\(u\left( x,y \right) ={ x }^{ 4 }+{ y }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 }+{ 3x }^{ 2 }y\) 
\(\cfrac { \partial ^{ 2 }u }{ \partial y\partial x } =12xy+6x\) 
\(\cfrac { \partial u }{ \partial y } =12xy+6x\) 
\(\cfrac { \partial u }{ \partial y } ={ 3y }^{ 2 }+{ 6x }^{ 2 }y+{ 3x }^{ 2 }\) 
\(\cfrac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial x\partial y } =12xy+6x\) 
\(\cfrac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial x\partial y } =\cfrac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial y\partial x } \)

\(f(x,y)={ x }^{ 2 }y+{ 6x }^{ 3 }+7\) 
\(f\left( \partial x,\partial y \right) ={ \partial }^{ 3 }{ x }^{ 2 }+{ 6\lambda }^{ 2 }{ x }^{ 3 }+7\) 
இந்த சமன்பாட்டில் பொதுவான \(\lambda \) என்பது இல்லை.
எனவே இது சமப்படித்தானது அல்ல.

சார்பு g வகையிடத்தக்கது என்பதைக் கவனிக்கவும். மேலும் g'(x) = 2x + cos x.
இதனால் dg = (2x + cos x)dx

A=\(\left[ \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ -6 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ -3 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \right] \)என்க 
A ஒரு (2 x 4) வரிசை அணி 
∴ρ(A) ≤ (2,4)-ன் மீச்சிறு=2
A-ன் பூச்சியமற்ற சிற்றணிக் கோவைகளின் உச்சவரிசை 2 ஆகும்.
அது \(\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 3 & -6 \end{vmatrix}=-6+6=0\)
\(\begin{vmatrix} -2 & -1 \\ -6 & -3 \end{vmatrix}=6-6=0\)
மேலும், \(\left| \begin{matrix} -1 & 0 \\ -3 & 1 \end{matrix} \right| =-1+0=-1\neq 0\)
\(\therefore \rho (A)=2\)

A =\(\left[ \begin{matrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] \)பின்பு, A^T = \(\left[ \begin{matrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] ^{ T }=\left[ \begin{matrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] \)
எனவே
AA^T = \(\left[ \begin{matrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] \)
= \(\left[ \begin{matrix} { cos }^{ 2 }\theta +{ sin }^{ 2 }\theta & cos\theta sin\theta -sin\theta cos\theta \\ sin\theta cos\theta -cos\theta sin\theta & { sin }^{ 2 }\theta +{ cos }^{ 2 }\theta \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \) = I₂
இதேபோல் A^TA = I₂. எனவே AA^T = A^TA = I₂ ⇒ A ஆனது செங்குத்து அணியாகும்.

\(2{ \cos }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) +{ \sin }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \)
cos^-1 \(\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \) = x மற்றும் sin^-1 \(\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \) = y என்க.
⇒ cos x = \(\frac { 1 }{ 2 } \)
⇒ cos x = cos \(\frac { \pi }{ 3 } \)
[∵ \(\frac { \pi }{ 3 } \) ∈ [0, π]]
⇒ x = \(\frac { \pi }{ 3 } \)
[∵ முதன்மை சார்பகம் சைனுக்கு \(\left[ \frac { -\pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \) மற்றும் கொசைனுக்கு முதன்மை சார்பகம் [0, π]]
sin y = \(\frac { 1 }{ 2 } \)
sin y = sin \(\frac { \pi }{ 6 } \)
[∵ \(\frac { \pi }{ 6 } \) ∈ \(\left[ \frac { -\pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \)]
⇒ x = \(\frac { \pi }{ 3 } \) மற்றும் y = \(\frac { \pi }{ 6 } \)
∴ 2 cos^-1\(\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \) + sin^-1 \(\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \)
= 2 \(\left( \frac { \pi }{ 3 } \right) \) + \(\\ \frac { \pi }{ 6 } \) = \(\frac { 2\pi }{ 2 } \) + \(\frac { \pi }{ 6 } \) = \(\frac { 4\pi +\pi }{ 6 } \) = \(\frac { 5\pi }{ 6 } \)

\(f(x)=cos^{-1}\left [ cos\left ( -\frac{\pi}{6} \right ) \right ]\) என்க.
நாம் அறிந்தது, \(x\in [0,\pi ]\)  எனும்போது மட்டுமே cos^-1(cos x) = x.
\(\frac{-\pi}{6}\notin [0,\pi]\) என்பதால், cos^-1(cos x) = x என்றிருக்காது.
\(\therefore cos^{-1}\left ( cos\left ( \frac{-\pi}{6} \right ) \right )=cos^{-1}\left ( cos\frac{\pi }{6} \right )\)
\(=\frac{\pi }{6}\neq \frac{-\pi}{6}\)   \(\left [ \because \frac{\pi}{6}\in [0,\pi ] \right ]\)

i) sin^-1\(\left( \sin\left( \frac { 2\pi }{ 3 } \right) \right) \)
[∵ \(\frac { 2\pi }{ 3 } \) ∉ \(\left[ \frac { -\pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \) என்பது சைன் சார்பின் முதன்மை சார்பகம்]
= sin^-1 \(\left( \sin\left( \pi -\frac { \pi }{ 3 } \right) \right) \)
= sin^-1\(\left( \sin\left( \frac { \pi }{ 3 } \right) \right) \)
[∵ sin(π - 0) = sin θ]
= \(\frac { \pi }{ 3 } \) ∈ \(\left[ \frac { -\pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \)
ii) \({ \sin }^{ -1 }\left( \sin\left( \frac { 5\pi }{ 4 } \right) \right) \)
= sin^-1\(\left( \sin\left( \pi +\frac { \pi }{ 4 } \right) \right) \)
∵ \(\frac { 5\pi }{ 4 } \) ∉ \(\left[ \frac { -\pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \)
= sin^-1\(\left( \sin\left( -\frac { \pi }{ 4 } \right) \right) \)
= \(-\frac { \pi }{ 4 } \in \left[ \frac { -\pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \)

கொடுக்கப்பட்ட (i) y = sin 7x
sin x- ன் வீச்சு 1 [சைன் வளைவரையின் மீப்பெரு மதிப்பு 1
⇒ sin 7x-ன் வீச்சு கூட 1.
சார்பின் காலம் p எனில் f(x + p) = f(x)
சைன் சார்பின் காலம் 2π. ஆதலால் sin 7x ன் காலம் \(\frac { 2\pi }{ 7 } \) 
(ii) y = -sin \((\frac{1}{3}x)\) sin x-ன் வீச்சு 1
⇒ -sin \((\frac{1}{3}x)\) ன் வீச்சும் மேலும் 1.
-sin \((\frac{1}{3}x)\) ன் காலம் \(\frac { 1 }{ 3 } \)x = 2π ⇒ x = 6π
(iii) y = 4 sin (-2x)
sin x-ன் வீச்சு 1
⇒ sin (-2x)- ன் வீச்சு 4 x 1 = 4
sin (-2x) ன் காலம் 2x = 2π ⇒ x = \(\frac { 2\pi }{ 2 } \) = π

முதலில் சேர்ப்பு அணி காண்போம்.
வரையறைப்படி, adj A = \(\left[ \begin{matrix} +M_{ 11 } & { -M }_{ 12 } \\ -{ M }_{ 21 } & +{ M }_{ 22 } \end{matrix} \right] ^{ T }=\left[ \begin{matrix} d & -c \\ -b & a \end{matrix} \right] ^{ T }=\left[ \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right] \)
A ஆனது பூச்சியமற்றக் கோவை அணி, எனவே |A| = ad-bc ≠ 0.
A^-1 = \(\frac { 1 }{ |A| } \) adj A, என்பதால் A^-1 = \(\frac { 1 }{ ad-bc } \left[ \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right] \)

 \(A=\left[ \begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & -5 \end{matrix} \right] \) 
\(\left| A \right| =\left[ \begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & -5 \end{matrix} \right] =-5-6=-11\neq 0\) 
\(|A|I=-11\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -11 & 0 \\ 0 & -11 \end{matrix} \right] \) 
\(adjA=\left[ \begin{matrix} -5 & -3 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right] \) 
\(A(adjA)=\left[ \begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & -5 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} -5 & -3 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right] \) 
= \(\left[ \begin{matrix} -5-6 & -3+3 \\ -10+10 & -6-5 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -11 & 0 \\ 0 & -11 \end{matrix} \right] =|A|I\) 
\(\left( adjA \right) A=\left[ \begin{matrix} -5 & -3 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & -5 \end{matrix} \right] \) 
= \(\left[ \begin{matrix} -5-6 & -15+15 \\ -2+2 & -6-5 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -11 & 0 \\ 0 & -11 \end{matrix} \right] =|A|\) 
(1),(2) மற்றும் (3) லிருந்து  
\(A(adjA)=(adjA)=|A|I\)

\(w\left( x,y,z \right) =log\left( \cfrac { { 5x }^{ 3 }{ y }^{ 4 }+{ 7y }^{ 2 }{ xz }^{ 4 }-75{ y }^{ 3 }{ z }^{ 4 } }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \right) \) 
அடுக்கைச் சார்பாக மாற்ற  
(x, y, z) = \(\frac { { 5x }^{ 3 }{ y }^{ 4 }+7{ y }^{ 2 }{ xz }^{ 4 }-{ 75y }^{ 3 }{ z }^{ 4 } }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \)
⇒ w = log f  ...(1)
⇒ e^w = f
f(λx, λy, λz) = \(\frac { { 5\lambda }^{ 3 }{ x }^{ 3 }{ \lambda }^{ 4 }{ y }^{ 4 }+7{ \lambda }^{ 2 }{ y }^{ 2 }\lambda x{ \lambda }^{ 4 }{ z }^{ 4 }-75{ \lambda }^{ 3 }{ y }^{ 3 }{ \lambda }^{ 4 }{ z }^{ 4 }{ }^{ } }{ { \lambda }^{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ \lambda }^{ 2 }{ y }^{ 2 } } \)
= \(\frac { { \lambda }^{ 7 }(5{ x }^{ 3 }{ y }^{ 4 }+7{ y }^{ 2 }{ xz }^{ 4 }-{ 75 }y^{ 3 }{ z }^{ 4 } }{ { \lambda }^{ 2 }({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }) } ={ \lambda }^{ 5 }f(x,y,z)\)  
f என்பது படி 5 உடைய சமபடிதான சார்பாகும்.
ஆய்லரின் தேற்றபடி,
\(x.\frac { \partial f }{ \partial x } +y\frac { \partial f }{ \partial y } +z\frac { \partial f }{ \partial z } =5.f\)
⇒ \(x.\frac { \partial }{ \partial x } ({ e }^{ w })+y.\frac { \partial }{ \partial y } ({ e }^{ w })+z.\frac { \partial }{ \partial z } ({ e }^{ w })=5.{ e }^{ w }\) 
⇒ \(x.{ e }^{ w }\frac { \partial w }{ \partial x } +y.{ e }^{ w }\frac { \partial w }{ \partial y } +z.{ e }^{ w }\frac { \partial w }{ \partial z } ({ e }^{ w })=5{ e }^{ w }\)
⇒ \(x\frac { \partial w }{ \partial x } +y\frac { \partial w }{ \partial y } +z\frac { \partial w }{ \partial z } \)  
[\({ e }^{ w }\) ஆல் வகுக்க]
⇒ \(x\frac { \partial w }{ \partial x } +y\frac { \partial w }{ \partial y } +z\frac { \partial w }{ \partial z } =5\)  

\(v\left( x,y \right) =log\left( \cfrac { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } }{ x+y } \right) \) 
அடுக்கைச் சார்பாக மாற்ற 
\({ e }^{ x }=\cfrac { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } }{ x+y } =f\left( x,y \right) \) என்க 
f (x, y) = \(\frac { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } }{ x+y } \)
⇒ v = log f
⇒ ev = f
f(tx, ty) = \(\frac { { t }^{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ t }^{ 2 }{ y }^{ 2 } }{ tx+ty } =\frac { { t }^{ 2 }({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }) }{ t(x+y) } \)
= t.f(x, y)
f என்பது படி 1 உடைய சமப்படிதான சார்பாகும்.
ஆய்லரின் தேற்றப்படி,
⇒ \(x\frac { \partial f }{ \partial x } +y\frac { \partial f }{ \partial y } \) = 1.f
\(x.\frac { \partial }{ \partial x } \left( { e }^{ v } \right) +y.\frac { \partial }{ \partial y } \left( { e }^{ v } \right) ={ e }^{ v }\) என்பது 
⇒ \(x.{ e }^{ v }.\frac { \partial }{ \partial x } +y.{ e }^{ v }.\frac { \partial }{ \partial y } ={ e }^{ v }\)
⇒  \(x\frac { \partial u }{ \partial x } +y\frac { \partial u }{ \partial y } \) = 1
எனவே நிறுவப்பட்டது.

\(g\left( x,y \right) =xlog\left( y/x \right) \) 
\(g\left( tx,ty \right) =txlog\left( \cfrac { ty }{ tx } \right) \) 
g என்பது படி உடைய சமபடிதான சார்பாகும்.
ஃ ஆய்லரின் தேற்றபடி 
 \(x\cfrac { \partial g }{ \partial x } +y\cfrac { \partial g }{ \partial y } =g\) 
சரிபார்த்தல்:
∴ \(\frac { \partial g }{ \partial x } \) = \(x.\frac { 1 }{ \frac { y }{ x } } \left( -\frac { y }{ { x }^{ 2 } } \right) +log\left( \frac { y }{ x } \right) \)(1)
= \(-\frac { { x }^{ 2 } }{ y } \left( \frac { y }{ { x }^{ 2 } } \right) log\left( \frac { y }{ x } \right) \)
= - 1 + log \(\left( \frac { y }{ x } \right) \)
\(\frac { \partial g }{ \partial y } =x.\frac { 1 }{ \left( \frac { y }{ x } \right) } \left( \frac { 1 }{ x } \right) =\frac { 1 }{ \frac { y }{ x } } =\frac { x }{ y } \)
\(x\frac { \partial g }{ \partial x } +y\frac { \partial g }{ \partial y } \)
= \(x\left( -1+log\frac { y }{ x } \right) +y\left( \frac { x }{ y } \right) \)

= x log \(\left( \frac { y }{ x } \right) \) = g
\(\therefore x\frac { \partial g }{ \partial x } +y\frac { \partial g }{ \partial y } \) = (g)

எனவே சரிபார்க்கப்பட்டது. 

இங்கு கொடுக்கப்பட்ட சார்பு u சமபடித்தானது அல்ல. எனவே ஆய்லரின் தேற்றம் சார்பு u -க்கு பயன்படுத்த முடியாது. இருப்பினும் f (x,y) = \(\left( \frac { x+y }{ \sqrt { x } +\sqrt { y } } \right) \)=sin u என்பது சமபடித்தானது. ஏனெனில்
f(tx,ty) = \(\frac { tx+ty }{ \sqrt { tx } +\sqrt { ty } } \) = t^1/2 f(x,y), \(\forall \) x,y,t\(\ge \)0
இங்கு f படி \(\frac { 1 }{ 2 } \) உடைய சமபடித்தான சார்பாகும். எனவே, ஆய்லரின் தேற்றப்படி
\(x\frac { \partial f }{ \partial x } +y\frac { \partial f }{ \partial y } =\frac { 1 }{ 2 } f(x,y)\).
தற்போது f = sin u எனப் பிரதியிட,
\(x\frac { \partial (sinu) }{ \partial x } +y\frac { \partial (sinu) }{ \partial y } =\frac { 1 }{ 2 } \sin\ u\)
\(x\ \cos u\frac { \partial u }{ \partial x } +y\ \cos u\frac { \partial u }{ \partial x } =\frac { 1 }{ 2 } \sin\ u\)  
இருபுறமும் cos u ஆல் வகுக்க
\(x\frac { \partial u }{ \partial x } +y\frac { \partial u }{ \partial y } =\frac { 1 }{ 2 } \tan\ u\)

\(f(x)={ \log }_{ 10 }x\) என்க 
எனவே \(f'\left( x \right) =\cfrac { 1 }{ x } \log_{ 10 }e\left( \because { \log }_{ 10 }x=\log_{ 10 }e{ \log }_{ e }x \right) \) 
\(f\left( x+\Delta x \right) -f(x)=f'(x)\Delta x\) 
\(f(1003)-f(1000)=\cfrac { 0.4343 }{ 1000 } \times 3\) 
\({ \log }_{ 10 }1003-{ \log }_{ 10 }1000=0.0013029\) 
\({ \log }_{ 10 }1003={ \log }_{ 10 }{ 1 }0^{ 3 }+0.0013029\) 
= 3+0.0013029
= \(3.0013029\) 
\({ \log }_{ 10 }1003\) ன் தோராய மதிப்பு =\(3.0013029\)

மேற்பரப்பானது 16\(\pi \) செ.மீ² குறைகிறது 6.1%

\({ \tan }^{ -1 }\frac { 2 }{ 11 } +{ \tan }^{ -1 }\frac { 7 }{ 24 } ={ \tan }^{ -1 }\frac { 1 }{ 2 } \)
LHS = \({ \tan }^{ -1 }(\frac { 2 }{ 11 }) +{ \tan }^{ -1 }(\frac { 7 }{ 24 })\)
= tan^-1 \(\left( \frac { \frac { 2 }{ 11 } +\frac { 7 }{ 24 } }{ 1-\left( \frac { 2 }{ 11 } \right) \left( \frac { 7 }{ 24 } \right) } \right) \)
[∵ tan^-1(x) + tan^-1 y = tan^-1 \(\left( \frac { x+y }{ 1-xy } \right) \)]
= tan^-1 \(\left( \frac { \frac { 48+77 }{ 11\times 24 } }{ \frac { 264-14 }{ 264 } } \right) ={ \tan }^{ -1 }\left( \frac { \frac { 125 }{ 264 } }{ \frac { 250 }{ 264 } } \right) \)

= RHS
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

5x − 2y +16 = 0, x + 3y − 7 = 0
கொடுக்கப்பட்ட \(\Delta =\left| \begin{matrix} 5 & -2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right| =15+2=17\)
\({ \Delta }_{ 1 }=\left| \begin{matrix} -16 & -2 \\ 7 & 3 \end{matrix} \right| =-48+14=-34\)
\({ \Delta }_{ 2 }=\left| \begin{matrix} 5 & -16 \\ 1 & 7 \end{matrix} \right| =35+16=51\)
\(\therefore x=\frac { { \Delta }_{ 1 } }{ \Delta } =\frac { -34 }{ 17 } =-2\)
\(y=\frac { { \Delta }_{ 2 } }{ \Delta } =\frac { 51 }{ 17 } =3\)
∴ தீர்வுக் கணம் {-2,3}

A = \(\left[ \begin{matrix} 3 & 2 \\ 7 & 5 \end{matrix} \right] \) மற்றும் B =\(\left[ \begin{matrix} -1 & -3 \\ 5 & 2 \end{matrix} \right] \)
|A| = 15 - 14 = 1 ≠ 0 ⇒ A^-1 காணலாம்  
\({ A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |A| } (adj\quad A)=\frac { 1 }{ 1 } \left( \begin{matrix} 5 & -2 \\ -7 & 3 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 5 & -2 \\ -7 & 3 \end{matrix} \right) \)
|B| = -2 + 15 = 13 ≠ 0 ⇒ B^-1 காணலாம்
\(B^{ -1 }=\frac { 1 }{ |B| } (adj\quad B)=\frac { 1 }{ 13 } \left( \begin{matrix} 2 & 3 \\ -5 & -1 \end{matrix} \right) \)
RHS :
\(\therefore { B }^{ -1 }{ A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ 13 } \left( \begin{matrix} 2 & 3 \\ -5 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 5 & -2 \\ -7 & 3 \end{matrix} \right) \)
\(=\frac { 1 }{ 13 } \left( \begin{matrix} 10-21 & -4+9 \\ -25+7 & 10-3 \end{matrix} \right) =\frac { 1 }{ 13 } \left( \begin{matrix} -11 & 5 \\ -18 & 7 \end{matrix} \right) \)    ...(1)
LHS :
\(AB=\left[ \begin{matrix} 3 & 2 \\ 7 & 5 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} -1 & -3 \\ 5 & 2 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -3+10 & -9+4 \\ -7+25 & -21+10 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} 7 & -5 \\ 18 & -11 \end{matrix} \right] \)
|AB| = -77 + 90 = 13 ≠ 0 ⇒ (AB)^-1 காணலாம்  
\({ (AB) }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |AB| } adj\quad (AB)=\frac { 1 }{ 13 } \left( \begin{matrix} -11 & 5 \\ -18 & 7 \end{matrix} \right) \)    ...(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து 
(AB)^-1 = B^-1A^-1  எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

x = 0 எனில், இருபுறமும் 0ஆகும்....(1)
0 < x < 1 என்க.
\(\theta\) = sin^-1 x என்க. எனவே 0 < \(\theta\) < \(\frac{\pi}{2}\)ஆகும். தற்போது sin \(\theta\) = \(\frac{x}{1}\) என்பதால், tan \(\theta=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
எனவே, tan (sin^-1 x) = \(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)      .. (2)
அடுத்தாக -1 < x < 0 என்க. எனவே, \(\theta =\sin^{-1} x\)  என்பதிலிருந்து -\(\frac{\pi}{2}<\theta<0.\)
sin \(\theta=\frac{x}{1}\) என்பதால், tan\(\theta=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
இம்முறையிலும்  tan(sin^-1x) = \(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\) என கிடைக்கின்றது ...(3)
சமன்பாடுகள் (1), (2) மற்றும் (3) ஆகியவற்றிலிருந்து  tan(sin⁻¹x) \(= \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\), -1 < x < 1 என நிறுவப்படுகின்றது.

\(\cos\left( { \cos }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) +{ \sin }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) \right) \)
cos^-1 \(\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) \) = θ ⇒ \(\frac { 4 }{ 5 } \) = cos θ என்க.    ...(1)
மேலும் sin^-1 \(\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) \) = sin^-1 (cos θ)
= sin^-1\(\left( \sin\left( \frac { \pi }{ 2 } -\theta \right) \right) \)
[∵ cosθ = sin \(\sin\left( \frac { \pi }{ 2 } -\theta \right) \) ]
= \(\frac { \pi }{ 2 } -\theta \)    ...(2)
\(\therefore \cos\left( { \cos }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) +{ \sin }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) \right) \)
= cos \(\left( \theta +\frac { \pi }{ 2 } -\theta \right) \) [(1) மற்றும் (2) ஐ பயன்படுத்தி]
= cos \(\frac { \pi }{ 2 } =0\)

sin^-1(x)-ன் சார்பகம் [-1, 1] ஆகும்.
எனவே −1\(\le\)2 - 3x²\(\le\)1, ஆகையால் -3 \(\le\) -3x² \(\le\) -1
-3 \(\le\) -3x², எனும்போது  x² \(\le\) 1    ....(1)  
-3x² \(\le\) -1, எனும்போது x² \(\le\) \(\frac{1}{2}\)   ...(2)
சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) ஆகியவற்றிலிருந்து \(\frac{1}{3}\le x^2\le 1\) எனக் கிடைக்கிறது.
எனவே, \(\frac{1}{\sqrt3}\le |x|\le1\)
\(a\le|x|\le b\) என்பதிலிருந்து x \(\in[-b,-a]\cup[a,b]\) என கிடைக்கும் என்பதால், 
எனவே \(x\in[-1,-\frac{1}{\sqrt3}]\cup[\frac{1}{\sqrt3},1]\) 

w(x,y,z)= \(\frac { 1 }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 } } } \) என்க 
= \(\left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 } \right) ^{ -1/2 }\) 
\(\cfrac { \partial w }{ \partial x } =-\cfrac { 1 }{ 2 } \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 } \right) ^{ -1/2 }\times 2x\) 
= \(-x\left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 } \right) ^{ -3/2 }\) 
\(\cfrac { { \partial }^{ 2 }w }{ { \partial }x^{ 2 } } =-x\times -\cfrac { 3 }{ 2 } \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 } \right) ^{ -5/2 }\times 2x-\left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 } \right) ^{ -3/2 }\) 
= \({ 3x }^{ 2 }\left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 } \right) ^{ -5/2 }-\left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 } \right) ^{ -3/2 }\) 
= \(\cfrac { { \partial }^{ 2 }w }{ { \partial y }^{ 2 } } ={ 3y }^{ 2 }\left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 } \right) ^{ -5/2 }-\left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 } \right) ^{ -1/2 }\) 
= \(\cfrac { { \partial }^{ 2 }w }{ { \partial z }^{ 2 } } ={ 3z }^{ 2 }\left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 } \right) ^{ -5/2 }-\left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 } \right) ^{ -1/2 }\) 
இதேபோல்  
= \(\cfrac { { \partial }^{ 2 }w }{ { \partial x }^{ 2 } } +\cfrac { { \partial }^{ 2 }w }{ { \partial y }^{ 2 } } +\cfrac { { \partial }^{ 2 }w }{ { \partial z }^{ 2 } } \) 
= \(\cfrac { { 3x }^{ 2 }+{ 3y }^{ 2 }+{ 3z }^{ 2 } }{ \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 } \right) } -\cfrac { 3 }{ \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 } \right) ^{ 1/2 } } \) 
= \(\cfrac { 3\left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 } \right) }{ \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 } \right) } -\cfrac { 3 }{ \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 } \right) } \) 
= \(\cfrac { 3 }{ \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 } \right) } -\cfrac { 3 }{ \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 } \right) ^{ 1/2 } } = 0\)

\(\frac { 1 }{ x } =u,\frac { 1 }{ y } =v,\frac { 1 }{ z } =w\), என பிரதியிடு நமக்கு கிடைப்பது
3u - 4v - 2w = 1,
u + 2v + w = 2,
2u=5v-4w=-1
\(\therefore \Delta =\left| \begin{matrix} 3 & -4 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & -5 & -4 \end{matrix} \right| =3\left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ -5 & -4 \end{matrix} \right| +4\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & -4 \end{matrix} \right| -2\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & -5 \end{matrix} \right| \\ \)
=3(-8+5)+4(-4-2)-2(-5-4)
=3(-3)+5(-6)-2(-9)
=-9-24+18=-15
\({ \Delta }_{ 1 }=\left| \begin{matrix} 1 & -4 & -2 \\ 2 & 2 & 1 \\ -1 & -5 & -4 \end{matrix} \right| \)
\(=1\left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ -5 & -4 \end{matrix} \right| +4\left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & -4 \end{matrix} \right| -2\left| \begin{matrix} 2 & 2 \\ -1 & -5 \end{matrix} \right| \)
=1(-8+5)+4(-8+1)-2(-10+2)
=1(-3)+4(-7)-2(-8)
=-3-28+16=-15
\({ \Delta }_{ 2 }\left| \begin{matrix} 3 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & -4 \end{matrix} \right| \)
\(=3\left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & -4 \end{matrix} \right| -1\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & -4 \end{matrix} \right| -2\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right| \)
=3(-8+1)-1(-4-2)-2(-1-4)
=3(-7)-1(-6)-2(-5)
=-21+6+10=-5
\({ \Delta }_{ 3 }=\left| \begin{matrix} 3 & -4 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & -5 & -1 \end{matrix} \right| \)
\(=3\left| \begin{matrix} 2 & 2 \\ -5 & -1 \end{matrix} \right| +4\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right| +1\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & -5 \end{matrix} \right| \)
=3(-2+10)+4(-1-4)+1(-5-4)
=3(8)+4(-5)+1(-9)
=24-20-9=-5
\(\therefore u=\frac { { \Delta }_{ 1 } }{ \Delta } =\frac { -15 }{ -15 } =1\Rightarrow \frac { 1 }{ x } =1\Rightarrow x=1\)
\(v=\frac { { \Delta }_{ 2 } }{ \Delta } =\frac { -5 }{ -15 } =\frac { 1 }{ 3 } \Rightarrow \frac { 1 }{ y } =\frac { 1 }{ 3 } \Rightarrow y=3\)
\(w=\frac { { \Delta }_{ 3 } }{ \Delta } =\frac { -5 }{ -15 } =\frac { 1 }{ 3 } \Rightarrow \frac { 1 }{ z } =\frac { 1 }{ 3 } \Rightarrow z=3\)
∴ தீர்வு கணம் {1, 3, 3}

கொடுக்கப்பட்ட C₂ H₆ + O₂ ➝ H₂O + CO₂
நாம் மிகை எண்கள் x₁, x₂, x₃ மற்றும் x₄ இவ்வாறு காண வேண்டும்.
x₁ C₂ H₆ + x₂ O₂ ➝ x₃ H₂O + x₄ CO₂ ... (1)
(1) ல் இடது பக்கத்தில் உள்ள கார்பன் அணுக்களின் எண்ணிக்கை வலது பக்கத்தில் உள்ள கார்பன் அணுக்களின் எண்ணிக்கைக்கு சமமாக இருக்க வேண்டும்.
∴ 2x₁ = 1x₄
⇒ 2x₁ - x₄ = 0                ...(2)
ஹைட்ரஜன் அணுக்களால் கிடைப்பது, 
6x₁ = 2x₃
⇒6x₁ - 2x₃ = 0
⇒ 3x₁ - x₃ = 0                ...(3)
மேலும், ஆக்ஸிஜன் அணுக்களால் கிடைப்பது, 
2x₂ = 1x₃ + 2x₄
⇒ 2x₂ - x₃ - 2x₄ = 0       ...(3)
4 மாறிகளில் அமைந்த நேரியில் சமபடித்தான தொகுப்பு சமன்பாடுகள் (2), (3) மற்றும் (4)
∴ விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி
[A|B] \(\left[ \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ -1 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 0 \\ -2 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
காஸ்ஸியன் நீக்கல் முறை மூலம் கிடைப்பது,
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow 2{ R }_{ 2 } - 3{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ -2 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} { -1 } \\ 3 \\ -2 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\leftrightarrow { R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ -1 \\ -2 \end{matrix}\begin{matrix} { -1 } \\ { -2 } \\ { 3 } \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
இங்கு ρ(A) = ρ([A | B]) = 3 < 4, மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை.
∴ தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடன் ஒரு சாராமாறிக் குடும்ப தீர்வுகளை கொண்டிருக்கும், ஆகையால் x₄ = t என்க.
ஏறுபடிவத்திலிருந்து சமன்பாடுகளை எழுத கிடைப்பது 
2x₁ - x₄ = 0
⇒ 2x₁ - x₄ = 0
⇒ 2x₁ = x₄
⇒ 2x - t
⇒ x₁ = \(\frac{t}{2}\)
4x₂ - 7x₄ = 0
⇒, 4x₂ = 7t ⇒ x₂=\(\frac{7t}{4}\)
-2x₃ + 3x₄ = 0 ⇒ 2x₃ = 3x₄
⇒x₃ = \(\frac{3t}{2}\)
x₁, x₂, x₃ மற்றும் x₄ மிகை முழுக்கள், ஆதலால், t = 4 என தேர்ந்தெடுக்க
∴ x₁=\(\frac{4}{2}=2\) 

x₄=t=4
ஆகையால் சமநிலைப்படுத்தப்பட்ட சமன்பாடு 
2C₂H₆ + 7O₂ ⟶ 6H₂O + 4CO₂

\({ \tan }^{ -1 }\frac { x }{ y } -{ \tan }^{ -1 }\frac { x-y }{ x+y } \)
= tan^-1 \(\left( \frac { \frac { x }{ y } -\frac { x-y }{ x+y } }{ 1+\frac { x }{ y } \left( \frac { x-y }{ x+y } \right) } \right) \)
[∵ tan^-1 x - tan^-1 y = tan^-1 \(\left( \frac { x-y }{ 1+xy } \right) \)]
= tan^-1 \(\left( \frac { \frac { x(x+y)-y(x-y) }{ y(x+y) } }{ \frac { y(x+y)+x(x-y) }{ y(x+y) } } \right) \)

= tan^-1 (1) = \(\frac { \pi }{ 4 } \)

LHS = tan^-1 x + tan^-1 \(\frac { 2x }{ 1-{ x }^{ 2 } } \)
= tan^-1 \(\left( \frac { x+\frac { 2x }{ 1-{ x }^{ 2 } } }{ 1-x\left( \frac { 2x }{ 1-{ x }^{ 2 } } \right) } \right) \)
= tan^-1 \(\left( \frac { \frac { x(1-{ x }^{ 2 })+2x }{ 1-{ x }^{ 2 } } }{ \frac { 1-{ x }^{ 2 }-{ 2x }^{ 2 } }{ 1-{ x }^{ 2 } } } \right) \)
= tan^-1 \(\left( \frac { \frac { x-{ x }^{ 3 }+2x }{ 1-{ x }^{ 2 } } }{ \frac { 1-{ 3x }^{ 2 } }{ 1-{ x }^{ 2 } } } \right) \)
\(\left[ \because \left| x \right| <\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \right] \)
= tan^-1 \(\left( \frac { 3x-{ x }^{ 3 } }{ 1-{ x }^{ 2 } } \times \frac { 1-{ x }^{ 2 } }{ 1-{ 3x }^{ 2 } } \right) \)
\(\left[ \because \left| x \right| <\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } { x }^{ 2 }<\frac { 1 }{ 3 } \Rightarrow { 3x }^{ 2 }<1 \right] \)
= tan^-1 \(\left( \frac { 3x-{ x }^{ 3 } }{ 1-{ 3x }^{ 2 } } \right) \)

tan^-1 x + tan^-1y + tan^-1z = tan^-1 \(\left( \frac { x+y+z-xyz }{ 1-xy-yz-zx } \right) \)
கொடுக்கப்பட்ட tan^-1 x + tan^-1 y + tan^-1 z = π
⇒ π = tan^-1 \(\left( \frac { x+y+z-xyz }{ 1-xy-yz-zx } \right) \)
⇒ tan π = \(\frac { x+y+z-xyz }{ 1-xy-yz-zx } \)
⇒ 0 = \(\frac { x+y+z-xyz }{ 1-xy-yz-zx } \) 
[∵ tan π = 0]
⇒ x + y + z - xyz = 0
⇒ x + y + z = xyz

tan^-1 x + tan^-1 y + tan^-1 z = tan^-1\(\left[ \frac { x+y+z-xyz }{ 1-xy-yz-zx } \right] \)
நமக்கு தெரியும்.
tan^-1x + tan^-1y = tan^-1 \(\left( \frac { x+y }{ 1-xy } \right) \)  ...(1)
∴ LHS = tan^-1(x) + tan^-1(y) + tan^-1(z)
= tan^-1 \(\left( \frac { x+y }{ 1-xy } \right) \) + tan^-1(z)
= tan^-1 \(\left( \frac { \frac { x+y }{ 1-xy } +z }{ 1-z\left( \frac { x+y }{ 1-xy } \right) } \right) \)
[(1) ஐ பயன்படுத்தி]
= tan^-1 \(\left( \frac { \frac { x+y+z(1-xy) }{ 1-xy } }{ \frac { (1-xy)-z(x+y) }{ 1-xy } } \right) \)
= tan^-1 \(\left( \frac { \frac { x+y+z-xyz }{ 1-xy } }{ \frac { 1-xy-zx-zy }{ 1-xy } } \right) \)

= tan^-1 \(\left( \frac { x+y+z-xyz }{ 1-xy-yz-zx } \right) \) = RHS
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

கொடுக்கப்பட்ட A=\(\left[ \begin{matrix} -5 & 1 & 3 \\ 7 & 1 & -5 \\ 1 & -1 & 1 \end{matrix} \right] \), 
B=\(\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} \right] \)
\(AB=\left[ \begin{matrix} -5 \\ 7 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -5 \\ 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} -5+3+6 \\ 7+3-10 \\ 1-3+2 \end{matrix}\begin{matrix} -5+2+3 \\ 7+2-5 \\ 1-2+1 \end{matrix}\begin{matrix} -10+1+9 \\ 14+1-15 \\ 2-1+3 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{matrix} \right] =4{ I }_{ 3 }\)
\(BA=\left[ \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} -5 \\ 7 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -5 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} -5+7+2 \\ -15+14+1 \\ -10+7+3 \end{matrix}\begin{matrix} 1+1-2 \\ 3+2-1 \\ 2+1-3 \end{matrix}\begin{matrix} 3-5+2 \\ 9-10+1 \\ 6-5+3 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{matrix} \right] =4{ I }_{ 3 }\)
ஆகையால் AB = BA = 4I₃ என அறிவோம்.
\(\Rightarrow \left( \frac { 1 }{ 4 } A \right) B=B\left( \frac { 1 }{ 4 } \right) =I\)
\(\Rightarrow { B }^{ -1 }=\frac { 1 }{ 4 } =I\)
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு தொகுப்பை அணி வடிவில் எழுத கிடைப்பது, 
\(\left[ \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 \\ 7 \\ 2 \end{matrix} \right] \)
BX = C 
X = B^-1 C 
\(\Rightarrow B\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 \\ 7 \\ 2 \end{matrix} \right] \)
\(\Rightarrow \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] ={ B }^{ -1 }\left[ \begin{matrix} 1 \\ 7 \\ 2 \end{matrix} \right] =\left[ \frac { 1 }{ 4 } A \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 \\ 7 \\ 2 \end{matrix} \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 4 } \left[ \begin{matrix} -5+7+6 \\ 7+7-10 \\ 1-7+2 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 4 } \left[ \begin{matrix} 8 \\ 4 \\ -4 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right] \)
∴ x = 2, y = 1, z = -1
எனவே தீர்வு கணம் {2, 1, -1}

கொடுக்கப்பட்ட \(A=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
\(|A|=0-1\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right| +1\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}\)
= -1( 0-1) +1(1-0) =1+1 = 2
\(adjA{ =\left[ \begin{matrix} +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \end{matrix}\begin{matrix} -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \end{matrix}\begin{matrix} +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(={ \left[ \begin{matrix} \left( 0-1 \right) \\ -\left( 0-1 \right) \\ +\left( 1-0 \right) \end{matrix}\begin{matrix} -\left( 0-1 \right) \\ +\left( 0-1 \right) \\ -\left( 0-1 \right) \end{matrix}\begin{matrix} +\left( { 1-0 } \right) \\ -\left( 0-1 \right) \\ +\left( 0-1 \right) \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(=\left[ \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right] ^{ T }=\left[ \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right] \)
\(\therefore { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ 2 } \left[ \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right] ....(1)\)
இங்கு \( { A }^{ 2 }=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} +1 \\ +0 \\ +1 \end{matrix}\begin{matrix} +1 \\ +1 \\ +0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} +0 \\ +0 \\ +0 \end{matrix}\begin{matrix} +1 \\ +1 \\ +0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} +1 \\ +0 \\ +1 \end{matrix}\begin{matrix} +0 \\ +0 \\ +0 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right] \)
\({ A }^{ 2 }-3I=\left[ \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right] -3\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} -3 \\ -0 \\ -0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} -0 \\ -3 \\ -0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} -0 \\ -0 \\ -3 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right] \)
\({ A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ 2 } \left[ { A }^{ 2 }-3I \right] \)

கொடுக்கப்பட்ட  f(x) = sin^-1 \(\left( \frac { \left| x \right| -2 }{ 3 } \right) \) + cos^-1 \(\left( \frac { 1-\left| x \right| }{ 4 } \right) \)
sin^-1 x இன் வரையறையிலிருந்து 
-1≤ \( \frac { \left| x \right| -2 }{ 3 } \) ≤ 1
⇒ -3 ≤ |x| -2 ≤ 3
⇒ -3 + 2 ≤ |x| ≤ 3 + 2
⇒ -1≤ |x| ≤ 5
என்பதை சுருக்கி 0 ≤ |x| ≤ 5     ...(1)
⇒ 0 ≤ |x| மற்றும் |x| ≤ 5
⇒ |x| ≥ 0 மற்றும் -5 ≤ x ≤ 5
cos^-1 x ன் வரையறைப்படி -1 ≤ \(\frac { 1-\left| x \right| }{ 4 } \) ≤ 1
⇒ -4 ≤ 1 - |x| ≤ 4 ⇒ -4 - 1≤ - |x| ≤ 4 - 1
⇒ -5 ≤ - |x| ≤ 3 ⇒ -3 ≤ |x| ≤ 5
என்பதை சுருக்கி 0 ≤ |x| ≤ 5 - 5 ≤ x ≤ 5     ...(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து
சார்பகமானது [-5, 5] 

\(f(x, y) =\mathrm{e}^{x y} \)
\(\frac{\partial f}{\partial y} =\mathrm{e}^{x y}(x)=x \mathrm{e}^{x y} \)
\(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}  =x \mathrm{e}^{x y}(\mathrm{y})+\mathrm{e}^{x y}=\mathrm{e}^{x y}(1+x y)\)

\(u =e^{x^2+y^2} \)
\(\frac{\partial u}{\partial x} =e^{x^2+y^2}(2 x)=2 x u\)

\(B =A^{-1} \)
\(4 A^{-1} =\left[\begin{array}{ccc} 3 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & x \\ -1 & 1 & 3 \end{array}\right] .\)
\(A^{-1} =\frac{1}{4}\left[\begin{array}{ccc} 3 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & x \\ -1 & 1 & 3 \end{array}\right]\)
x என்பது A -ல் a₃₂ - ன் சிற்றணிக்கோவை 
\(x=-\left|\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ -1 & -1 \end{array}\right|=-(-2+1)=-(-1)=1 \)

|A| = 0 எனில் AX = 0 என்ற சமன்பாட்டிற்கு வெளிப்படையற்ற தீர்வுகள் இருக்கும் 
\(\left|\begin{array}{ccc} 1 & \sin \theta & -\cos \theta \\ \cos \theta & -1 & 1 \\ \sin \theta & 1 & -1 \end{array}\right|=0 \)
\( \Rightarrow 1(1-1)-\sin \theta(-\cos \theta-\sin \theta) -\cos \theta(\cos \theta+\sin \theta)=0 \)
\( \Rightarrow \sin \theta \cos \theta+\sin ^2 \theta-\cos ^2 \theta-\cos \theta \sin \theta=0 \)
\(\sin ^2 \theta=\cos ^2 \theta \Rightarrow \sin \theta=\cos \theta \)
\(\theta=\frac{\pi}{4}\)

(A^TA^-1)^T = A^TA^-1
(A^-1)^T (A^T)^T =  A^TA^-1
(A^T)^-1 A = A^TA^-1
A^T(A^T)^-1AA = (A^T) A^T A^-1 A
(A^T மற்றும் A ஆல் முறையே முன்பெருக்கம் மற்றும் பின்பெருக்கம் செய்ய) A² = (A^T)²

\(\frac { |adjB| }{ |C| } = \frac {adj |adjA| }{ |3A| } = \frac{|A|^{(n-1)^2}}{3^n|A|}\)
\(= \frac{|A|^{1}}{3^2|A|} = \frac{1}{9} \ \ \ (∵ n = 2)\)

AA^T = A^TA மற்றும் B=A^-1A^T
B^T = (A^-1A^T)^T = (A^T)^T (A^-1)^T=A (A^-1)^T
BB^T = (A^-1A^T) (A(A^-1)^T) = A^-1(A^TA)(A^-1)^T
= A^-1(AA^T) (A^-1)^T = (A^-1A) (A^T(A^T)^-1) = I₃

 \(\alpha=\cot ^{-1} \frac{1}{2} \) என்க \(\Rightarrow \cot \alpha=\frac{1}{2}\) மற்றும்\(\ \cos \alpha=\frac{1}{\sqrt{5}} \)
\(\therefore \sin ^{-1}(x)+\cos ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)=\frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow x=\frac{1}{\sqrt{5}} \quad\left(\because \sin ^{-1} x+\cos ^{-1} x=\frac{\pi}{2}\right)\)

\( \sin ^{-1}\left(2 \cos ^2 x-1\right)+\cos ^{-1}\left(1-2 \sin ^2 x\right) \\ =\sin ^{-1}(\cos 2 x)+\cos ^{-1}(\cos 2 x) \\ =\frac{\pi}{2} \quad\left[\because \sin ^{-1} x+\cos ^{-1} x=\frac{\pi}{2}\right] \)

\( \tan ^{-1}\left(\frac{1}{4}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{2}{9}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{1}{4}+\frac{2}{9}}{1-\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{9}}\right) \\ =\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{9+8}{36}}{\frac{36-2}{36}}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{17}{34}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \)

sin⁻¹\(\sqrt{x-1} \) 
\(-1  \leq \sqrt{x-1} \leq 1 \text { and } \sqrt{x-1} \geq 0 \\ \therefore 0   \leq \sqrt{x-1} \leq 1 \\ 0    \leq x-1 \leq 1 \\ 1   \leq x \leq 2 \Rightarrow x \in[1,2]  \)

\(\sin ^{-1}(\cos x)=\frac{\pi}{2}-x\)
\(\cos x=\sin \frac{\pi}{2}-x\) என்று இருக்க வேண்டும் எனில்,
 \(-\frac{\pi}{2} \leq \frac{\pi}{2}-x \leq \frac{\pi}{2} \\   -\pi \leq-x \leq 0 \\   \therefore 0 \leq x \leq \pi  \)

2sin⁻¹ \(\alpha\) -க்கு ஒரு தீர்வு இருந்தால்
\( -\frac{\pi}{2} \leq 2 \sin ^{-1} \alpha \leq \frac{\pi}{2} \\ -\frac{\pi}{4} \leq \sin ^{-1} \alpha \leq \frac{\pi}{4} \\ \sin \left(\frac{-\pi}{4}\right) \leq \alpha \leq \sin \frac{\pi}{4} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \leq \alpha \leq \frac{1}{\sqrt{2}} \\ |\alpha| \leq \frac{1}{\sqrt{2}} \)