^{ 1 }{ \cfrac { dx }{ { x }^{ 2 }+\left( \frac { 3 }{ \sqrt { 5 } } \right) ^{ 2 } } } \)
\(=\cfrac { 1 }{ 5 } \left[ \log14-\log9 \right] +\cfrac { 7 }{ 5 } \times \cfrac { \sqrt { 5 } }{ 3 } \left[ { \tan }^{ -1 }\cfrac { x }{ \left[ \frac { 3 }{ \sqrt { 5 } } \right] } \right] =\cfrac { 1 }{ 5 } \log\cfrac { 14 }{ 9 } +\cfrac { 7 }{ 3\sqrt { 5 } } { \tan }^{ -1 }\cfrac { \sqrt { 5 } }{ 3 } \)

\(u=sin3xcos4y\) 
\(\cfrac { \partial u }{ \partial x } =-12cos3xsinxsin4y\) 
\(\cfrac { \partial u }{ \partial y } =-4sin3xsin4y\) 
\(\cfrac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial x\partial y } =-12cos3xsin4y\) 
(1) மற்றும் (2) லிருந்து 
\(\cfrac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial x\partial y } =\cfrac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial y\partial x } \)

tan^-1 x + tan^-1 y + tan^-1 z = tan^-1\(\left[ \frac { x+y+z-xyz }{ 1-xy-yz-zx } \right] \)
நமக்கு தெரியும்.
tan^-1x + tan^-1y = tan^-1 \(\left( \frac { x+y }{ 1-xy } \right) \)  ...(1)
∴ LHS = tan^-1(x) + tan^-1(y) + tan^-1(z)
= tan^-1 \(\left( \frac { x+y }{ 1-xy } \right) \) + tan^-1(z)
= tan^-1 \(\left( \frac { \frac { x+y }{ 1-xy } +z }{ 1-z\left( \frac { x+y }{ 1-xy } \right) } \right) \)
[(1) ஐ பயன்படுத்தி]
= tan^-1 \(\left( \frac { \frac { x+y+z(1-xy) }{ 1-xy } }{ \frac { (1-xy)-z(x+y) }{ 1-xy } } \right) \)
= tan^-1 \(\left( \frac { \frac { x+y+z-xyz }{ 1-xy } }{ \frac { 1-xy-zx-zy }{ 1-xy } } \right) \)

= tan^-1 \(\left( \frac { x+y+z-xyz }{ 1-xy-yz-zx } \right) \) = RHS
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

கொடுக்கப்பட்ட y = ax² + bx + c     ...(1)
(-6, 8),(1) - ன் மீது அமைந்துள்ளது 
⇒ 8 = a(-6)² + b(-6) + c
⇒ 8 = 36a - 6b + c      ...(2)
(-2, -12), (1) -ன் மீது அமைந்துள்ளது 
⇒ -12 = a(-2)² + b(-2) + c
⇒ -12 = 4a - 2b + c   ....(3)
⇒ 8 = a(3) 2 + b(3) + c
⇒ 8 = 9a + 3b + c        ...(4)
விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியை ஏறுபடிவ வடிவத்திற்கு தொடக்கநிலை உருமாற்றங்கள் செய்யக் கிடைப்பது, 
[A|B] =\(\left[ \begin{matrix} 36 & -6 & 1 \\ 4 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} 8 \\ -1 \\ 8 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { 9R }_{ 2 }-{ R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { 4R }_{ 3 }-{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 36 & -6 & 1 \\ 0 & -12 & 8 \\ 0 & 18 & 3 \end{matrix}|\begin{matrix} 8 \\ -116 \\ 24 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }\div 4\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }\div 3 }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 36 & -6 & 1 \\ 0 & -3 & 2 \\ 0 & 6 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} 8 \\ -29 \\ 8 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }+2{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 36 & -6 & 1 \\ 0 & -3 & 2 \\ 0 & 0 & 5 \end{matrix}|\begin{matrix} -8 \\ -29 \\ -50 \end{matrix} \right] \)
ஏறுபடி வடிவத்திலிருந்து கிடைக்கும் சமான சமன்பாடுகளின் தொகுப்பாக கிடைப்பது.
36a - 6b + c = 8   ....(1)
-3b + 2c = -29   ....(2)
5c = -50
⇒ c=\(\frac{-50}{5}=-10\)
c=-10 என (2)-ல் பிரதியிட கிடைப்பது,
-3b + 2(-10) = -29
⇒ -3b - 20 = -29
⇒ -3b = -29 + 20
⇒ -3b = -9
⇒ b = \(\frac{-9}{-3}=3\)
b=3 மற்றும் c=-10 என (1)ல் பிரதியிட கிடைப்பது,
36a - 6(3) - 10 = 8
⇒36a - 18 - 10 = 8
⇒ 36a - 28 = 8
⇒ a=\(\frac{36}{36}=1\)
∴ a = 1, b = 3, x = -10
எனவே சிறுவனின் பாதை 
y = 1(x²) + 3(x) - 10
⇒ y = x² + 3x - 10
அவனுடைய நண்பன் P(7, 60) என்ற புள்ளியில் உள்ளதால்,
⇒ 60 = (7)² + 3(7) - 10
⇒ 60 = 49 + 21 - 10
⇒ 60 = 70 - 10 = 60
⇒ 60 = 60
(7, 60) பாதையை நிறைவு செய்கிறது, அவன் P(7, 60)ல் உள்ள அவன் நண்பனை சந்திப்பான்.

\(\vec { r } =(6\hat { i } +\hat { j } +2\hat { k } )+s(\hat { i } +2\hat { j } -3\hat { k } )\)
\(\vec { a } =(6\hat { i } +\hat { j } +2\hat { k } )\)மற்றும்  \(\vec {b}=s(\hat { i } +2\hat { j } -3\hat { k } )\)
\(\vec { r } =(3\hat { i } +2\hat { j } -2\hat { k } )+t(2\hat { i } +4\hat { j } -5\hat { k } )\)
\(\vec { c } =3\hat { i } +2\hat { j } -2\hat { k } \)  மற்றும் \(\vec { d } =2\hat { i } +4\hat { j } -5\hat { k } \) 
ஆதலால் \(\vec { b } \neq \vec { d } \) இணை இல்லை மற்றும் வெட்டுவதில்லை.
எனவே இரு கோடுகளும் ஒரு தளம் அமையா கோடுகள் 
ஒரு தளம் அமையா கோடுகளுக்கு  இடைப்பட்ட குறைந்தபட்ச தூரம் 
\(\delta =\cfrac { \left| \left( \vec { a } -\vec { c } \right) \left( \vec { b } \times \vec { d } \right) \right| }{ \left| \vec { b } \times \vec { d } \right| } \)  
= \(\hat { i } \left( -10+12 \right) -\hat { j } \left( -5+6 \right) +\hat { k } \left( 4-4 \right) \) 
= \(2\hat { i } -\hat { j } \Rightarrow \left| \vec { b } \times \vec { d } \right| =\sqrt { { 2 }^{ 2 }+\left( -1 \right) ^{ 2 } } =\sqrt { 5 } \) 
\(\vec { c } =\vec { a } =\left( 3\hat { i } +2\hat { j } -2\hat { k } \right) -\left( 6\hat { i } +\hat { j } +2\hat { k } \right) \) 
= \(-3\hat { i } +\hat { j } -4\hat { k } \) 
\(\therefore \left( \vec { c } -\vec { a } \right) .\left( \vec { b } \times \vec { d } \right) =\left( -3\hat { i } +\hat { j } -4\hat { k } \right) .\left( 2\hat { i } -\hat { j } \right) \)
= -6-1=-7
\(\therefore \delta =\cfrac { \left| -7 \right| }{ 5 } =\cfrac { 7 }{ \sqrt { 5 } } \) அலகுகள்

(i) குவியங்கள் \(\left( \pm 3,0 \right) ,e=\cfrac { 1 }{ 2 } \)
ஆதலால் \(\left( \pm ae,0 \right) \) குவியங்கள்
\(\Rightarrow ae=3\)
\(\Rightarrow a.\cfrac { 1 }{ 2 } =3\Rightarrow a=6\)
மையம்(0, 0) மற்றும் b² = a²(1-e²)
\(\Rightarrow { b }^{ 2 }=36\left( 1-\cfrac { 1 }{ 4 } \right) \)
\(\Rightarrow { b }^{ 2 }=36\left( \cfrac { 3 }{ 4 } \right) \)
\(\Rightarrow { b }^{ 2 }=27\)
\(\therefore\) நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\)
\(\Rightarrow \cfrac { { x }^{ 2 } }{ 36 } +\cfrac { y^{ 2 } }{ 27 } =1\)
\(\Rightarrow \cfrac { { x }^{ 2 } }{ 36 } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ 27 } =1\)
(ii) குவியங்கள் மற்றும்\(\left( 0,\pm 4 \right) \)
நெட்டச்சின் முனைப்புள்ளிகள் \(\left( 0,\pm 5 \right) \)
குவியங்கள் \(\left( 0,\pm be \right) \Rightarrow be=4\)
நெட்டச்சின் முனை புள்ளிகள் \((0,\pm 5)\)
\(\Rightarrow b=5\)
\(\therefore 5(e)=4\)
\(\Rightarrow e=\cfrac { 4 }{ 5 } \)
மேலும் a² = b²(1-e²)
\(\Rightarrow { a }^{ 2 }=25\left( 1-\cfrac { 16 }{ 25 } \right) =25\left( \cfrac { 25-16 }{ 25 } \right) \)
\(\Rightarrow { a }^{ 2 }=9\)
நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\)
\(\Rightarrow \cfrac { { x }^{ 2 } }{ 9 } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ 25 } =1\)
(iii)  நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு = 8, \(e=\cfrac { 3 }{ 5 } \) மற்றும் நெட்டச்சு x -அச்சு 
கொடுக்கப்பட்ட  \(\cfrac { 2b^{ 2 } }{ a } -8,e=\cfrac { 3 }{ 5 } \)
b² = 4a
b² = a²(1-e²)
 \(4a={ a }^{ 2 }\left( 1-\cfrac { 9 }{ 25 } \right) \)
\(4=a\left( \cfrac { 25-9 }{ 25 } \right) \)
100 = a(16)
\(a=\cfrac { 100 }{ 16 } =\cfrac { 25 }{ 4 } \Rightarrow { a }^{ 2 }=\cfrac { 625 }{ 16 } \)
\({ b }^{ 2 }=4\times \cfrac { 25 }{ 4 } =25\)
நெட்டச்சு x-அச்சு ஆதலால் நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு 
\(\cfrac { \left( x-0 \right) ^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } +\cfrac { \left( y-0 \right) ^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\)
\(\Rightarrow \cfrac { { x }^{ 2 } }{ \frac { 625 }{ 16 } } +\cfrac { { (y-0) }^{ 2 } }{ 25 } =1\)
\(\Rightarrow \cfrac { { 16x }^{ 2 } }{ 625 } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ 25 } =1\)
(iv) செவ்வகத்தின் நீளம் = 4, குவியங்களுக்கு இடைப்பட்ட தூரம்  நெட்டச்சு y-அச்சு 
கொடுக்கப்பட்ட மற்றும் குவியங்களுக்கு இடைப்பட்ட தூரம் 
=\(2ae=4\sqrt { 2 } \)
\(\Rightarrow ae=2\sqrt { 2 } \)
\(\Rightarrow { a }^{ 2 }{ e }^{ 2 }=8\)
\(\cfrac { 2{ b }^{ 2 } }{ a } =4\Rightarrow { b }^{ 2 }=2a\)
என அறிவோம் 
\(\Rightarrow \) b² = a²- a²e²
\(\Rightarrow \) 2a = a²- 8
[(1) மற்றும் (2) ஐ பயன்படுத்தி]
\(\Rightarrow\) a²-2a-8 = 0
காரணிப்படுத்த கிடைப்பது 
(a-4) (a+2) = 0
\(\Rightarrow\) a = 4 அல்லது -2
a = 4 
[\(\therefore\)  a = -2 சாத்தியமில்லை]
\(\Rightarrow\) ae = 16
\(\therefore\) (2) லிருந்து b² = 2(4) = 8
ஆகையால் நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு 
\(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 8 } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ 16 } =1\) [\(\because\) நெட்டச்சு y-அச்சு]

நாம் \({ 1 }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\) ஐ காணவேண்டும் z = \({ 1 }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\) எனில, z³ = 1 ஆகும்.
z³= 1 என்ற சமன்பாட்டை துருவ வடிவில் எழுத
z³ = cos(0 + 2kπ) + isin(0 + 2kπ) = e^i2kπ, k = 0,1,2...,
எனவே, z \(=cos\left( \frac { 2k\pi }{ 3 } \right) +isin\left( \frac { 2k\pi }{ 3 } \right) ={ e }^{ i\frac { 2k\pi }{ 3 } }\),  k = 0,1,2.
k=0,1,2, எனப்பிரதியிட
k=0, z =cos 0 + i sin 0 = 1
k=1, \(z=cos\frac { 2\pi }{ 3 } +isin\frac { 2\pi }{ 3 } =cos\left( \pi -\frac { \pi }{ 3 } \right) +isin\left( \pi -\frac { \pi }{ 3 } \right) \)
\(=-cos\frac { \pi }{ 3 } +isin\frac { \pi }{ 3 } =-\frac { 1 }{ 2 } +i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \)
k=2, z \(=cos\frac { 4\pi }{ 3 } +isin\frac { 4\pi }{ 3 } =cos\left( \pi +\frac { \pi }{ 3 } \right) +isin\left( \pi +\frac { \pi }{ 3 } \right) \)
\(=-cos\frac { \pi }{ 3 } +isin\frac { \pi }{ 3 } =-\frac { 1 }{ 2 } -i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \)
ஆகவே, ஒன்றின் மூன்றாம் படிமூலங்கள்
1, \(\frac { -i+i\sqrt { 3 } }{ 2 } ,\frac { -1-i\sqrt { 3 } }{ 2 } \Rightarrow 1,\omega \), மற்றும் \({ \omega }^{ 2 }\), இங்கு \(\omega ={ e }^{ i\frac { 2\pi }{ 3 } }\)=\(\frac { -i+i\sqrt { 3 } }{ 2 } \)

கெழுக்களின் கூடுதல் =1+3-3-1=0
⇒ x=1 என்பது ஒரு மூலம்
⇒ (x-1) ஒரு காரணி

[தொகுமுறை வகுத்தலை பயன்படுத்தி]
∴ x=1, -1 மூலங்கள் மற்றும் மீதியுள்ள காரணி x²+3x+1]
⇒ x=\(\frac { -3\pm \sqrt { 9-4(1)(1) } }{ 2 } \)
⇒ x=\(\frac { -3\pm \sqrt { 5 } }{ 2 } \)
∴ மூலங்கள் 1,-1, \(\frac { -3\pm \sqrt { 15 } }{ 2 } ,\frac { -3\pm \sqrt { 15 } }{ 2 } \).

இப்பொழுது நாம் வெட்டும் புள்ளியைக் காண்போம். சமப்படுத்த x² = (x - 3)² ⇒ x = 3/2  எனப்பெறலாம். எனவே , வெட்டும் புள்ளி (3/2,9/4) ஆகும். θ என்பது இவ்விரு வளைவரைகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் என்க . வெட்டும் புள்ளியிடத்து வளைவரையின் சாய்வுகள் பின்வருமாறு கணக்கிடப்படுகின்றன :

y = x² என்ற வளைவரைக்கு,
\(\frac{dy}{dx}=2x\) ஆகும்.
\(m_{1}=(\frac{dy}{dx})_{(\frac{3}{2},\frac{9}{4})}=3\).
y=(x-3)² என்ற வளைவரைக்கு,
\(\frac{dy}{dx}=2(x-3)\) ஆகும்.
\(m_{1}=(\frac{dy}{dx})_{(\frac{3}{2},\frac{9}{4})}= -3\)
(3)-லிருந்து,
\(\tan \theta=|\frac{3-(-3)}{1-9}|=\frac{3}{4}\) ஆகும்.
ஆகவே , \(\theta\) = \(\tan^{-1}(\frac{3}{4})\).

(i) நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பு f(x) என்பதால், f(x) ≥ 0 மற்றும் \(\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)dx} = 1\)
அதாவது \(\int_{-\infty}^{0}{0dx}+\int_{0}^{\infty}{ke^{-2x}dx}=1\)
\(0+k(\frac{e^{-2x}}{-2})_{0}^{\infty}=1\Rightarrow k =(\frac{e^{-\infty}-e^0}{-2})=1 \Rightarrow k = 2\)
எனவே நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பு

(ii) பரவல் சார்பு
வரையறைப்படி பரவல் சார்பு \(F(x) = P(X \le x)=\int_{-\infty}^{x}{f(u)du}\)
x ≤ 0 எனும்போது \(F(x)=\int_{-\infty}^{x}{f(u)du}=\int_{-\infty}^{x}{0du}=0\)
x > 0 எனும்போது \(F(x)=\int_{-\infty}^{x}{f(u)du}=\int_{-\infty}^{0}{0du}+\int_{0}^{x}{2e^{-2u}du}=2(\frac{e^{-2u}}{-2})_{0}^{x}=1-e^{-2x}\)
இதிலிருந்து பெறுவது

(iii) P(X < 2) =  P(X ≤ 2) = F(2) = 1 − e^−2×2 = 1 − e⁻⁴ (F(x) தொடர்ச்சி என்பதால்)
(iv) X குறைந்தபட்சம் நான்கு நேர அலகுகளுக்கான நிகழ்தகவு
P(X ≥ 4) = 1 − P(X < 4) = 1−F(4) = 1 − (1−e^−2×4) = e⁻⁸
(v) தொடர்ச்சியானதில், x = a -ல் f(x) என்பது Xஆனது a மதிப்பைக் கொள்வதற்கான நிகழ்தகவு அல்ல . அதாவது f(a) ≠ P(X = a) ஆகும். X தொடர்ச்சியான வகை எனில், அனைத் து a ∈ ℝ -க்கு P(X = a) = 0 ஆகும். எனவே P(X =3)=0ஆகும்.

தேவையான அரங்கத்தின் பரப்பானது படம் - ல் நிழலிடப்பட்டுள்ளது. இப்பரப்பானது  x − அச்சின் மேல் உள்ளது. எனவே தேவையான பரப்பானது,

A   = \(| \int ^{3}_{-2} y dx |\) =  \(| \int ^{3}_{-2} (\frac {7x-35}{5}) dx |\)
= \(\frac {1}{5}\) \(| (7 (\frac {x^2}{2}) -35x)^{3}_{-2} |\)
= \(\frac {1}{5}\) \(| ( (\frac {63}{2}) -105)-84 | = \frac {63}{2}\) .

உருளையின் கன அளவு V = \(\pi \)r²h என்பதை நினைவு கூர்வோம், இங்கு ஆரம் r மற்றும் உயரம் h ஆகும். V (r)= \(\pi \)r²h = 20\(\pi \)r²
V (10.1) −V (10)≈ \(\frac { dV }{ dr } { { | }_{ r=10 } }\) (10.1 - 10) = 20\(\pi \)2(10(0.1))
எனவே கன அளவில் ஏற்படும் மாற்றத்தின் மதிப்பு 40 \(\pi \) செமீ³
கன அளவில் ஏற்படும் துல்லியமான மாற்றம்
V (10.1) −V (10) = 2040.2\(\pi \) -2000\(\pi \) =40.2\(\pi \) செமீ³.
எனவே சார்பிழை = \(\frac { 40.2\pi -40\pi }{ 40.2\pi } \)=\(\frac { 1 }{ 201 } \)=0.00497;
மற்றும் சதவீதப் பிழை = சார்பிழை x 100 = \(\frac { 1 }{ 201 } \) x  100 = 0.497% 

சமன்பாட்டை \(\cfrac { dy }{ \sqrt { 1-{ y }^{ 2 } } } =\cfrac { dx }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } \) எனுமாறு எழுதலாம்.
இருபுறமும் தொகையிடக் கிடைப்பது 
\(\int { \cfrac { dy }{ \sqrt { 1-{ y }^{ 2 } } } } =\int { \cfrac { dx }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } } \) 
\({ sin }^{ -1 }y={ sin }^{ -1 }x+C\)

\(f(x)=-3{ x }^{ 5 }+5{ x }^{ 3 }\) 
\(f'(x)=-15{ x }^{ 4 }+{ 15 }x^{ 2 }\) 
பெரும மற்றும் சிறும மதிப்புகளுக்கு \(f'(x)=0\) 
\(\Rightarrow -15{ x }^{ 2 }\left( { x }^{ 2 }-1 \right) =0\) 
\(x=0,1-1\) [x=0 என்பது அறுதி மதிப்பைத் தராததால் இது சாத்தியமல்ல.
\(f''(x)=-60{ x }^{ 3 }+30x\) 
\(f''\left( 1 \right) <0\Rightarrow f(x)\) என்பது சிறுமத்தை அடைகிறது.
\(f(-1)=-3(-1)+5(-1)=-2\) 
இடஞ்சார்ந்த பெரும மதிப்பு 
\(f(1)=-3\left( 1 \right) +5\left( 1 \right) =2\)

மெய்மை அட்டவணையில் கடைசி நிரலில் T மற்றும் F கலந்து வருவதால்,இது ஒரு நிச்சயமின்மை ஆகும்.

\((\\ \sum { f(x)=1 } \\ 0+k+2k+3k+{ k }^{ 2 }+2{ k }^{ 2 }+7{ k }^{ 2 }+k=1\\ 10{ k }^{ 2 }+9k-1=0\\ (10k-1)(k+1)=0\\ k=1/10,k=-1\\ P(0)\)

\( -1 \leq x^2-3 \leq 1 \\ -1+3 \leq x^2 \leq 1+3 \\ \Rightarrow 2 \leq x^2 \leq 4 \\ \pm \sqrt{2} \leq x \leq \pm 2 \\ \therefore \quad[-2,-\sqrt{2}] \cup[\sqrt{2}, 2] \)

A - ல் A₃₂ ன் இணைக்காரணி =\(-\left|\begin{array}{cc}3 & -1 \\ 2 & 0\end{array}\right|\)=-(0+2)=-2 
|A|  =3(2)-1(-2)-1(4+2)
=6+2-6=2
\(\mathrm{A}^{-1}\) - ல் \(\mathrm{a}_{23}\)இணைக்காரணி
\(=\frac{1}{|A|} \operatorname{adj} \mathrm{A}_{32}=\frac{1}{2}(-2)=-1\)

\( C A =C B \Rightarrow C A^2=C B^2 \\ (1-1)^2+(0-h)^2 =(2-1)^2+(3-h)^2 \\ h^2 =1+h^2+9-6 h \\ 6 h =10 \Rightarrow h=\frac{10}{6}=\frac{5}{3} \\ =2 h =2\left(\frac{5}{3}\right)=\frac{10}{3} \)

z, iz மற்றும் z + iz ஆகிய கலப்பெண்களால் ஏற்படும் முக்கோணத்தின் பரப்பளவு
z = a + ib என்க. ⇒ புள்ளி (a,b)
iz = - b + ia ⇒புள்ளி (-b, a) 
z + iz = (a-b) + i(a+b) ⇒ புள்ளி ((a−b), (a+b))
முக்கோணத்தின் பரப்பளவு \( =\frac{1}{2}\left[x_1\left(y_2-y_3\right)+x_2\left(y_3-y_1\right)+x_3\left(y_1-y_2\right)\right] \)
\(=\frac{1}{2}[a(a-a-b)-b(a+b-b)+(a-b)(b-a)] \)
\(=\frac{1}{2}\left[-a b-a b+a b-a^2-b^2+a b\right] \)
\(=\frac{1}{2}\left|a^2+b^2\right|=\frac{1}{2}|z|^2\)

\( 2 g =-8 \\ g =-4 \\ 2 f=-4 \\ f=-2 \\ \mathrm{C}(-g,-f) =(4,2) \\ \frac{x_1+x_2}{2} =4 \\ \frac{x_1+11}{2} =4 \\ x_1 =8-11 \\ x_1 =-3\\ \)
\( \frac{y_1+y_2}{2} =2 \\ \frac{y_1+2}{2} =2 \\ y_1 =4-2 \\ y_1 =2 \)
\(\therefore\) மற்றொரு முனை (-3, 2).

\(\Delta \geq 0 \)
\(\mathbf{k}^2-4(1)(9) \geq 0 \)
\(\mathbf{k}^2 \geq 36 \Rightarrow|k| \geq 6\)

\(|z+2| =|z-2| \)
\(z  =x+\mathrm{iy} \)
\(|(x+2)+\mathrm{iy}|  =|(x-2)+\mathrm{iy}| \)
\((x+2)^2+y^2  =(x-2)^2+\mathrm{y}^2 \)
\(x^2+4 x+4  =x^2-4 x+4 \)
\(\Rightarrow x  =0\)

\( \overrightarrow{n_1} =3 \hat{i}-2 \hat{j}+0 \hat{k}, \overrightarrow{n_2}=\hat{i}+\frac{3}{2} \hat{j}+2 \hat{k} \\ \vec{n}_1 \cdot \overrightarrow{n_2} =3-2\left(\frac{3}{2}\right)=3-3=0 \\ \cos \theta =0 \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{2} \)