\(1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\)
வண்ணக் காகிதங்களால் அலங்கரிக்கும் பரப்பு \(=11^2+12^2+13^2+\ldots+25^2\)
=(1² + 2² + 3² + .... + 25²) - (1²+2² + .... + 10²)
\(=\frac{25 \times(25+1)[2(25)+1]}{6}-\frac{10 \times(10+1)[2(10)+1]}{6} \)
\(=\frac{25 \times 26 \times 51}{6}-\frac{10 \times 11 \times 21}{6} \)    \(=(25 \times 13 \times 17)-(5 \times 11 \times 7) \)   = 5525 - 385 = 5140
5140 செ.மீ² பரப்பளவு அடைத்து அலங்கரிக்க இயலும்.

\(a x^4+b x^3+361 x^2+220 x+100\) என்பதை மாற்றி எழுத
\(100+220 x+361 x^2+b x^3+a x^4\)
இப்போது, வர்க்கமூலம் காண

கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவை முழு வர்க்கமாதலால்,
b - 264 = 0,  a - 144 = 0 
∴ a = 144, b = 264

A = {1,2,3,4}; B = {2,5,8,11,14}; f(x) = 3x - 1
f(1) = 3(1) – 1 = 3 – 1 = 2; f(2) = 3(2) - 1 = 6 - 1 = 5
f(3) = 3(3) – 1 = 9 – 1 = 8; f(4) = 4(3) - 1 = 12 – 1 = 11
(i) அம்புக்குறி படம்
சார்பு f :A ⟶B - ஐ ஒரு அம்புக்குறி படத்தால் குறிப்போம். (படம்.1.19).

(ii) அட்டவணை அமைப்பு
சார்பு f-ஐ கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள அட்டவணையால் குறிப்போம்.

x	1	2	3	4
f(x)	2	5	8	11

(iii) வரிசைச் சோடிகளின் கணம்
சார்பு f-ஐ வரிசை சோடிகளின் கணமாக எழுதலாம்.
f = {(1,2),(2,5),(3,8),(4,11)}
(iv) வரைபடம்
படம் 1.20 உள்ள XY-தளத்தில் ஒரே நேர்கோட்டில் (1,2), (2,5), (3,8), (4,11) ஆகிய புள்ளிகள் குறிக்கப்பட்டுள்ளன.

\(1^3+2^3+3^3+\ldots+k^3 =\left[\frac{k(k+1)}{2}\right]^2=44100=(210)^2  \)
\(=\frac{k(k+1)}{2}=210  \)
\(1+2+3+\ldots+k =\frac{k(k+1)}{2}=210\)

(i) \(\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^2-1 \)
\(f \circ f(x)=\mathrm{f}[\mathrm{f}(\mathrm{x})]=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}^2-1\right)=\left(\mathrm{x}^2-1\right)^2-1 \)
\(=\mathrm{x}^4-2 \mathrm{x}^2+1-1=\mathrm{x}^4-2 \mathrm{x}^2\)
(ii)  \(f \circ f \circ f=\mathrm{f}[\mathrm{f}[\mathrm{f}(\mathrm{x})]]=\mathrm{f}\left[\mathrm{f}\left(\mathrm{x}^2-1\right)\right]=\mathrm{f}\left[\mathrm{x}^4-2 \mathrm{x}^2\right] \)
\(=\left(x^4-2 x^2\right)^2-1=x^8-4 x^6+4 x^4-1\)

(i) \(\cfrac { { x }^{ 3 } }{ { 9y }^{ 2 } } \times \cfrac { 27y }{ { x }^{ 5 } } =\cfrac { 3 }{ { x }^{ 2 }y } \)
(ii) \(\cfrac { { x }^{ 4 }{ b }^{ 2 } }{ x-1 } \times \cfrac { { x }^{ 2 }-1 }{ { a }^{ 4 }{ b }^{ 3 } } =\cfrac { { x }^{ 4 }\times { b }^{ 2 } }{ x-1 } \times \cfrac { \left( x+1 \right) \left( x-1 \right) }{ { a }^{ 4 }\times { b }^{ 2 } } =\cfrac { { x }^{ 4 }(x+1) }{ { a }^{ 4 }b } \)

x என்ற மாறியின் திட்டவிலக்கம் = 4
y என்ற மாறியின் திட்டவிலக்கம் = \(\begin{equation} \frac{3 x+5}{4} \end{equation}\)
[கொடுக்கப்பட்ட தரவுபுள்ளிகளுடன் ஏதேனும் மாறிலியைக் கூட்டினாலோ ,கழித்தாலோ திட்ட விலக்கம் மாறாது . அதே போல கொடுக்கப்பட்ட தரவுபுள்ளிகளுடன் ஏதேனும் ஒரு மாறிலியை வகுத்தலோ அல்லது பெருக்கினாலோ திட்ட விலக்கத்தையும் அதே மாறிலியால் வகுக்கவோ  அல்லது பெருக்கவோ வேண்டும் ]

\( V_{1}: V_{2}=8: 27, r: R=(R-r): r \)
\(\frac{4}{3} \pi r_{1}^{3}: \frac{4}{3} \pi r_{2}^{3}=8: 27\)
இரு கோளங்களின் கன அளவுகளின் விகிதம் V₁:V₂
\(\frac{4}{3} \pi(R-r)^{3}: \frac{4}{3} \pi r^{3}=8: 27\)
r³ = 27;r = 3
(R−r)³ = 8
(R−r)³ = 2³
⇒ R−r = 2
​​​​​​R−3 = 2
R = 2 + 3
R = 5
\((R-r): r \Rightarrow(5-3): 3\)
இரு கோளங்களின் கன அளவுகளின் விகிதம் 2:3

\( \cos \theta+ \cos ^{2} \theta=1 \)
\( \cos \theta=1-\cos ^{2} \theta \)
\( \cos \theta=\sin ^{2} \theta \)
\(\sin ^{4} \theta= \sin ^{2} \theta \sin ^{2} \theta \)
\(= \cos \theta \cos \theta \)
\(= \cos ^{2} \theta \)
\(\sin ^{2} \theta+ \sin ^{4} \theta=\cos \theta+\cos ^{2} \theta=1 \)

\(3 y-\sqrt{3} x+1=0\)
\( =\frac{-(-\sqrt{3})}{3} \)
\(=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}} \)
y-வெட்டுத்துண்டு  \(-\frac{-1}{3} \)

\( \Delta A B C \sim \Delta B D E \)
\(\frac{B E}{B C}=\frac{D E}{A C} \)
\(\frac{x}{a}=\frac{x+y}{b} \)
bx = ax + ay
bx - ax = ay
x(b - a) = ay
\(x=\frac{a y}{b-a}\)

P மற்றும் Q என்பன இரு அணிகள் எனில், \(P Q \neq Q P\)

x² + 8x +15 = 0
(x +3) (x + 5) = 0
எனவே  x = -3 (மற்றும்) -5
x = -3,-5 ஆகிய மதிப்புகளுக்கு \(\frac{x^{2}+5 x+6}{x^{2}+8 x+15}\) ஆனது வரையறுக்கப்படவில்லை

மிகச்சிறிய பகா எண் மற்றும் மிகச்சிறிய பகு எண் ஆகியவற்றின் மீ.பொ.வ 2

p,q,r,x,y,x = கூட்டுதொடர்வரிசை 
5p+3,5q+3,5r+3,5x+3,5y+3,5z+3 = கூட்டுதொடர்வரிசை 

x ஆனது நேரத்தையும் (நிமிடங்களில்), y ஆனது பயணித்த தூரத்தையும் (கி.மீ-ல்) குறிப்பதாகக் கொள்வோம்.
பயண நேரம் (x) நிமிடங்களில் 60 120 180 240 பயண தூரம் (y) கி.மீ-ல் 50 100 150 200
(i) நேரம் அதிகரிக்கும்போது பயணித்த தூரமும் அதிகரிப்பதை கவனிக்கவும். ஆகவே, இது y = kx என்ற வடிவம் கொண்ட நேர்மாறுபாட்டைக் குறிக்கிறது.
விகிதசம மாறிலி,
\(k=\frac{y}{x}=\frac{50}{60}=\frac{100}{120}=\frac{150}{180}=\frac{200}{240}=\frac{5}{6}\) 
கொடுக்கப்பட்டுள்ள விவரங்களின்படி,
ஆகவே,\(y=k x \Rightarrow y=\frac{5}{6} x\)  ஆகும்.
(ii) \(y=\frac{5 x}{6}\) என்ற வரைபடத்திலிருந்து, x = 90 எனில்,\(y=\frac{5}{6} \times 90=75\) கி.மீ. எனவே, 90 நிமிடங்களில் பயணித்த தூரமானது 75 கி.மீ ஆகும்.
(iii) \(y=\frac{5 x}{6}\) என்ற வரைபடத்திலிருந்து, y = 300 எனில், \(x=\frac{6 y}{5}=\frac{6}{5} \times 300=360\) நிமிடங்கள் (அல்லது) 6 மணி நேரம் ஆகும்.
300 கி.மீ தூரம் பயணிக்க எடுத்துக்கொண்ட நேரம் 360 நிமிடங்கள் அதாவது, 6 மணி நேரம் ஆகும்.