\(I=\int _{ -\pi /4 }^{ \pi /4 }{ { sin }^{ 2 }xdx } \) 
\(f(x)={ sin }^{ 2 }x\) 
\(f(-x)={ sin }^{ 2 }(-x)={ sin }^{ 2 }x\) 
\(\\ f(x)=f(-x)\) 
f(x) என்பது ஓர் இரட்டைச் சார்பு 
\(\int _{ -\pi /4 }^{ \pi /2 }{ { sin }^{ 2 }xdx } =2\int _{ 0 }^{ \pi /4 }{ { sin }^{ 2 }xdx } \) 
\(\int _{ -a }^{ a }{ f(x)dx } =2\int _{ 0 }^{ a }{ f(x)dx } \) 
\(2\int _{ 0 }^{ \pi /4 }{ \left[ \cfrac { 1-cos2x }{ 2 } \right] dx } \) 
\(\cfrac { 2 }{ 2 } \left[ x-\cfrac { sin2x }{ 2 } \right] _{ 0 }^{ \pi /4 }\) 
\(\cfrac { \pi }{ 4 } -\cfrac { 1 }{ 2 } \) 
\(I=\cfrac { \pi -2 }{ 4 } \)

\(\int ^{2a}_{0}\)  f(x) dx = 2 \(\int ^{a}_{0}\) f(x) dx +\(\int ^{2a}_{0}\) f(x) dx என  எழுதுவோம். ---- (1)
\(\int ^{2a}_{0}\) f(x) dx  என்பதில்,
x = a+u எனப் பிரதியிடக் கிடைப்பது dx = du; x=a எனில் u = 0 , x= 2a எனில், u = a.
∴  \(\int ^{2a}_{0}\)  f(x) dx =   \(\int ^{a}_{0}\) f (a+u) du = \(\int ^{a}_{0}\) f (u) du, (∵  f(x) = f(a+x))
=  \(\int ^{a}_{0}\) f(x) dx.   ----- (2)
சமன்பாடு (2)-ஐ (1)-ல் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது,
\(\int ^{2a}_{0}\) f(x) dx = 2\(\int ^{2a}_{0}\) f(x) dx .

\(\int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ { sin }^{ m }x{ cos }^{ n }xdx } =\cfrac { n-1 }{ m+n } .\cfrac { n-3 }{ m+n-2 } .\cfrac { n-5 }{ m+n-4 } ...\) 
\(=\cfrac { 1 }{ m+2 } .\cfrac { m-1 }{ m } .\cfrac { m-3 }{ m-2 } .\cfrac { m-5 }{ m-4 } ...\cfrac { 1 }{ 2 } .\cfrac { \pi }{ 2 } \) 
\(\int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ { sin }^{ 2 }x{ cos }^{ 4 }xdx } =\cfrac { 3 }{ 6 } \times \cfrac { 1 }{ 4 } \times \cfrac { 2-1 }{ 2 } \times \cfrac { \pi }{ 2 } \) 
= \(\cfrac { 3 }{ 6 } \times \cfrac { 1 }{ 4 } \times \cfrac { 1 }{ 2 } \times \cfrac { \pi }{ 2 } \) 
= \(\cfrac { \pi }{ 32 } \)

\(\therefore \int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ { sin }^{ n }dx= } \cfrac { \left( n-1 \right) }{ n } \times \cfrac { \left( n-3 \right) }{ \left( n-2 \right) } \times ....\times \cfrac { 1 }{ 2 } \times \cfrac { \pi }{ 2 } \) 
\(\int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ { sin }^{ 10 }xdx } =\cfrac { 9 }{ 10 } \times \cfrac { 7 }{ 8 } \times \cfrac { 5 }{ 6 } \times \cfrac { 3 }{ 4 } \times \cfrac { 1 }{ 2 } \times \cfrac { \pi }{ 2 } \) 
\(=\cfrac { 63\pi }{ 512 } \)

\(\left[ \int { \cfrac { dx }{ { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } =\cfrac { 1 }{ 2a } log\cfrac { x-a }{ x+a } +c } \right] \) 
\(\int _{ 3 }^{ 4 }{ \cfrac { dx }{ { x }^{ 2 }-4 } =\left[ \cfrac { 1 }{ 4 } log\cfrac { x-2 }{ x+2 } \right] _{ 3 }^{ 4 } } \) 
= \(\cfrac { 1 }{ 4 } \left[ log\left( \cfrac { 4-2 }{ 4+2 } \right) -log\left( \cfrac { 3-2 }{ 3+2 } \right) \right] \) 
= \(\cfrac { 1 }{ 4 } \left[ log \right] \cfrac { 2 }{ 6 } -log\cfrac { 1 }{ 5 } \) 
= \(\cfrac { 1 }{ 4 } log\cfrac { 1 }{ 3 } \times 5\) 
= \(\cfrac { 1 }{ 4 } log\cfrac { 5 }{ 3 } \)