\( \sin ^{-1} x+\cos ^{-1} x+\cos ^{-1} y+\sin ^{-1} y =\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=\pi \\ \frac{2 \pi}{3}+\cos ^{-1} x+\cos ^{-1} y =\pi \\ \cos ^{-1} x+\cos ^{-1} y =\pi-\frac{2 \pi}{3} \\ =\frac{3 \pi-2 \pi}{3}=\frac{\pi}{3} \)

2sin⁻¹ \(\alpha\) -க்கு ஒரு தீர்வு இருந்தால்
\( -\frac{\pi}{2} \leq 2 \sin ^{-1} \alpha \leq \frac{\pi}{2} \\ -\frac{\pi}{4} \leq \sin ^{-1} \alpha \leq \frac{\pi}{4} \\ \sin \left(\frac{-\pi}{4}\right) \leq \alpha \leq \sin \frac{\pi}{4} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \leq \alpha \leq \frac{1}{\sqrt{2}} \\ |\alpha| \leq \frac{1}{\sqrt{2}} \)

\( \sin ^{-1} x+\sin ^{-1} y+\sin ^{-1} z=\frac{3 \pi}{2}    \therefore x=y=z=1 \\  \left(\because \sin ^{-1}(1)\right.\left.=\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=\frac{3 \pi}{2}\right) \\   x^{2017}+y^{2018}+z^{2019}-\frac{9}{x^{101}+y^{101}+z^{101}} \\  =1+1+1-\frac{9}{1+1+1} \\  =3-\frac{9}{3}=3-3=0  \)

sin⁻¹\(\sqrt{x-1} \) 
\(-1  \leq \sqrt{x-1} \leq 1 \text { and } \sqrt{x-1} \geq 0 \\ \therefore 0   \leq \sqrt{x-1} \leq 1 \\ 0    \leq x-1 \leq 1 \\ 1   \leq x \leq 2 \Rightarrow x \in[1,2]  \)

\( \tan ^{-1}\left(\frac{1}{4}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{2}{9}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{1}{4}+\frac{2}{9}}{1-\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{9}}\right) \\ =\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{9+8}{36}}{\frac{36-2}{36}}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{17}{34}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \)

\( \sin ^{-1}\left(2 \cos ^2 x-1\right)+\cos ^{-1}\left(1-2 \sin ^2 x\right) \\ =\sin ^{-1}(\cos 2 x)+\cos ^{-1}(\cos 2 x) \\ =\frac{\pi}{2} \quad\left[\because \sin ^{-1} x+\cos ^{-1} x=\frac{\pi}{2}\right] \)

\( \sin ^{-1} \frac{2 x}{1+x^2} =2 \tan ^{-1} x \\ \therefore 2 \tan ^{-1} x-2 \tan ^{-1} x =0 \)

 \(\alpha=\cot ^{-1} \frac{1}{2} \) என்க \(\Rightarrow \cot \alpha=\frac{1}{2}\) மற்றும்\(\ \cos \alpha=\frac{1}{\sqrt{5}} \)
\(\therefore \sin ^{-1}(x)+\cos ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)=\frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow x=\frac{1}{\sqrt{5}} \quad\left(\because \sin ^{-1} x+\cos ^{-1} x=\frac{\pi}{2}\right)\)

AA^T = A^TA மற்றும் B=A^-1A^T
B^T = (A^-1A^T)^T = (A^T)^T (A^-1)^T=A (A^-1)^T
BB^T = (A^-1A^T) (A(A^-1)^T) = A^-1(A^TA)(A^-1)^T
= A^-1(AA^T) (A^-1)^T = (A^-1A) (A^T(A^T)^-1) = I₃

A ன் வரிசை 2 x 2 \(A\left[ \begin{matrix} 1 & -2 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right] \) என்க.
\(\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & -2 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{matrix} \right] \)
a + b = 6
c + d = 0
-2a + 4b = 0
-2c + 4d = 6
சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கக் கிடைப்பது, 
a = 4, b = 2 c = -1, d = 1
\(A = \left[ \begin{matrix} 4 & 2 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right] \)

\(\mathrm{AB} =\left[\begin{array}{ll} 2 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} 1 & 4 \\ 2 & 0 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 2 & 8 \\ 11 & 4 \end{array}\right] \)
\(\operatorname{adj} \mathrm{AB} =\left[\begin{array}{cc} 4 & -8 \\ -11 & 2 \end{array}\right] \)
\(\therefore|\operatorname{adj} \mathrm{AB}| =8-88=-80\)

A - ல் A₃₂ ன் இணைக்காரணி =\(-\left|\begin{array}{cc}3 & -1 \\ 2 & 0\end{array}\right|\)=-(0+2)=-2 
|A|  =3(2)-1(-2)-1(4+2)
=6+2-6=2
\(\mathrm{A}^{-1}\) - ல் \(\mathrm{a}_{23}\)இணைக்காரணி
\(=\frac{1}{|A|} \operatorname{adj} \mathrm{A}_{32}=\frac{1}{2}(-2)=-1\)

(A^TA^-1)^T = A^TA^-1
(A^-1)^T (A^T)^T =  A^TA^-1
(A^T)^-1 A = A^TA^-1
A^T(A^T)^-1AA = (A^T) A^T A^-1 A
(A^T மற்றும் A ஆல் முறையே முன்பெருக்கம் மற்றும் பின்பெருக்கம் செய்ய) A² = (A^T)²

A^-1=\(\left[ \begin{matrix} 5 & 3 \\ -2 & -1 \end{matrix} \right] \) 
A^-1= (A^-T)^-1= \(\left[ \begin{matrix} 5 & -2 \\ 3 & -1 \end{matrix} \right] \)

\(A B=I \Rightarrow B=A^{-1}=\frac{1}{1+\tan ^2 \frac{\theta}{2}}\left[\begin{array}{cr} 1 & -\tan \frac{\theta}{2} \\ \tan \frac{\theta}{2} & 1 \end{array}\right] \)
\(=\frac{1}{\sec ^2 \frac{\theta}{2}}\left[\begin{array}{cc} 1 & -\tan \frac{\theta}{2} \\ \tan \frac{\theta}{2} & 1 \end{array}\right]=\cos ^2 \frac{\theta}{2} A^{\top}\)

\(\lambda A^{-1} =A \)
\(\lambda I=A^2 =\left[\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 5 & -2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 5 & -2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 4+15 & 6-6 \\ 10-10 & 15+4 \end{array}\right] \)
\(\lambda\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc} 19 & 0 \\ 0 & 19 \end{array}\right] \Rightarrow \lambda=19 \)

\(\left[\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ -1 & -2 & -3 & -4 \end{array}\right] \xrightarrow[R_2 \rightarrow R_2-2 R_1]{R_3+R_1}\left[\begin{array}{llll} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]\)
அபூச்சிய நிரைகளின் எண்ணிக்கை = 1
\(\therefore \rho(A)=1\)

|A| = 0 எனில் AX = 0 என்ற சமன்பாட்டிற்கு வெளிப்படையற்ற தீர்வுகள் இருக்கும் 
\(\left|\begin{array}{ccc} 1 & \sin \theta & -\cos \theta \\ \cos \theta & -1 & 1 \\ \sin \theta & 1 & -1 \end{array}\right|=0 \)
\( \Rightarrow 1(1-1)-\sin \theta(-\cos \theta-\sin \theta) -\cos \theta(\cos \theta+\sin \theta)=0 \)
\( \Rightarrow \sin \theta \cos \theta+\sin ^2 \theta-\cos ^2 \theta-\cos \theta \sin \theta=0 \)
\(\sin ^2 \theta=\cos ^2 \theta \Rightarrow \sin \theta=\cos \theta \)
\(\theta=\frac{\pi}{4}\)

adj (adj A) = |A|^{n - 2} A
|A|^3-2 = A = |A| A 
IA| = 3(-3 + 4) + 3(2) + 4(-2)
= 3 + 6 - 8 = 1
adj (adj A) = 1 A = A

\(\mathrm{i}^n+\mathrm{i}^{n+1}+\mathrm{i}^{n+2}+\mathrm{i}^{n+3}  =\mathrm{i}^n\left[1+i+i^2+i^3\right] \)
\( =i^n[1+i-1-i] =i^n(0)=0\)

x = 0 என்ற கோட்டிற்கும் மையம் (- g, - f) -க்கும் உள்ள தூரம் வட்டத்தின் ஆரம் ஆகும்.
\(\pm\left(\frac{-g}{1^2}\right)=\sqrt{g^2+f^2-c} \Rightarrow f^2=c\) ............ (1)
கொடுக்கப்பட்ட வட்டத்தின் சமன்பாட்டிலிருந்து,
\( 2 f =-6+3 \lambda, c=9-19 \lambda \\ \left(\frac{-6+3 \lambda}{2}\right)^2 =9-19 \lambda \Rightarrow \lambda=0, \frac{-40}{9} \)

\( L: 3 x-4 y =\mathrm{m} \\ C: x^2+y^2-4 x-8 y-5 =0 \\ (x-2)^2+(y-4) =25 \)
C(2, 4); r = 5
மையத்திலிருந்து தொலைவு < r
\( \left| \frac{ah+bk+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right|<r\)
\(\left|\frac{3\times 2-4\times 4-m}{\sqrt{9+16}} \right|<r\Rightarrow \left| \frac{-10-m}{5}\right|<5\)
\(-5<\frac{10+m}{5}<5\)
-25 < 10 + m < 25
-25 - 10 < m < 25 - 10
-35 < m < 15

நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு \(x^2-8 x-12=0\)
\( x =\frac{8 \pm \sqrt{64-4(-12)}}{2}=\frac{8 \pm \sqrt{64+48}}{2} \\ =\frac{8 \pm \sqrt{112}}{2}=\frac{8 \pm 4 \sqrt{7}}{2}=4 \pm 2 \sqrt{7} \\ x =4+2 \sqrt{7}, 4-2 \sqrt{7}\)
மற்றொரு நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு,
\( y^2-14 y+45 =0 \Rightarrow(y-5)(y-9)=0 \\ y =5,9 \)
ஃ விட்டத்தின் முனைகள் \((4+2 \sqrt{7}, 9)\) மற்றும் \((4-2 \sqrt{7}, 5)\)
மையம் என்பது \((4+2 \sqrt{7}, 9)\) மற்றும் \((4-2 \sqrt{7}, 5)\) ஆகியவற்றின் நடுப்புள்ளி.
\(\left(\frac{4+2 \sqrt{7}+4-2 \sqrt{7}}{2}, \frac{9+5}{2}\right)\) = (4, 7)

x + y = 6 ...(1)
x + 2y = 4... (2) ஆகியவற்றைத் தீர்க்க. 
(1)-(2) -y = 2
y = -2
(1) ⇒ x-2 = 6
x = 8
புள்ளி (8, -2) என்க.
மற்றொரு புள்ளி (6, 2)
\(r = \sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2} \\ =\sqrt{(8-6)^2+(2+2)^2} \\ =\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16} \\ =\sqrt{20}=2 \sqrt{5} \)

z, iz மற்றும் z + iz ஆகிய கலப்பெண்களால் ஏற்படும் முக்கோணத்தின் பரப்பளவு
z = a + ib என்க. ⇒ புள்ளி (a,b)
iz = - b + ia ⇒புள்ளி (-b, a) 
z + iz = (a-b) + i(a+b) ⇒ புள்ளி ((a−b), (a+b))
முக்கோணத்தின் பரப்பளவு \( =\frac{1}{2}\left[x_1\left(y_2-y_3\right)+x_2\left(y_3-y_1\right)+x_3\left(y_1-y_2\right)\right] \)
\(=\frac{1}{2}[a(a-a-b)-b(a+b-b)+(a-b)(b-a)] \)
\(=\frac{1}{2}\left[-a b-a b+a b-a^2-b^2+a b\right] \)
\(=\frac{1}{2}\left|a^2+b^2\right|=\frac{1}{2}|z|^2\)

y² = 4x
4a = 4
a = 1
செவ்வகலத்தின் முனைப்புள்ளிகள் 
\( =(a, \pm 2 a) \\ =(1, \pm 2) \)
செங்கோட்டின் சமன்பாடு
\(x y_1+2 a y=x_1 y_1+2 a y_1\)
(1, \(\pm2\)) புள்ளியில் செங்கோட்டின் சமன்பாடு
y = - x + 3
x + y - 3 = 0
y = x + 3
x - y + 3 = 0
\( \left|\frac{a x_1+b y_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|=\left|\frac{3-2-3}{\sqrt{1+1}}\right| =r \Rightarrow\left|\frac{-2}{\sqrt{2}}\right|=r \\ \Rightarrow \frac{2}{\sqrt{2}} =r \\ r =\sqrt{2} \Rightarrow r^2=2 \)

\(a^2=9, \quad b^2=4 \\  2 x-y=1 \Rightarrow y=2 x-1 \\  m=2 \\  c=\sqrt{a^2 m^2-b^2}=\sqrt{9(4)-4} \\  =\sqrt{36-4}=\sqrt{32} \\  c= \pm 4 \sqrt{2} \\ =\left(\frac{-a^2 m}{c}, \frac{-b^2}{c}\right) \\  =\left(\frac{-9 \times 2}{-4 \sqrt{2}}, \frac{-4}{-4 \sqrt{2}}\right) \text { (or) }\left(\frac{-9 \times 2}{4 \sqrt{2}}, \frac{-4}{4 \sqrt{2}}\right) \\  =\left(\frac{9}{2 \sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \text { (or) }\left(\frac{-9}{2 \sqrt{2}}, \frac{-1}{\sqrt{2}}\right) \\ \)

\(\triangle O O^{\prime} A ,\\ (1+y)^2  =(1-y)^2+1 \\ 1+y^2+2 y  =1+y^2-2 y+1 \\ 4 y  =1 \Rightarrow y=\frac{1}{4} \)

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடானது SP² =  e²PM²என்ற வடிவில் இல்லை. ........ (1)
ஏனெனில் SP என்பது P(x, y) என்ற நீள்வட்டத்தின் மீதுள்ள புள்ளிக்கும் S(ae, 0) என்ற குவியத்திற்கும் இடையேயுள்ள தூரம்.
\(\therefore \text { (1) } \Rightarrow(x-a e)^2+(y-0)^2=\left(x-\frac{y^2}{9}\right)^2\)
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு
\((x-3)^2+(y-4)^2=\frac{y^2}{9}\)
\( \Rightarrow \quad(x-3)^2+y^2-8 y+16-\frac{y^2}{9}=0 \\ 9(x-3)^2+8 y^2-72 y+144=0 \\ 9(x-3)^2+8\left(y^2-9 y\right)=-144 \\ 9(x-3)^2+8\left[y^2-9 y+\left(\frac{9}{2}\right)^2-\left(\frac{9}{2}\right)^2\right]=-144 \\ 9(x-3)^2+8\left(y-\frac{9}{2}\right)^2=8 \times \frac{81}{4}-144=18 \\ \frac{(x-3)^2}{2}+\frac{(y-9 / 2)^2}{(9 / 4)}=1 \)
இது நீள்வட்டத்தின் சமன்பாட்டின் திட்ட நிலை  
\(\because a^2>\mathrm{b}^2, a^2=\frac{9}{4}, \mathrm{~b}^2=2\\ \therefore b^2  =a^2\left(1-e^2\right) \\ \therefore e  =\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{2}{(9 / 4)}}=\sqrt{1-\frac{8}{9}}=\sqrt{\frac{1}{9}} \\ \therefore e  =\frac{1}{3}\)

\(|\sqrt {3} + i| = \sqrt {3+1} = 2\)
\(|3 i+4|  =\sqrt{9+16}=5 \)
\(|8+6 i|  =\sqrt{64+36}=10 \)
\(|z|  =\frac{2^3 \times 5^2}{10^2}=\frac{200}{100}=2\)

\( P(h, k) \\ x=-\frac{9}{2} \Rightarrow 2 x+9=0 \\ P Q=\frac{2}{3} \mathrm{PM} \\ \sqrt{(h+2)^2+k^2}=\frac{2}{3}\left|\frac{2 h+9}{2}\right| \\ (h+2)^2+k^2=\frac{1}{9}(2 h+9)^2 \\ h^2+4+4 h+k^2=\frac{1}{9}\left(4 h^2+36 h+81\right) \\ 9 h^2+36+36 h+9 k^2=4 h^2+36 h+81 \\ 5 h^2+9 k^2=45 \\ \frac{h^2}{9}+\frac{k^2}{5}=1\\ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1 \) 
நீள்வட்டமாகும்.

\(|| z|-|-2+i|| \leq|z-2+i| \leq|z|+|-2+i| \)
\(|| z|-\sqrt{5}| \leq|z-2+i| \leq|z|+\sqrt{5}\)
கொடுக்கப்பட்டது : \(|z-2+i| \leq 2\)
\(|z-2+i|=2\) ஐக் கருதுக.
\(\therefore|z|+\sqrt{5} \geq 2 \Rightarrow|z| \geq 2-\sqrt{5}\) ...(1)
மற்றும் \(||z|-\sqrt{5}| \leq 2\)
\(|z|-\sqrt{5} \leq 2 \Rightarrow|z| \leq 2+\sqrt{5} \) ...(2)
\( \sqrt{5}-|z| \leq 2 \Rightarrow|z| \geq \sqrt{5}-2\) ...(3)
(1), (2) மற்றும் (3) லிருந்து,
|z| ன் மீப்பெரு மதிப்பு \(=\sqrt{5}+2\)

\(|z| =1 \Rightarrow|z|^2=1 \)
\(z \bar{z} =1 \Rightarrow \bar{z}=\frac{1}{z} \)
\(\frac{1+z}{1+z} =\frac{1+z}{1+\frac{1}{z}}=\frac{1+z}{\frac{1+z}{z}}=z \)

\(x^3 =-64 \)
\(x^3 =-4 \times-4 \times-4=(-4)^3 \)
\(x =-4\)

\(\mathrm{f}(x)=x^{\mathrm{m}}\) மற்றும் \(g(x)=x^n \) என்க.
படி = m படி = n 
\( (\mathrm{f} \circ \mathrm{g})(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{g}(x))=\mathrm{f}\left(x^{\mathrm{n}}\right)=\left(x^{\mathrm{n}}\right)^{\mathrm{m}}=x^{\mathrm{mn }} \)
படி = mn 

\(\alpha+\beta+\gamma=-p, \quad \alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=q, \alpha \beta \gamma=-r \)
\(\sum \frac{1}{\alpha}=\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}=\frac{\beta \gamma+\alpha \gamma+\alpha \beta}{\alpha \beta \gamma}=\frac{q}{-r}\)

\(\Delta \geq 0 \)
\(\mathbf{k}^2-4(1)(9) \geq 0 \)
\(\mathbf{k}^2 \geq 36 \Rightarrow|k| \geq 6\)

a < 0 எனில், ஒரே ஒரு குறிமாற்றம் மட்டுமே கிடைக்கும்.

கொடுக்கப்பட்டது : \(\left|z_1\right|=1,\left|z_2\right|=2,\left|z_3\right|  =3 \)
மற்றும் \(\left|9 z_1 z_2+4 z_1 z_3+z_2 z_3\right|  =12 \)
\(\left|z_1\right|\left|z_2\right|\left|z_3\right|\left|\frac{9}{z_3}+\frac{4}{z_2}+\frac{1}{z_1}\right| =12 \)
\(\text { (1) (2) (3) }\left|\frac{9 \bar{z}_3}{\left|z_3\right|^2}+\frac{4 \bar{z}_2}{\left|z_2\right|^2}+\frac{\overline{z_1}}{\left|z_1\right|^2}\right|  =12\left[\because|z|^2=z \bar{z}\right] \)
\(6\left|\frac{9 \bar{z}_3}{(3)^2}+\frac{4 \bar{z}_2}{(2)^2}+\frac{\overline{z_1}}{(1)^2}\right|  =12 \)
\(\left|\bar{z}_3+\bar{z}_2+\bar{z}_1\right|  =\frac{12}{6}=2 \)
\(\left|\overline{z_3+z_2+z_1 \mid}\right|  =2 \)
\(\therefore\left|z_1+z_2+z_3\right|  =2\)

\(z_1+z_2+z_3=0 \)
\( \Rightarrow\left(z_1+z_2+z_3\right)^2=0 \)
\( z_1^2+z_2^2+z_3^2+2\left(z_1 z_2+z_2 z_3+z_3 z_1\right)=0 \)
\( z_1^2+z_2^2+z_3^2=-2 z_1 z_2 z_3\left(\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}+\frac{1}{z_3}\right) \)
\(=-2 z_1 z_2 z_3\left(\bar{z}_1+\bar{z}_2+\bar{z}_3\right) \)
\(=-2 z_1 z_2 z_3\left(\overline{z_1+z_2+z_3}\right)=0\)

\(|z+2| =|z-2| \)
\(z  =x+\mathrm{iy} \)
\(|(x+2)+\mathrm{iy}|  =|(x-2)+\mathrm{iy}| \)
\((x+2)^2+y^2  =(x-2)^2+\mathrm{y}^2 \)
\(x^2+4 x+4  =x^2-4 x+4 \)
\(\Rightarrow x  =0\)

\(\mathrm{z}  =\left(\sin 40^{\circ}+i \cos 40^{\circ}\right)^{5}=\left(\cos 50^{\circ}+i \sin 50^{\circ}\right)^5 \)
\(=\cos 250^{\circ}+i \sin 250^{\circ} \)
\( =\cos \left(360^{\circ}-110^{\circ}\right)+i \sin \left(360^{\circ}-110^{\circ}\right) \)
\( =\cos 110^{\circ}-i \sin 110^{\circ} \)
\( =\cos \left(-110^{\circ}\right)+i \sin \left(-110^{\circ}\right)\)
முதன்மை வீச்சு = 110^o

\( \text { Let } z=\frac{(1+i \sqrt{3})^2}{4 i(1-i \sqrt{3})}=\frac{(1+i \sqrt{3})^2}{4(\sqrt{3}+i)} \)
\( \arg (z)=\arg (1+i \sqrt{3})^2-\arg (4)-\arg (\sqrt{3}+i) \)
\( =2 \times \arg (1+i \sqrt{3})-\arg (4)-\arg (\sqrt{3}+i) \)
\( =2 \times \frac{\pi}{3}-0-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2} \)

\(\vec{a}, \vec{b}\) ஆல் அமைக்கப்படும் தளம் \(P_1\) க்கு செங்குத்தான வெக்டர் \( \vec{a}\)\( \times \vec{b}\)
\(\vec{c}, \vec{d}\) ஆல் அமைக்கப்படும் தளம் \(\mathrm{P}_2\) க்கு
செங்குத்தான வெக்டர் \(\vec{c} \times \vec{d}\)
\(\therefore(\vec{a} \times \vec{b}) \times(\vec{c} \times \vec{d})=\overrightarrow{0} \\ \Rightarrow(\vec{a} \times \vec{b}) \|(\vec{c} \times \vec{d})\)
தளங்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் \(0^{\circ}\)

\(\vec{\alpha}\) என்பது \(\vec{\beta}\ \& \ \vec{\gamma} \)ஆகியவற்றின் தளத்தில் அமைவதால், \(\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}\) ஆகியவை ஒரே தளத்தில் அமைவனவானாகும்.
\(\therefore[\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}]=\overrightarrow{0} \text {. }\)

\( \vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c})\)
\( \vec{b} \times \vec{c} =\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -5 \\ 3 & 5 & -1 \end{array}\right| \\ =\hat{i}(-2+25)-\hat{j}(-1+15)+\hat{k}(5-6) \\ =23 \hat{i}-14 \hat{j}-\hat{k} \\ \vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c}) =\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ 23 & -14 & -1 \end{array}\right| \\ =\hat{i}(-3-14)-\hat{j}(-2+23)+\hat{k}(-28-69) \\ =-17 \hat{i}-21 \hat{j}-97 \hat{k} \)

\( \vec{b} =2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}, \quad \vec{n}=\hat{i}+\hat{j} \\ \sin \theta =\frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| \vec{n} \mid}=\frac{2+1+0}{\sqrt{4+1+4} \sqrt{1+1}}=\frac{3}{\sqrt{9} \sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \sin \theta =\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \theta =\sin ^{-1} \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\pi}{4} \)
or 45⁰

\( \left(x_1, y_1, z_1\right)=(0,0,0), d=7 \\ \quad(a, b, c)=(3,-6,2) \\ d=\frac{\left|a x_1+b y_1+c z_1+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{|7|}{\sqrt{9+36+4}}=\frac{7}{7}=1 \)

\( \cos ^2 \alpha+\cos ^2 \beta+\cos ^2 \gamma =1 \\ \frac{1}{c^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{c^2} =1 \Rightarrow \frac{3}{c^2}=1 \\ c^2 =3 \Rightarrow c= \pm \sqrt{3} \)