கொடுக்கப்பட்டது \(y=\frac { 3 }{ 4 } \sqrt { { x }^{ 2 }-16 } \Rightarrow \frac { { x }^{ 2 } }{ 16 } -\frac { { y }^{ 2 } }{ 9 } =1\) எனவே கொடுக்கப்பட்ட வளைவரையானது அதிபரவளையம் \(\frac { { x }^{ 2 } }{ 16 } -\frac { { y }^{ 2 } }{ 9 } =1\) மற்றும் கோடுகள் y = 1 மற்றும் y = 6 ஆகியவற்றுக்கு இடைப்பட்ட ஒரு பகுதியாகும். இப்பகுதி x-அச்சில் மேல் உள்ளது.
சுழற்றப்படும் அரங்கத்தின் பரப்பானது படம் -ல் நிழலிடப்பட்டுள்ளது.
y-அச்சைப் பொருத்து சுழற்றுவதால் அதிபரவளையத்தின் ஒரு பகுதியின் சமன்பாடானது
\(x=\frac { 4 }{ 3 } \sqrt { 9+{ y }^{ 2 } } \) . உருவாகும் திடப்பொருளின் கன அளவு
\(V=\pi \int _{ 1 }^{ 6 } x^2 dy = \pi \int _{ 1 }^{ 6 }{ { \left( \frac { 4 }{ 3 } \sqrt { { 9+y }^{ 2 } } \right) }^{ 2 } } dy=\pi \left( \frac { 16 }{ 9 } \right) \int _{ 1 }^{ 6 }{ (9+{ y }^{ 2 } } )dy\)
\(=\pi \left( \frac { 16 }{ 9 } \right) \left( 9y+\frac { { y }^{ 3 } }{ 3 } \right) =\pi \left( \frac { 16 }{ 9 } \right) \left[ (54+72)-(9+\frac { 1 }{ 3 } ) \right] =\frac { 5600 }{ 27 } \pi \)

\(f(x)=x \cos\left( \cfrac { { e }^{ x }-1 }{ { e }^{ x }+1 } \right) dx\) என்க 
\(f\left( -x \right) =\left( -x \right) \cos\left( \cfrac { { e }^{ -x }-1 }{ { e }^{ -x }+1 } \right) \) 
= \(\left( -x \right) \cos\left( \cfrac { 1/{ e }^{ x }-1 }{ 1/{ e }^{ x }+1 } \right) \) 
= \(\left( -x \right) \cos\left( \cfrac { 1-{ e }^{ x } }{ 1+{ e }^{ x } } \right) \) 
= \(\left( -x \right) cos\left( \cfrac { -\left( { e }^{ x }-1 \right) }{ { e }^{ x }+1 } \right) \) 
= \(-xcos\left( \cfrac { { e }^{ x }-1 }{ { e }^{ x }+1 } \right) \) 
\(f(-x)=-f(x)\) 
f(x) என்பது 
\(\int _{ -a }^{ a }{ f(x)dx=0 } \) 
\(\therefore \int _{ -5 }^{ 5 }{ x\cos\left( \cfrac { { e }^{ x }-1 }{ { e }^{ x }+1 } \right) dx } =0\)

இங்கு \(a=1,b=1.5,n=5,f(x)=2-x\) 
எனவே,ஒவ்வொரு  இடைவெளியின் அகலம் 
\(h=\Delta x=\cfrac { b-a }{ n } =\cfrac { 1.5-1 }{ 5 } =0.1\) 
இடைவெளியின் துண்டுகளைத் தரும் புள்ளிகள் 
\({ x }_{ 0 }=1,{ x }_{ 1 }=1.1,{ x }_{ 2 }=1.2,{ x }_{ 3 }=1.3,{ x }_{ 4 }=1.4,{ x }_{ 5 }=1.5\) 
சம அளவு \(\Delta x\) கொண்ட ரீமன் கூட்டலுக்கான நடு-முனை விதியானது.
\(S=\left[ f\left( \cfrac { { x }_{ 0 }+{ x }_{ 1 } }{ 2 } \right) +f\left( \cfrac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } \right) +...+f\left( \cfrac { { x }_{ n-1 }+{ x }_{ n } }{ 2 } \right) \right] \Delta x\) 
\(f\left( \cfrac { { x }_{ 0 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } \right) =f\left( \cfrac { 1+1.1 }{ 2 } \right) =f\left( 1.05 \right) =2-1.05=0.95\) 
\(f\left( \cfrac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } \right) =f\left( \cfrac { 1.1+1.2 }{ 2 } \right) =f\left( 1.15 \right) =2-1.15=0.85\) 
\(f\left( \cfrac { { x }_{ 2 }+{ x }_{ 3 } }{ 2 } \right) =f\left( \cfrac { 1.2+1.3 }{ 2 } \right) =f\left( 1.25 \right) =2-1.25=0.75\) 
\(f\left( \cfrac { { x }_{ 3 }+{ x }_{ 4 } }{ 2 } \right) =f\left( \cfrac { 1.3+1.4 }{ 2 } \right) =f\left( 1.35 \right) =2-1.35=0.65\) 
\(f\left( \cfrac { { x }_{ 4 }+{ x }_{ 5 } }{ 2 } \right) =f\left( \cfrac { 1.4+1.5 }{ 2 } \right) =f\left( 1.45 \right) =2-1.45=0.55\) 
\(\therefore S=(0.95+0.85+0.75+0.65+0.55)\times 0.1\) 
= \(3.75\times 0.1\) 
= \(0.375\)

I = \(\int ^2_1 \frac { x}{(x+1)(x+2)}\) dx என்க.
I = \(\int ^2_1 [\frac { -1}{(x+1)} + \frac{2}{(x+2)}]\) dx   (பகுதி பின்னமாக்குதல் பயன்படுத்தி)
= [- log(x+1) + 2 log(x+2)\(]^2_1\)
= log \([\frac {(x+2)^2}{x+1}]^2_1\)
= log\(\frac {16}{3}\) - log \(\frac {9}{2}\)
= log \(\frac{32}{27}\)

I =  \(\int ^\frac{\pi}{3}_0 \frac{\sec {x} \tan x}{1 + \sec^2 x} \) என்க.
sec x = u என்க. எனவே sec x tan x dx = du.
x = 0 எனில், u = sec 0 =1 மற்றும்  x = \(\frac {\pi}{3}\) எனில் u = sec  \(\frac {\pi}{3}\) = 2
∴  I = \(\int ^2_1 \frac{du}{1+u^2}\) = \([\tan^{-1} u]^2_1\)   = tan ^-1(2) - tan^-1 1 =  tan ^-1 (2) - \(\frac{\pi}{4}\).