\(\int ^1_0\) [2x]dx = \(\int ^\frac{1}{2} _0\) [2x]dx +  \(\int _\frac{1}{2} ^1\) [2x]dx  = \(\int ^\frac{1}{2} _0\) 0dx+ \(\int_\frac{1}{2} ^1\) 1dx = 0+\([x]_\frac{1}{2} ^1\)  = 1- \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{2}\)

\(\\ \\ \int _{ 0 }^{ 1 }{ \cfrac { 2x+7 }{ { 5x }^{ 2 }+9 } dx } =\int _{ 0 }^{ 1 }{ \cfrac { 2x }{ { 5x }^{ 2 }+9 } } +7\int _{ 0 }^{ 1 }{ \cfrac { dx }{ ({ 5x }^{ 2 }+9) } } =\cfrac { 1 }{ 5 } \log\left[ { 5x }^{ 2 }+9 \right] _{ 0 }^{ 1 }+\cfrac { 7 }{ 5 } \int _{ 0 }^{ 1 }{ \cfrac { dx }{ { x }^{ 2 }+\left( \frac { 3 }{ \sqrt { 5 } } \right) ^{ 2 } } } \)
\(=\cfrac { 1 }{ 5 } \left[ \log14-\log9 \right] +\cfrac { 7 }{ 5 } \times \cfrac { \sqrt { 5 } }{ 3 } \left[ { \tan }^{ -1 }\cfrac { x }{ \left[ \frac { 3 }{ \sqrt { 5 } } \right] } \right] =\cfrac { 1 }{ 5 } \log\cfrac { 14 }{ 9 } +\cfrac { 7 }{ 3\sqrt { 5 } } { \tan }^{ -1 }\cfrac { \sqrt { 5 } }{ 3 } \)

பரவளையத்தின் சமன்பாடானது  (y+2)² = -(x-9). இது y -அச்சில் (0, -5) மற்றும் (0, 1) வழிச் செல்கிறது. இதன் முனை (9,-2) மற்றும்  பரவளையத்தின் அச்சானது y=-2. தேவையான பரப்பு  படம் -ல்  நிழலிடப்பட்டுள்ளது. 
x − அச்சின் மிகைப்பகுதியின்  திசையில்   நோக்கி பரப்பு காண, கிடைமட்டப் பட்டைகளைப்  பயன்படுத்த  நமக்குக் கிடைக்கும் பரப்பானது.
A = \(\int ^{1}_{-5} xdy \) = \(\int ^{1}_{-5} (5-4y-y^2)dy \) = \([5y-2y^2 - \frac {y^3}{3}]^{1}_{-5}\)  = \(\frac {8}{3}\) - \((- \frac {100}{3})\) = 36.

குறிப்பு
பரவளைய வளைவின் பரப்பானது   அவ்வளைவின் அடிப்பக்கத்தின்  நீளத்தைப் போல்  மூன்றில்  இரண்டு மடங்கின் உயரத்தின் மடங்கு  என மேலே உள்ள கணக்கில் உள்ளது போல் ஆர்க்கிமிடிஸ்  சூத்திரத்தை சரி செய்கிறது.

I = \(\int^{\frac{\pi}{4}}_{0} \frac {sin 2x dx}{ sin ^4x +cos ^4 x}\) = \(\int^{\frac{\pi}{4}}_{0} \frac {sin 2x dx}{( sin ^2x +cos ^2 x) - 2 sin^2 x cos ^2 x}\)
=  \(\int^{\frac{\pi}{4}}_{0} \frac {sin 2x dx}{( 1- \frac{1}{2} (2 sin x cos x)^2}\) = \(\int^{\frac{\pi}{4}}_{0} \frac {2sin 2x dx}{2- sin^2 2x} \) = \(\int^{\frac{\pi}{4}}_{0} \frac {2sin 2x dx}{1 +cos ^2 x} \)

u = cos 2x என்க. du = -2sin 2x dx.
x = 0 எனில், u = cos 0 =1 மற்றும் x = \(\frac{\pi}{4}\)  எனில் u = cos  \(\frac{\pi}{2}\) = 0
∴ I =  \(\int^{0}_{1} \frac {-du}{1+u^2}\) = \(\int^{0}_{1} \frac {du}{1+u^2}\) = [tan^-1 u\(]^1_0\) = \(\frac{\pi}{4}\)

தொகையிடலைப் பயன்படுத்தி,கூம்பின் இடைக்கண்டத்தின் கன அளவைக் காண வேண்டும்.முதலில் வளைவரையின் சமன்பாட்டைக் காண வேண்டும்.
A(0,1) மற்றும் B(2,2) என்பன இருபுள்ளிகள் என்க.இந்த இரு புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்கோடு x அச்சைப் பற்றிச் சுழல்கிறது.

AB-ன் சமன்பாடு 
\(\cfrac { y-1 }{ 2-1 } =\cfrac { x-0 }{ 2-0 } \) 
\(\cfrac { y-1 }{ 1 } =\cfrac { x }{ 2 } \) 
\(y-1=\cfrac { x }{ 2 } \) 
\(y=\cfrac { x }{ 2 } +1\) 
\(y=\cfrac { x+2 }{ 2 } \) 
x -அச்சைப் பற்றிச் சுழல்வதால் கிடைக்கும் திடப்பொருளின் கன அளவு 
= \(\pi \int _{ a }^{ b }{ { y }^{ 2 }dx } \) 
= \(\pi \int _{ 0 }^{ 2 }{ \cfrac { \left( x+2 \right) ^{ 2 } }{ 4 } dx } \) 
= \(\cfrac { \pi }{ 4 } \left[ \cfrac { \left( x+2 \right) ^{ 3 } }{ 3 } \right] _{ 0 }^{ 2 }\) 
= \(\cfrac { \pi }{ 4 } \left[ \cfrac { 64 }{ 3 } -\cfrac { 8 }{ 3 } \right] \) 
= \(\cfrac { \pi }{ 4 } \left[ \cfrac { 56 }{ 3 } \right] =\cfrac { 14 }{ 3 } \pi \) 
கூம்பின் இடைக் கண்டத்தின் கன அளவு = \(\cfrac { 14 }{ 3 } \pi \) மீ